格子玻尔兹曼机(Lattice Boltzmann Method)系列1：LBM用于流体模拟的基本原理
1.从粒子碰撞模型到玻尔兹曼方程 首先引入一个分布函数f： LBM在推理过程中的思想实际上跟分子动力学模拟(MD)或是SPH算法很类似，只是推导的过程会相对地十分繁琐，且方向不同导致模型在尺度上的适用性也相差十分大。这些模型中的粒子都规定了一个速度空间和位置空间，以及相应的时间。区别在于，SPH或是MD中，规定的粒子都是可以移动的。而格子玻尔兹曼算法中，粒子被束缚在相应的网格点上，粒子的移动依赖分布函数、密度等参数之间的信息传递来实现。 上述的公式中的右项，可以被划分为两部分：分布函数的变化一部分来源于外力场的影响(下标为d的项)，另一部分则来源于粒子碰撞(下标为c的项)。 如果有力学系背景的话，在《弹性力学》课程中，第一课就会提到一个十分基础的定理：刘维尔定理(Liouville’s theorem)： 刘维尔定理是《弹性力学》的几个基础定理之一，无法从任何一个已知定理中推理得到，但是也不具有“公理”的显然性和一般性。 接下来再看一个粒子的碰撞模型： 在这个粒子碰撞的模型中，可以总结出一个碰撞的公式，这个公式来源于牛顿的力学碰撞体系。因此我们也可以很容易地发现为什么格子玻尔兹曼机不会适用于纳米级的体系。无论是SPH算法还是MD，在进入纳米级时，都会考虑原子之间的作用势函数，但是LBM并不会将其纳入考量。 以上的两个公式描述了分布函数f控制下，速度空间