导数

一、高阶高数 1.1、由加速度引出二阶导数 1.2、高阶导数的定义 来源： CSDN 作者： chbxw 链接： https://blog.csdn.net/wuxintdrh/article/details/104413848

无约束优化实践 训练一个神经网络 优化理论实践 用了一周的时间学习了一下最优化理论这门课，为了更深度地理解各种优化方法的理念和算法过程，自己把这些算法应用到实践中是很必要的。为此我设计了和优化算法相关的四个实验项目，在这里和大家分享一下。 无约束优化方法 前馈神经网络 根据链式法则，从输出层直接对误差函数求导得到的误差(这里我们简写为δ)，就可以通过和上面的这些局部导数不断做乘积、并把新的δ传播到上一层，就能计算得到所有参数的导数。通过一阶导数，就能实现基本的梯度优化方法。 训练方法 神经网络可以很好地处理函数拟合问题，因为模型带有大量可调节的参数，而且内置了非线性的激励函数，这就让神经网络实现各种函数的拟合成为可能。 前面已经说到，全连接神经网络(前馈神经网络)的前向传播和反向传播都可以写成简单的矩阵与矩阵相乘，矩阵和常数相乘，矩阵和常数相加的形式。只要按照上面的公式实现矩阵运算，就可以搭建一个自己的神经网络了。 我们这里将要实现的是函数拟合，训练的过程可以理解为是让神经网络输出与真实函数值相差最小的过程，因此使用均方误差MSE进行训练。 均方误差是二次型函数，显然是凸函数。神经网络内的参数w和b都没有约束条件，即训练神经网络的问题是一个无约束凸优化问题。 算法的选择是要经过考虑的。首先，神经网络内参数的导数容易从反向传播算法得到，但是二阶导数不是那么容易计算

本文始发于个人公众号： TechFlow，原创不易，求个关注 上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。 我们先来看第一种情况：多个函数进行四则运算的导数。 函数四则运算求导法则 我们假设 \(u=u(x)\) 和 \(v=v(x)\) 都在x点有导数，那么它们进行加减乘除四则运算之后的结果的导数有如下性质： \[ \begin{aligned} \left[u(x) \pm v(x)\right]'&= u'(x) \pm v'(x) \\ \left[u(x)v(x)\right]' &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} (v(x) \neq 0) \end{aligned} \] 我们来看一下证明过程，熟悉证明过程并不是炫技，除了能加深对公式的理解之外，更重要的是防止遗忘。即使以后真的不记得公式的细节了，也可以临时推导一下，这是学算法和数学很重要的技巧。 我们先来看第一个，第一个很容易证明，我们直接套一下导数的公式即可：

泰勒公式 带佩亚诺余项的泰勒公式 微分的意义是用线性函数去逼近一个复杂的函数。实际上，我们还可以引入更高次的多项式取逼近一个复杂的函数，这就是Taylor公式表达的观点。 定理5.1 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 x 0 x_0 x 0 ​ 的某个邻域上有直到 n − 1 n-1 n − 1 阶导数，并且在 x 0 x_0 x 0 ​ 具有 n n n 阶导数，则 f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + o ( ( x − x 0 ) n ) f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) f ( x ) = k = 0 ∑ n ​ k ! f ( k ) ( x 0 ​ ) ​ ( x − x 0 ​ ) k + o ( ( x − x 0 ​ ) n ) 证： 首先， n = 1 n=1 n = 1 时结论显然成立。 假设，如果函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 在 x 0 x_0 x 0 ​ 处有直到 m m m 阶导数，有 f ( x ) = ∑ k = 0 m f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k + o ( ( x − x 0 ) m ) f(x)

定积分的近似计算 定积分应用相关公式 空间解析几何和向量代数 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用 方向导数与梯度 多元函数的极值及其求法 来源： https://www.cnblogs.com/SkystarX/p/12285986.html

本文始发于个人公众号： TechFlow 导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。 函数切线 关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。 比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线 \(y=f(x)\) ，我们想要求出这个曲线在某个点 \(M\) 的切线，那么应该怎么操作呢？ 如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候， \(\angle NMT\) 在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。 在图中，MN的斜率表示为 \(\tan\phi\) ，其中 \(\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\) . 当N逼近于M时： \[\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\] 我们令 \(\Delta x = x - x_0\) ，所以： \[\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta

一、卷积应用-图像边缘提取 图像的高频分量一般出现在像素值显著改变的地方，而高频分量的出现就容易勾画出图像的轮廓。在高等数学中我们知道函数变化剧烈其所对应的导数值越大(极大值)，所以表示图像像素值改变最大的一个方法就是求出图像的导数。其梯度值剧烈的改变预示着图像中内容发生显著变化。 假设我们有一张一维图像，图中灰度值的“跃升”表示边缘的存在，通过对函数进行一阶微分我们可以更加清晰的看到边缘“跃升”的存在，即在其一阶微分中最大值代表其所对应的像素值变化剧烈。我们可以推测对于图像边缘的检测可以通过定位梯度值大于邻域的像素的方法找到（或者推广到大于一个阈值即可认为是图像边缘） 二、Soble算子 Sobel算子是一个离散微分算子(discrete differentiation operator),它用来计算图像灰度函数的近似梯度并结合了高斯平滑和微分求导，又被称为一阶微分算子、求导算子。 1、在两个方向求导 水平变化：将I与一个奇数大小的内核Gx进行卷积，比如当内核大小为3时，Gx计算结果为 垂直变化：将I与一个奇数大小的内核Gy进行卷积，比如当内核大小为3时，Gy的计算结果为： 2、在图像的每一点结合以上两个结果求出近似梯度： 有时也用如下更简单的代替： 注：当内核大小为3时，Sobel内核可能产生比较明显的误差，毕竟Sobel算子只是求取了导数的近似值，为了解决这一问题

# coding: utf-8 # !/usr/bin/python """ @File : 图像梯度.py @Author : jiaming @Modify Time: 2020/2/3 12:13 @Contact : https://blog.csdn.net/weixin_39541632 @Version : 1.0 @Desciption : 图像梯度、图像边界 cv2.Sobel() cv2.Schar() cv2.Laplacian() """ import os import sys import numpy as np import cv2 import pprint from matplotlib import pyplot as plt rawPath = os . path . abspath ( __file__ ) currentFile = os . path . basename ( sys . argv [ 0 ] ) dataPath = rawPath [ : rawPath . find ( currentFile ) ] + r 'static\\' """ OpenCV 提供了三种不同的梯度滤波器，或者说高通滤波器：Sobel、 Scharr、 Laplacian """ """ Sobel 算子和 Scharr 算子 Sobel

边缘检测简介 边缘 就是图像上灰度或者颜色变化很大的一系列连续的点。或者说是图像上不同的区域之间的交界处。 图像中边缘的特点就要从这两方向去分析：方向和幅度。在沿着边缘走向的像素值变化比较平缓；而沿着垂直于边缘的走向，像素值则变化得比较大。 边缘检测方法 我们要研究 边缘检测的方法 ，就要从它的特点入手。是否是边缘可以说是来判断一个点在某个方向上的变化是否剧烈。那么我们怎么用数学的方式去描述这种变化特点呢。在数学上，我们一般使用导数或者微分。 导数 ： 这个很简单，就是连续函数上某点斜率，导数越大表示变化率越大，变化率越大的地方就越是“边缘”。但是，但斜率接近90度的时候，他的斜率就无限大了，在计算机计算的时候就很麻烦了，首先占用空间大，然后就是当斜率过大的时候便无法用常用的数据类型表示了。所以我们一般不用导数来表示 微分 ： 这个概念需要在大学的时候结束，但也很简单。连续函数上x变化了dx，导致y变化了dy，dy/dx 越大，就可以表示变化率很大了。dx趋向于无限小，dy/dx 就是x在该函数上的导数，所以dy/dx就可以来近似导数，我们成这种方式叫做微分。那这种方式有什么优势呢？当我们固定dx，比较不同点的变化率时只用比较dy就好了，所以计算整幅图像的微分，dy的大小就是边缘的强弱了，我们也称之为梯度。所以我们一般会采用微分的方式。 算子 是一个函数空间到另一个函数空间上的映射

# 1.计算图的正向传播与反向传播 计算图 计算图就是一种表示计算过程的数据结构图。计算图通过节点表示某种运算，用带箭头的边表示运算的方向，箭头上标有与运算相关的数据。上图就是一张计算图。 正向传播 上图中黑色箭头表示的就是正向传播。将输入数据x通过某种运算f转化为输出数据y，再传给下一个节点（或输出为最后结果）。 反向传播 上图中灰色箭头表示的就是反向传播。沿着与正向传播相反的方向，将输入数据E乘以局部导数∂y/∂x后传给下一个节点（或输出为最后结果）。 # 2.高效地计算导数 举个例子 式子z = (x+y)^2可以看作是由z = t^2和t = x+y构成的。将其用如下计算图表示出来 根据链式法则可以作进一步转换，得到下图 我们可以发现通过先进行一次正向传播再进行一次反向传播，我们可以得到各个变量的导数值。 这个求导过程是高效的。原因如下 1.中间变量可以重复利用。（如∂z/∂t在计算∂z/∂x和∂z/∂y时都有用到） 2.节点负责封装解析性求局部导数的过程。（没有像数值微分那样用定义求导，而是用解析性公式求导。如x^2的导数是2x） 下面用python实现上述例子的求解导数过程： class AddLayer: def __init__(self): pass # 表示什么也不运行 def forward(self, x, y): # 前向函数，入口参数为加法的两个参数