二项式反演

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表达

若有$f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)$
则有$g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)$

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证明

$\begin{aligned}g(n)&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}g(j)\\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}g(j)\\ &=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}g(j)\\ \end{aligned}$
在组合数中，有这么一个式子
$\begin{aligned}\binom{i}{j}\binom{j}{k} &= \frac{i!}{j!(i - j)!}\frac{j!}{k!(j - k)!} \\ &=\dfrac {i!}{k!\left( i-k\right) !}\dfrac {\left( i-k\right) !}{\left( i-j\right) !\left( j-k\right) !}\\ &=\dfrac {i!}{k!\left( i-k\right) !}\dfrac {\left( i-k\right) !}{\left( \left( i-k\right) -\left( j-k\right) \right) !\left( j-k\right) !}\\ &=\begin{pmatrix} i \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i-k \\ j-k \end{pmatrix}\end{aligned}$
即
$\begin{aligned}\binom{i}{j}\binom{j}{k}=\begin{pmatrix} i \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i-k \\ j-k \end{pmatrix}\end{aligned}$
所以
$\begin{aligned}原式&=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}g(j)\\ &=\sum_{j=0}^n\sum ^{n-j}_{i=0}\left( -1\right) ^{n-i-j}\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n-j \\ i \end{pmatrix}g(j)\\ &=\sum_{j=0}^n\left(1-1\right)^{n-j}\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}g\left(j\right) \end{aligned}$
此时要求$n != j$，此时$原式=0$
当$n=j$时，$原式=g(n)$

到此，原式得证

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来源：https://blog.csdn.net/Morning_Glory_JR/article/details/98948134