定积分

第六十四节:定积分证明题的类型，一般变限积分的求导 第六十五节:定积分计算的方法 第六十六节:利用被积函数的特点简化定积分的计算 第六十七节:利用被积函数的特点简化定积分的计算（续），微元法思想 第六十八节:微元法，平面图形面积 第六十九节:平面图形面积例题，曲边扇形面积，夹在两平行平平面间立体的体积 来源： CSDN 作者： Major_s 链接： https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103626557

定积分： 直观的说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为坐标平面上由曲线、直线以及轴围城的去边梯形的面积值(一个确定的实数值) 案例 求二次函数y = 2x^2 + 3x + 4在[-5,5]区间内的积分 import numpy as np import matplotlib . pyplot as mp #画图用 import matplotlib . patches as mc #图像打补丁用 import scipy . integrate as si #numpy求定积分用 #声明曲线函数 def f ( x ) : return 2 * x ** 2 + 3 * 4 + 4 #1. 在区间[-5,5]间拆出1000个满足f(x)的点,画出该函数曲线 a , b = - 5 , 5 x1 = np . linspace ( a , b , 1001 ) y1 = f ( x1 ) mp . figure ( 'Integral' , facecolor = 'lightgray' ) mp . title ( 'Integral' , fontsize = 20 ) mp . xlabel ( 'x' , fontsize = 14 ) mp . ylabel ( 'y' , fontsize = 14 ) #设置刻度参数

推导一： 定义一个变上限积分函数 ，让函数 获得增量 ，则对应的函数增量 根据积分中值定理可得， ，（ξ在x与x+Δx之间） ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 所以 即 　　 推导二： 我们用分点 将被积区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 。相应的原函数 的总改变量 可分为 个部分改变量的和。即： 根据微分中值定理，在每个小区间 内，一定存在一点 ，使得 。 从而 。 当 时，根据定积分的定义，我们有 。 上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在，避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性，使得定积分的计算过程大大简化，同时也把定积分（被定义为积分和的极限）与不定积分（被定义为原函数）两个看起来毫不相干的概念联系起来。这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。 值得注意的是，微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分，需要求出被积函数的不定积分。但是，求原函数并不都是很容易的，有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数，常常是用表格或曲线给出的，这时写不出被积函数的表达式，当然也就无法用式子写出它的原函数。这时，我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天，数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。 来源： CSDN 作者： 研发之道 链接： https://blog

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。 牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。 定义 如果函数 在区间 上连续，并且存在原函数 ， 则 弱化条件 如果函数 区间 上有定义，并且满足以下条件： （1）在区间 上可积； （2）在区间 上存在原函数 ； 则 公式推导 编辑 推导一 定义一个变上限积分函数 ，让函数 获得增量 ，则对应的函数增量 根据积分中值定理可得， ，（ξ在x与x+Δx之间） ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 所以 即 　　 证毕。 推导二 因为函数 在区间 上可积，任取区间 的分割 在区间 上任取一点 ，则有 其次，对于分割 ，有 在区间 上对函数 应用拉格朗日中值定理得 其中 因此有 证毕。 定理推广 编辑 二重积分形式 设函数 在矩形区域 上连续，如果存在一个二元函数 ，使得 ， 则二重积分 曲线积分形式 设 D

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英语： 背下100个单词，百词斩与配套资料，孰知其意，练习听力，并且做了1篇阅读，1篇翻译，1篇作文。 C语言： 复习数组的应用 复习函数的定义 复习返回语句 复习函数的参数 高数： 学习定积分： 了解定积分 学习定积分定义： 了解被积函数，被积表达式，积分变量，积分下限，积分上限，积分区间。 f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 了解定积分的近似运算过程 学习矩形法来进行定积分近似运算 学习定积分的性质： 积分可加性 区间可加性 数乘性 单调性 掌握绝对值不等式 学习积分估值定理 掌握积分中值公式并进行运用 学习微积分基本公式： 学习积分上下限函数 掌握变上限积分求导公式 掌握牛顿-莱布尼茨公式 以上公式通过例题理解与习题来进行灵活运用 通过视频授课了解以上知识点以及练习。 线性代数： 复习行列式： 包括二阶与三阶行列式 全排列和对换 n阶行列式的定义 来源： https://www.cnblogs.com/www-bokeyuan-com/p/11337943.html