递推公式

前言 递归是算法中一种非常重要的思想，应用也很广，小到阶乘,再在工作中用到的比如统计文件夹大小，大到 Google 的 PageRank 算法都能看到，也是面试官很喜欢的考点 最近看了不少递归的文章，收获不小，不过我发现大部分网上的讲递归的文章都不太全面，主要的问题在于解题后大部分都没有给出相应的时间/空间复杂度，而时间/空间复杂度是算法的重要考量!递归算法的时间复杂度普遍比较难（需要用到归纳法等），换句话说，如果能解决递归的算法复杂度，其他算法题题的时间复杂度也基本不在话下。另外，递归算法的时间复杂度不少是不能接受的，如果发现算出的时间复杂度过大，则需要转换思路，看下是否有更好的解法 ，这才是根本目的，不要为了递归而递归！ 本文试图从以下几个方面来讲解递归 什么是递归？ 递归算法通用解决思路 实战演练（从初级到高阶） 力争让大家对递归的认知能上一个新台阶，特别会对递归的精华:时间复杂度作详细剖析，会给大家总结一套很通用的求解递归时间复杂度的套路，相信你看完肯定会有收获 什么是递归 简单地说，就是如果在函数中存在着调用函数本身的情况，这种现象就叫递归。 以阶乘函数为例,如下, 在 factorial 函数中存在着 factorial(n - 1) 的调用，所以此函数是递归函数 public int factorial ( int n ) { if ( n < = 1 ) {

今年的ACM暑期集训队一共有18人，分为6支队伍。其中有一个叫做EOF的队伍，由04级的阿牛、XC以及05级的COY组成。在共同的集训生活中，大家建立了深厚的友谊，阿牛准备做点什么来纪念这段激情燃烧的岁月，想了一想，阿牛从家里拿来了一块上等的牛肉干，准备在上面刻下一个长度为n的只由"E" “O” "F"三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）,阿牛同时禁止在串中出现O相邻的情况，他认为，"OO"看起来就像发怒的眼睛，效果不好。 你，NEW ACMer,EOF的崇拜者，能帮阿牛算一下一共有多少种满足要求的不同的字符串吗？ PS: 阿牛还有一个小秘密，就是准备把这个刻有 EOF的牛肉干，作为神秘礼物献给杭电五十周年校庆，可以想象，当校长接过这块牛肉干的时候该有多高兴！这里，请允许我代表杭电的ACMer向阿牛表示感谢！ 再次感谢！ Input 输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数n组成，(0<n<40)。 Output 对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。 Sample Input 1 2 Sample Output 3 8 递推公式推导 有了递推公式，而且知道f(1),f(2); 结果大家就会求了吧。 # include <bits/stdc++.h> using namespace std ; int

利用阶乘公式来计算组合式： 程序设计思想： 根据公式来计算组合数的大小，从键盘输入n,k的值，设计一个计算阶乘的大小，如果输入的数a为1或0，则直接return 1，否则运用递归，计算a-1的阶乘，直到a为1时，递归结束。 程序流程图： 程序源代码： public static void main(String args[]) { int n ,k,c; Scanner in=new Scanner(System.in); System.out.print("输入从n个数中选k个数中n,k的值:"); n=in.nextInt(); k=in.nextInt(); System.out.println("结果为:"); c=jiecheng(n)/(jiecheng(k)*jiecheng(n-k)); System.out.println(c); } public static int jiecheng(int x) { 　　int y=1; 　　if(x==1||x==0) 　　y=1; 　　else y=jiecheng(x-1)*x; 　　return y; } 根据杨辉三角递推求组合数 程序设计思想： 根据杨辉三角的规律，得出杨辉三角的第n行的第m个的值等于该位置的元素的上一行的左右两个输的和，然后根据杨辉三角与组合数的关系即c(n,m)等于杨辉三角的第n+1的第m

前言 递归是算法中一种非常重要的思想，应用也很广，小到阶乘,再在工作中用到的比如统计文件夹大小，大到 Google 的 PageRank 算法都能看到，也是面试官很喜欢的考点 最近看了不少递归的文章，收获不小，不过我发现大部分网上的讲递归的文章都不太全面，主要的问题在于解题后大部分都没有给出相应的时间/空间复杂度，而时间/空间复杂度是算法的重要考量!递归算法的时间复杂度普遍比较难（需要用到归纳法等），换句话说，如果能解决递归的算法复杂度，其他算法题题的时间复杂度也基本不在话下。另外，递归算法的时间复杂度不少是不能接受的，如果发现算出的时间复杂度过大，则需要转换思路，看下是否有更好的解法 ，这才是根本目的，不要为了递归而递归！ 本文试图从以下几个方面来讲解递归 什么是递归？ 递归算法通用解决思路 实战演练（从初级到高阶） 力争让大家对递归的认知能上一个新台阶，特别会对递归的精华:时间复杂度作详细剖析，会给大家总结一套很通用的求解递归时间复杂度的套路，相信你看完肯定会有收获 什么是递归 简单地说，就是如果在函数中存在着调用函数本身的情况，这种现象就叫递归。 以阶乘函数为例,如下, 在 factorial 函数中存在着 factorial(n - 1) 的调用，所以此函数是递归函数 public int factorial(int n) { if (n < =1) { return 1;

前言 递归是算法中一种非常重要的思想，应用也很广，小到阶乘,再在工作中用到的比如统计文件夹大小，大到 Google 的 PageRank 算法都能看到，也是面试官很喜欢的考点 最近看了不少递归的文章，收获不小，不过我发现大部分网上的讲递归的文章都不太全面，主要的问题在于解题后大部分都没有给出相应的时间/空间复杂度，而时间/空间复杂度是算法的重要考量!递归算法的时间复杂度普遍比较难（需要用到归纳法等），换句话说，如果能解决递归的算法复杂度，其他算法题题的时间复杂度也基本不在话下。另外，递归算法的时间复杂度不少是不能接受的，如果发现算出的时间复杂度过大，则需要转换思路，看下是否有更好的解法 ，这才是根本目的，不要为了递归而递归！ 本文试图从以下几个方面来讲解递归 什么是递归？ 递归算法通用解决思路 实战演练（从初级到高阶） 力争让大家对递归的认知能上一个新台阶，特别会对递归的精华:时间复杂度作详细剖析，会给大家总结一套很通用的求解递归时间复杂度的套路，相信你看完肯定会有收获 什么是递归 简单地说，就是如果在函数中存在着调用函数本身的情况，这种现象就叫递归。 以阶层函数为例,如下, 在 factorial 函数中存在着 factorial(n - 1) 的调用，所以此函数是递归函数 public int factorial(int n) { if (n < =1) { return 1;

一到周末就开始放荡自我，这不带着女朋友去万达电影院看电影（其实是由于整天呆在家敲代码硬是 被女朋友强行拖拽去看电影，作为一个有理想的程序员，我想各位应该都能体谅我），一到电影院， 女朋友说要买爆米花和可乐，我当时二话没说，臣本布衣躬耕于南阳，壤中羞涩，所以单买了爆米 花，买完都不带回头看老板的那种，饮料喝多了不好，出门的时候我带了白开水，还得亏我长得销 魂，乍一看就能看出是个社会精神小伙，女朋友也没多说什么，只是对我微了微笑（我估计是被我的 颜值以及独到的见解所折服），刚坐下没多久，女朋友突然问我，咱们现在坐在第几排啊？电影院里 面太黑了，看不清，没法数，这个时候，如果是你现在你怎么办？别忘了你我是程序员，这个可难不 倒我，递归就开始排上用场了。于是我就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一， 就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前 问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告 诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程 叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。我们用递推公式将 它表示出来就是这样的 f ( n ) = f (n - 1) + 1 其中，f ( 1 ) = 1 f(n

一、开篇问题 推荐注册返佣金的这个功能我想你应该不陌生吧？现在很多App都有这个功能。这个功能中，用户A推荐用户B来注册，用户B又推荐了用户C来注册。我们可以说，用户C的“最终推荐人”为用户A， 用户B的“最终推荐人”也为用户A，而用户A没有“最终推荐人”。 一般来说，我们会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中，我们可以记录两⾏数据，其中actor_id表示用户id，referrer_id表示推荐人id。 基于这个背景，我的问题是， 给定一个用户ID，如何查找这个用户的“最终推荐人”？ 带着这个问题，我们来学习今天的内 容，递归（Recursion） 二、如何理解递归 1、电影院案例 周末你带着女朋友去电影院看电影，女朋友问你，咱们现在坐在第几排啊？电影院里面太黑了，看不清，没法数，现在你怎么办？ 2、用递归解决你在第几排的问题 别忘了你是程序员，这个可难不倒你，递归就开始排上用场了： 于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。 但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排， 然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪几排，于是你就知道答案了。 这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程： 去的过程叫“递”，回来的过程叫“归” 。基本上

今天做acm题时碰到了卡特兰数,于是就上百度查了卡特兰数的解释,其中有这么一段: 出栈次序 一个 栈 (无穷大)的 进栈 序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的 出栈 序列? 常规分析 首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定，从开始到栈第一次出到空为止，这段过程中第一个出栈的序数是k。特别地，如果栈直到整个过程结束时才空，则k=n 首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。 此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。 看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。 最后，令f（0）=1，f（1）=1。 其中提到首次出空之前第一个出栈的序数k,k把序列分成了1~k-1和k+1~n两个部分,把k作为序数时f(n)=f(k-1