线性代数之——图和网络
1. 图 一个图由一系列节点以及连接它们的边组成， 关联矩阵 （incidence matrix）则告诉我们 \(n\) 个顶点是怎么被 \(m\) 条边连接的。关联矩阵中的每个元素都是 0,1 或者 -1，在消元过程中这也依然成立，所有的主元和乘数都是 \(\pm1\) 。因此分解 \(A=LU\) 也只包含 0,1 或者 -1，零空间矩阵亦是如此。四个基本子空间的基向量都只包含这些特别简单的元素。 我们来看第一个关联矩阵。注意到每一行都有一个 -1 和 1，这个矩阵在求一个图中六条边上的电压差。 零空间是一条穿过 \(\boldsymbol x=(1,1,1,1)\) 的直线，列空间的维度为 3，主行是行空间的一个基。每个零空间中的向量垂直于行空间中的任意向量。 上面展示了一个有 6 条边 4 个顶点的图，所以矩阵是 6×4 大小的，元素 -1 和 1 告诉我们每个箭头的方向，从节点流出为负，流入节点为正，这是一个有向图。比如，第一行告诉我们有一条边从节点 1 指向节点 2。矩阵的行数为边的数目，列数为顶点的数目。看到一个图后，你就可以直接写出对应的关联矩阵。 第一个图是完全的——每一对节点都有边连接，第二个图是一个树——图中没有回路。它们分别是两个极端，最大的边数为 \(\frac{1}{2}n(n-1)\) ，最小的边数为 \(n-1\) 。 可以看到，B