多元函数

多元函数的极限与连续(一)

对着背影说爱祢 提交于 2020-03-06 02:11:31
多元函数是一元函数的推广,对于多元函数我们将着重讨论二元函数. 定义域的变化:数轴上的点集 平面上的点集 点与点集的关系:内点,外点,界点;聚点,孤立点,外点. 上的完备性定理 平面点列收敛的定义 设 为平面点列, 为一固定点.若对任给的正数 ,存在正整数N,使得当n>N时,有 ,则称点列{Pn}收敛于点P哦,记作 或 柯西准则 平面点列{Pn}收敛的充要条件是:任给正数 ,存在正整数N,使得当n>N时,对一切正整数p,都有 闭域套定理 设{Dn}是 中的闭域列,它满足: 则存在唯一的点 推论 对上述闭域套{Dn},任给 ,存在 ,当n>N时,有 聚点定理 设 为有界无限点集,则E在 中至少有一个聚点. 致密性定理 有界无限点列 必存在收敛子列 有界覆盖定理 设 为一有界闭域, 为一开域族,它覆盖了D(即 )则在 中必存在有限个开域 它们同样覆盖了D(即 ). 二元函数的极限 二元函数极限的定义 设f为定义在 上的二元函数,Po为D的一个聚点,A是一个确定的实数.若对任给正数 那个村,总存在某正数 ,使得当 时,都有 则称f在D上当 时以A为极限,记作 在对于 不致产生误解时,也可简单地写作 当 分别用坐标 表示时,也可写作 的充要条件是:对于D的任一子集E,只要Po是E的聚点,就有 设 ,Po是 的聚点,若 不存在,则 也不存在. 设 ,Po是它们的聚点,若存在极限 但 则

[机器学习]第二周记录

﹥>﹥吖頭↗ 提交于 2020-02-15 08:52:10
这篇记录的内容来自于Andrew Ng教授在coursera网站上的授课。 1.多元线性回归(multivariate linear regression): h函数:$h_{\theta}{(x)}=\theta_{0}+\sum_{i=1}^{n}{\theta_{i}x_{i}}$ 为方便起见,每个样本的维度都设为n+1维,每一维都向后延一位,第一维是1。 则$$h_{\theta}{(x)}=\sum_{i=0}^{n}{\theta_{i}x_{i}}$$ $$h_{\theta}{(x)}={\theta}^{T}x$$ J函数为平方误差函数。 最小化$\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x^{(i)}-y^{(i)})^2}$。 多元线性回归的梯度下降法: $\theta_{i}:=\theta_{i}-\alpha\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}{(h_{\theta}(x^{(j)}-y^{(j)})}x^{(j)}_{i}$ 来源: https://www.cnblogs.com/GreenDuck/p/12310579.html

高数——多元函数

余生颓废 提交于 2020-02-01 21:07:13
多元函数求极限: 原则: 就一个原则:除了洛必达法则,基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用 。 ========= 例1 使用了无穷小替换 ========= 例2 二元初等函数在定义域连续,所以极限同样可以直接代入 ========= 例3 同样也可以分子分母有理化 ========= 例4 同样也可以使用两个重要极限 ========= 例5 同样也能够使用夹逼准则 讨论函数 在(0,0)处的连续性 解: 先求极限 因为 所以由夹逼准则知道 因此连续 ========= 来源: https://www.cnblogs.com/Hqx-curiosity/p/12249961.html

第7

ぃ、小莉子 提交于 2019-12-27 17:06:26
第四十节:方程确组定多元函数组求偏导的方法,方向导数的定义 第四十一节:方向导数存在的充分条件,方向导数的最大值与最小值 第四十二节:方向导数的例题,多元函数的极值,取到极值的必要条件 第四十三节:取到极值的充分条件,多元函数的最大值与最小值,多元函数的条件极值 第四十四节:拉格朗日乘数法,例题,空间曲线的切线与法平面 第四十五节:空间曲面的切平面与法线方程,一般式空间曲线的切线与法平面的方程 多元函数微分学总结与拓展 来源: CSDN 作者: Major_s 链接: https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103729095

Hessian矩阵与多元函数极值

旧时模样 提交于 2019-12-22 11:32:09
Hessian矩阵与多元函数极值 海塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。虽然它是一个具有悠久历史的数学成果。可是在机器学习和图像处理(比如SIFT和SURF特征检測)中,我们也经常遇到它。所以本文就来向读者道一道Hessian Matrix的来龙去脉。本文的主要内容包括: 多元函数极值问题 泰勒展开式与Hessian矩阵 多元函数极值问题 回忆一下我们是怎样处理一元函数求极值问题的。 比如。 f ( x ) = x 2 ,我们会先求一阶导数,即 f ′ ( x ) = 2 x ,依据费马定理极值点处的一阶导数一定等于 0 。但这仅是一个必要条件。而非充分条件。对于 f ( x ) = x 2 来说,函数的确在一阶导数为零的点取得了极值,可是对于 f ( x ) = x 3 来说,显然只检查一阶导数是不足以下定论的。 这时我们须要再求一次导,假设二阶导数 f ″ < 0 ,那么说明函数在该点取得局部极大值;假设二阶导数 f ″ > 0 ,则说明函数在该点取得局部极小值;假设 f ″ = 0 。则结果仍然是不确定的,我们就不得不再通过其它方式来确定函数的极值性。 假设要在多元函数中求极值点,方法与此相似。 作为一个演示样例。最好还是用一个三元函数 f = f ( x , y , z ) 来作为演示样例

理解梯度下降法

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-03 00:30:01
导言 最优化问题在机器学习中有非常重要的地位,很多机器学习算法最后都归结为求解最优化问题。在各种最优化算法中,梯度下降法是最简单、最常见的一种,在深度学习的训练中被广为使用。在本文中, SIGAI 将为大家系统的讲述梯度下降法的原理和实现细节问题。 最优化问题是求解函数极值的问题,包括极大值和极小值。相信所有的读者对这个问题都不陌生,在初中时我们就学会了求解二次函数的极值(抛物线的顶点),高中时学习了幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数等各种类型的函数,求函数极值的题更是频频出现。这些方法都采用了各种各样的技巧,没有一个统一的方案。 真正的飞跃发生在大学时,微积分为我们求函数的极值提供了一个统一的思路:找函数的导数等于0的点,因为在极值点处,导数必定为0。这样,只要函数的可导的,我们就可以用这个万能的方法解决问题,幸运的是,在实际应用中我们遇到的函数基本上都是可导的。 在机器学习之类的实际应用中,我们一般将最优化问题统一表述为求解函数的极小值问题,即: 其中x称为优化变量,f称为目标函数。极大值问题可以转换成极小值问题来求解,只需要将目标函数加上负号即可: 有些时候会对优化变量x有约束,包括等式约束和不等式约束,它们定义了优化变量的可行域,即满足约束条件的点构成的集合。在这里我们先不考虑带约束条件的问题。 一个优化问题的全局极小值是指对于可行域里所有的x,有:

编程作业ex3:多元分类与神经网络

假装没事ソ 提交于 2019-12-01 10:23:25
一、多元分类 1.1 数据集 本次实现的是手写数字的识别,数据集中有5000个样本,其中每个样本是20*20像素的一张图片,每个像素都用一个点数来表示,该点数表示这个位置的灰度,将20*20的像素网络展开为400维向量,而训练集中的5000*400的矩阵,每一行就代表了一个手写数字图像的灰度值。 训练集的第二部分是5000维向量y,包含训练集的标签,为了与没有0索引的MATLAB索引兼容,我们将数字零映射到10,因此,\ 0“数字被标记为\ 10”,而数字\ 1“至\ 9”则按照其自然顺序被标记为\ 1“至\ 9”。 1.2 可视化数据 可视化数据的代码已经完成,运行可以看到随机从数据集中挑选出来的100个数字 数据可视化函数: function [h, display_array] = displayData(X, example_width) %DISPLAYDATA Display 2D data in a nice grid % [h, display_array] = DISPLAYDATA(X, example_width) displays 2D data % stored in X in a nice grid. It returns the figure handle h and the % displayed array if requested. % Set

最优化理论与技术(一)

╄→尐↘猪︶ㄣ 提交于 2019-11-30 06:20:49
课程内容 预备知识 线性规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法 工程应用优化 预备知识 最优化问题 多元函数的Taylor公式 多元函数极值问题 凸集、凸函数和凸优化 算法相关概念 算法概述 最优化问题 数学表示 \[minf(x)\\s.t \quad c(x)\ge 0\] \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) 是一个包含多变量的向量:决策变量 \(c(x)\) 是对各个变量约束的等式和不等式:约束条件 可行域:约束条件在空间围成的区域 可行解:可行域中每个点都是原问题的可行点 \(f(x)\) :目标函数 最优解:能使目标函数达到最大或最小的可行解 分类 按约束 无约束 有约束 等式约束 不等式约束 按目标函数 线性规划 非线性规划 按函数变量 整数规划 非整数规划 按目标函数个数 单目标优化 多目标优化 多元函数的Taylor公式 多元函数的梯度 偏导 :多元函数降维时的变化,比如二元函数固定 \(y\) ,只让 \(x\) 单独变化,从而看成关于 \(x\) 的一元函数的变化 \[f_x(x,y)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\] 记作 \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) 梯度 :多元函数在 \(A\)