多元函数的极限与连续(一)
多元函数是一元函数的推广,对于多元函数我们将着重讨论二元函数. 定义域的变化:数轴上的点集 平面上的点集 点与点集的关系:内点,外点,界点;聚点,孤立点,外点. 上的完备性定理 平面点列收敛的定义 设 为平面点列, 为一固定点.若对任给的正数 ,存在正整数N,使得当n>N时,有 ,则称点列{Pn}收敛于点P哦,记作 或 柯西准则 平面点列{Pn}收敛的充要条件是:任给正数 ,存在正整数N,使得当n>N时,对一切正整数p,都有 闭域套定理 设{Dn}是 中的闭域列,它满足: 则存在唯一的点 推论 对上述闭域套{Dn},任给 ,存在 ,当n>N时,有 聚点定理 设 为有界无限点集,则E在 中至少有一个聚点. 致密性定理 有界无限点列 必存在收敛子列 有界覆盖定理 设 为一有界闭域, 为一开域族,它覆盖了D(即 )则在 中必存在有限个开域 它们同样覆盖了D(即 ). 二元函数的极限 二元函数极限的定义 设f为定义在 上的二元函数,Po为D的一个聚点,A是一个确定的实数.若对任给正数 那个村,总存在某正数 ,使得当 时,都有 则称f在D上当 时以A为极限,记作 在对于 不致产生误解时,也可简单地写作 当 分别用坐标 表示时,也可写作 的充要条件是:对于D的任一子集E,只要Po是E的聚点,就有 设 ,Po是 的聚点,若 不存在,则 也不存在. 设 ,Po是它们的聚点,若存在极限 但 则