面试题40，最小的k个数，堆解法和快速选择解法。
照这个思路，可以引入一个结构，使得前k个数总是最大的数在第一个，这样每次遇到一个数值需要和前k个数中排在第一位的那个最大数比较就可以了。
这个结构就是最大堆。
思路一：维护一个maxSize为k的最大堆，用来存放这k个数，遍历数组，如果堆未满，插入堆中。如果堆已满，如果数字比堆的根节点小，则删除堆的根节点，向堆中插入这个数字。
时间复杂度为 O(nlog(k))。如果求最大的k个数，就是使用最小堆了。
思路二：其实我们也可以在n个整数的范围内构建最小堆，然后每次将堆顶的最小值取走，然后调整，再取走堆顶值，取k次，自然就找到了最小的k个数。
这样做的时间复杂度是多少呢？基于n个无序数构建最小堆，时间是O(n)，而取走堆顶元素，将堆末元素放到堆顶重新调整的时间复杂度是 O(h)，h为堆高度，这里堆高度h总是logn保持不变。
因此时间复杂度是O(n+klogn)，这个思路可以再改进：每次重新调整，只需要基于堆顶部k层进行调整，堆末元素被放到堆顶后，最多只需要下调至k层即可，因此调整的时间复杂度成了O(k)。这样做的时间复杂度成了 O(n+kk)。
可以证明O(n+k*k) < O(nlog(k))，但是实际情况下，是否思路二更好呢？
我们别忘了思路二的初始化需要基于整个n个数构建堆，而思路一则不需要。实际情况下，我们往往需要基于大量分布式存储的n个数找出k个数，例如：在分布式存在10台服务器上的总大小大约2T的访问页面记录中找出访问量最高的100个页面。想要跨10台服务器整体构建最大堆，显然不现实，而思路一则只需要维护一个100的最小堆，然后顺序遍历10台服务器上的记录即可。
因此思路一更加具有实际意义。
这里给出思路一的实现。
如果真正写代码，要知道堆是没有STL的，也就是说我们要自己实现。
书中使用了multiset，multiset和set一样，都是基于红黑树实现，区别是set不允许重复而multiset允许重复。
那么multiset和vector区别在哪里？区别在于multiset支持排序。multiset的插入和删除的时间复杂度也都为 O(logk)
代码：
[
](javascript:void(0)?
typedef multiset<int, greater<int> > intSet; typedef multiset<int, greater<int> >::iterator setIterator; void GetLeastNumbers_Solution2(const vector<int>& data, intSet& leastNumbers, int k) { leastNumbers.clear(); if(k < 1 || data.size() < k) return; vector<int>::const_iterator iter = data.begin(); for(; iter != data.end(); ++ iter) { if((leastNumbers.size()) < k) leastNumbers.insert(*iter); else { setIterator iterGreatest = leastNumbers.begin(); if(*iter < *(leastNumbers.begin())) { leastNumbers.erase(iterGreatest); leastNumbers.insert(*iter); } } } } [](javascript:void(0)?
第三种思路，快速选择 法。
如果K< |Sa|（ |Sa|表示Sa的大小），则对Sa部分用同样的方法继续操作；
如果K= |Sa|，则Sa是所求的数；
如果K= |Sa| + 1，则Sa和这个pivot一起构成所求解；
如果K> |Sa| + 1，则对Sb部分用同样的方法查找最小的（K- |Sa|-1）个数（其中Sa和pivot已经是解的一部分了）。
当pivot选择的足够好的时候，可以做到时间复杂度是O(n)
那么如何选择一个好的pivot?
这里必须提BFPRT算法，这个算法就是为了寻找数组中第k小的数而设。
BFPRT是一种获得较优秀pivot的方法。其过程有一个flash动画作为演示。其过程是将n个数5个一组划分，求出没一个5元组的中位数，然后再基于这些中位数继续求中位数，这个重复的次数应该是由k的大小来定，随后将选出的中位数作为pivot，将小于pivot的数交换到数组的左侧。接着基于这些小于pivot的值，继续通过“寻找中位数，定pivot，交换法” 来缩小范围，直到最后在一个较小范围内找到k个最小值。
BFPRT算法的时间复杂度做到了O(n)。这个算法的原文链接在此：Time Bounds for Selection。
vector<int> GetLeastNumbers_Solution(vector<int> input, int k) { vector<int> output; if (input.empty() || k == 0||k>input.size()) return ; int start = 0; int end = input.size() - 1; int index = partition(input, start, end); while (index != k - 1){ if (index > k - 1){ end = index - 1; index = partition(input, start, end); } else{ start = index + 1; index = partition(input, start, end); } } for (int i = 0; i < k; ++i) output.push_back(input[i]); return output; } int partition(vector<int> &array, int start, int end) { // 选择一个pivotIndex int pivotIndex = rand() % (end - start + 1) + start; // 随机选一个 swap(array[pivotIndex], array[end]); // 将pivot换到末尾 int small = start; for (int i = start; i < end; i++) { if (array[i] < array[end]) { swap(array[small], array[i]); small++; } } swap(array[small], array[end]); return small; }