简述 取模运算Modulo Operation 及其与 取余运算Complementation 区别联系

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-03 00:43:02

综述:

取模运算(“Modulo Operation”)和取余运算(“Complementation ”)两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。

取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。


取模运算

定义:

给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :

其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r < p,则称 k 为 n 除以 p 的商,r 为 n 除以 p 的余数。

乍一看和求在定义上算没什么太大的区别,但是实际大有不同。

与取余运算区别

对于整型数a,b来说,取模运算或者求余运算的方法都是:

1.求 整数商: c = a/b;

2.计算模或者余数: r = a - c*b.

但他们在计算时候两者的不同点只有一个

  • 取余运算在计算商值向0方向舍弃小数位
  • 取模运算在计算商值向负无穷方向舍弃小数位

同时,也可以这样理解:

  • 取余,遵循尽可能让商的绝对值小的原则
  • 取模,遵循尽可能让商小的原则

即取余(rem)和取模(mod)在被除数、除数同号时,结果是等同的,但是当a,b异号时会有区别,所以要特别注意异号的情况

例如:

就 a = 7, b = 4 情况而言

c = 7 / 4;

求整数商c,如进行求模运算c = -2(向负无穷方向舍入),求余c = -1(向0方向舍入);

同理

7mod 4 = 1(商 = -1 或 -2,-2<-1,取商=-2)

7 mod -4 = -1(商 = -1或-2,-2<-1,取商=-2)

-7 mod -4 = -3(商 = 1或2,1<2,取商=1)

归纳:当a和b符号一致时,求模运算和求余运算所得的c的值为正且一致,因此结果一致,但c为负则不同。

另外还有一点小区别:

另外各个环境下%运算符的含义不同,比如c/c++,java 为取余,而python则为取模。


编程中模运算常用性质

1.) n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。

模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:

  1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

  2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)

  3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

  4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)

ps: 前四个很常用。

另附:

  • 结合律:

    ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)

  • 交换律:

    (a + b) % p = (b+a) % p (7)

(a * b) % p = (b * a) % p (8)

  • 分配律:

    (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p (9)

    ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (10)

重要定理

  • 若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(11)

  • 若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(12)

  • 若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),

    (a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (13)


经常采用模运算求解的问题(ACM)

  1. 判别奇偶数
  2. 判别素数
  3. 求最大公约数
  4. 水仙花数
  5. 模幂运算
  6. 《孙子问题(中国剩余定理)》
  7. 凯撒密码

(以后开文章详细说。 )

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