代数

请见"跟锦数学"今日头条. 跟锦数学210707 裴礼文第二版第855页例7.2.9(2) 跟锦数学210706 裴礼文例 7.4.4 曲面面积一个计算 (通过正交变换做) 跟锦数学210705 通过部分分式求不定积分 跟锦数学210704 Lagrange 中值定理的应用II 跟锦数学210703 Lagrange 中值定理的应用I 跟锦数学210702 Cauchy 中值定理的应用 跟锦数学210701 函数导数存在的一个充分条件 跟锦数学210630 某种直和的存在性 跟锦数学210629 一串无穷限积分的敛散性 跟锦数学210628 无穷小数列的一个性质 跟锦数学210627 一个函数的幂级数展开 (通过复变函数) 跟锦数学210626 一个极限的计算 (同时除以绝对值最大的) 跟锦数学210625 矩阵 A,B 的乘积是单位矩阵的结论 跟锦数学210624 x 的幂的极限 跟锦数学210623 利用等价性判定级数的敛散性 跟锦数学210622 Hadamard 不等式: 涉及凸函数 跟锦数学210621 非负递增数列的一个性质 跟锦数学210620 向量的乘积是否可对角化 跟锦数学210619 多项式的互素性: 自变量的幂, 函数的幂 跟锦数学210618 正定矩阵, 反对称矩阵的柔和 跟锦数学210617 二阶导数中值的存在性 跟锦数学210616

这一部分我们关注正的矩阵，矩阵中的每个元素都大于零。一个重要的事实： 最大的特征值是正的实数，其对应的特征向量也如是 。最大的特征值控制着矩阵 \(A\) 的乘方。 假设我们用 \(A\) 连续乘以一个正的向量 \(\boldsymbol u_0=(a, 1-a)\) ， \(k\) 步后我们得到 \(A^k\boldsymbol u_0\) ，这些向量 \(\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_3,\cdots\) 会接近于一个稳定状态 \(\boldsymbol u_\infty=(0.6, 0.4)\) 。这个最终的结果不依赖于输入向量： 对每一个 \(\boldsymbol u_0\) 我们都收敛到相同的 \(\boldsymbol u_\infty\) 。稳定状态方程 \(A\boldsymbol u_\infty=\boldsymbol u_\infty\) 说明 \(\boldsymbol u_\infty\) 是对应于特征值为 1 的一个特征向量。 乘以矩阵 \(A\) 后的确不会改变 \(\boldsymbol u_\infty\) ，但这依然不能解释为什么所有的 \(\boldsymbol u_0\) 都会变成 \(\boldsymbol u_\infty\) 。让我们来看另外一个例子，它可能有一个稳定状态

数学math， 里面的一个子分类是代数（algebra），【这个单词是不是很耳熟？没错，学过数据库的都应该知道，数据库除了SQL跟事务外，最重要的两个东西，一个就是relational algebra//关系代数，另一个就是relational calculus//关系演算，忘记了同学自行百度】在数学里的术语algebra也是代数，但是calculus就特指微积分了！ 别弄混了！ 微积分以后也慢慢写。 今天开始慢慢复习algebra，也就是所谓的a，b，c，d,.... w, x, y, z 代数，代数，不就是代替数的字母嘛！ 很简单 规律：如图1( 在 ipad pro上用笔写的） 指数函数：exponential function ---- f(x)= a * b^(x). 当b>1时，表示increase very very very fast. 当b<1时，表示decay very very very fast. 物理/实际场景：利息，利滚利。f(x) = 100 * 1.1^ (t)， 表示借了100块，第二天是前一天的1.1倍。f (x) 表示第t天需要还的钱。 等比数列：geometric sequence ---- a(n) = a* b^(n-1). 当b是非负数时，可以理解成离散的指数函数。 级数： geometric series ---- S(n)= a1*

1.高斯消元 在模意义下依然有效，对主元求逆即可。 甚至可以模合数，需要对两个方程辗转相除，复杂度 \(O(n^3\log p)\) 。 辗转相除法只要能定义带余除法就有效。 逆矩阵：对于矩阵 \(A\) ，定义逆矩阵 \(A^{-1}\) 为满足 \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=e\) 的矩阵。 求逆矩阵可以高斯消元。设有 \(A\cdot A^{-1}=e\) 的形式，把 \(A\) 消元成单位矩阵的过程中，对方程右侧进行同样的操作。 应用：设有方程 \(A\cdot x=b\) （大写字母为矩阵，小写字母为向量），对于不同的 \(b\) 多次求解，可以转化为 \(x=A^{-1}\cdot A \cdot x=A^{-1}\cdot b\) 的形式，避免每次高斯消元。 例题 题意： \(n\) 个点的图，有 \(k\) 个关键点，对每对关键点 \((i,j)\) ，求出从 \(i\) 出发随机游走，遇到的第一个关键点是 \(j\) 的概率。 Sol: 枚举终点 \(k\) ，设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 出发，走到的第一个关键点是 \(k\) 的概率。 对每个关键点设一个只进不出的虚点 \(i'\) ，只有当前枚举的终点的 \(f_{k'}=1\) ，其余为 \(0\) 。 然后发现每次高斯消元的不同点只有常数项，那么把常数项看作一个向量

章节 Numpy 介绍 Numpy 安装 NumPy ndarray NumPy 数据类型 NumPy 数组创建 NumPy 基于已有数据创建数组 NumPy 基于数值区间创建数组 NumPy 数组切片 NumPy 广播 NumPy 数组迭代 NumPy 位运算 NumPy 字符串函数 NumPy 数学函数 NumPy 统计函数 NumPy 排序、查找、计数 NumPy 副本和视图 NumPy 矩阵库函数 NumPy 线性代数 NumPy中包含了numpy.linalg模块，提供线性代数运算功能。下表描述了该模块中的一些重要功能。 SN 函数 描述 1 dot() 两个数组的点积 2 vdot() 两个向量的点积 3 inner() 两个数组的内积 4 matmul() 两个数组的矩阵乘积 5 det() 计算矩阵的行列式 6 solve() 解线性矩阵方程 7 inv() 求矩阵的乘法逆矩阵 numpy.dot() numpy.dot() 计算两个数组的点积。 示例 import numpy as np a = np.array([[100,200],[23,12]]) b = np.array([[10,20],[12,21]]) dot = np.dot(a,b) #[100 * 10 + 200 * 12, 100 * 20 + 200 * 21] [23*10+12*12

以下资料来自 Dahua 的博客，非常可惜后来该博客关闭了。 在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。 为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子

解析几何 解析几何有被代数吃掉的趋势，不过就数学系的学生而言，还是应该好好学一下，我大一没有好好学，后来学别的课时总感觉哪里有些不太对劲，后来才发现是自己的数学功底尤其是几何得功底没有打好。 1吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社 写的简单明了，我基础没有打好，快速翻了一下这本书收获还是不少的。不过打基础的时候还是从下面三本选一本看，把这本当参考书。 2《解析几何》丘维声，北京大学出版社 我大一时的课本 3《解析几何》吕根林，许子道 4《解析几何》尤承业 2，3，4写的大同小异 习题集有巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》不过不是那么容易找的到了 代数 前面说过代数有吃掉几何的倾向，所以有许多与时俱进的《代数与几何》。不过还是建议分开学，一门一门的打好基础。许多所谓的简明教程，还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。不建议使用。 1《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组 目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材，有着悠久的传统。目前通常使用的是第三版。也是各大学的考研指定用书。这本书更多以教师为主，给了教师以很大的发挥空间，受到教师的普遍欢迎。不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。讲到了所有应该讲的内容。 2《高等代数》张禾瑞，郝鈵新 被各个师范大学的数学系广泛使用，和1同分天下。张禾瑞已经去世，但书已经出到第五版。 3《线性代数》李烔生

1. 群：集合加上一种运算的代数结构，具有封闭性，符合结合率，么元和可逆的特性 2. SO(3): 旋转矩阵群 3. SE(3): 变换矩阵群 4. 李群：连续光滑的群 5. 由于一个物体可以平滑地从一个姿态转动另一个姿态，所以SO(3)是李群 6. 由于一个物体可以平滑地从一个位置旋转平移到另一个位置，所以SE(3)也是李群 7. 李代数可以理解为是李群局部的倒数 9. 结论1：旋转矩阵的微分是一个反对称左乘它本身 10. 结论2：用旋转矩阵表示的是李群空间，用向量表示的是李代数空间 核心内容转自： http://www.sohu.com/a/270402234_100007727 此处总结主要用于方便自己查阅 来源： https://www.cnblogs.com/StevenWind/p/11343123.html

3、李代数求导与扰动模型 （1）BCH公式及近似形式 BCH公式展开式的前几项，其中[]为李括号： 考虑SO(3)上的李代数，且φ 1 或φ 2 为小量时，忽略小量二次以上的项，BCH线性近似为： 其中， 当一个旋转矩阵 R 2 （李代数为φ 2 ）左乘一个微小旋转矩阵J R 1 （李代数为φ 1 ）时，可以近似地看作，在原有的李代数φ 2 上，加上了一项 J l (φ 2 ) -1 φ 1 总结 ：SO(3)和SE(3)上的BCH近似公式，及李代数上的加法对应于李群上带左右雅可比的乘法。 （2）SO(3)李代数上的求导 重要意义：在实际SLAM过程中，经常会构建与位姿有关的函数，然后讨论该函数关于位姿的导数，以调整当前的估计值。 问题描述：假设某个时刻机器人的位姿为 T ，观察到一个世界坐标位于 p 的点，产生了一个观测数据 z ，则有： z = Tp + w ，其中 w 是观测噪声。 我们通常计算理想与实际数据间的误差： e = z - Tp ，假设有N个这样的路标点和观测， 则对机器人位姿的估计相当于找一个最优的 T**，使得整体误差最小化**： 问题解决：需要计算目标函数J关于变换矩阵 T 的导数 用李代数解决求导问题的思路有： 用李代数表示姿态，然后对根据李代数加法对李代数求导 对李群 左乘 或 右乘 微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动和右扰动模型 具体推导