综述:
取模运算(“Modulo Operation”)和取余运算(“Complementation ”)两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。
取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。
取模运算
定义:
给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。
乍一看和求在定义上算没什么太大的区别,但是实际大有不同。
与取余运算区别
对于整型数a,b来说,取模运算或者求余运算的方法都是:
1.求 整数商: c = a/b;
2.计算模或者余数: r = a - c*b.
但他们在计算时候两者的不同点只有一个
- 取余运算在计算商值向0方向舍弃小数位
- 取模运算在计算商值向负无穷方向舍弃小数位
同时,也可以这样理解:
- 取余,遵循尽可能让商的绝对值小的原则
- 取模,遵循尽可能让商小的原则
即取余(rem)和取模(mod)在被除数、除数同号时,结果是等同的,但是当a,b异号时会有区别,所以要特别注意异号的情况。
例如:
就 a = 7, b = 4 情况而言
c = 7 / 4;
求整数商c,如进行求模运算c = -2(向负无穷方向舍入),求余c = -1(向0方向舍入);
同理
7mod 4 = 1(商 = -1 或 -2,-2<-1,取商=-2)
7 mod -4 = -1(商 = -1或-2,-2<-1,取商=-2)
-7 mod -4 = -3(商 = 1或2,1<2,取商=1)
归纳:当a和b符号一致时,求模运算和求余运算所得的c的值为正且一致,因此结果一致,但c为负则不同。
另外还有一点小区别:
另外各个环境下%运算符的含义不同,比如c/c++,java 为取余,而python则为取模。
编程中模运算常用性质
1.) n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。
模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
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(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)
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(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)
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(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)
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a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)
ps: 前四个很常用。
另附:
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结合律:
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)
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交换律:
(a + b) % p = (b+a) % p (7)
(a * b) % p = (b * a) % p (8)
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分配律:
(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p (9)
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (10)
重要定理
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若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(11)
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若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(12)
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若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),
(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (13)
经常采用模运算求解的问题(ACM)
(以后开文章详细说。 )