【题目大意】
给你树的节点个数\(n\),询问个数\(m\)和树根\(s\),
输入\(n,m,s\);
输入\(n\)对\(x,y.\)表示\(x,y\)结点之间有一条边
输入\(m\)对\(a,b.\)表示求\(a,b\)的最近公共祖先
【思路】
下面的解释均以这个图为例
今天用这道题来说一下倍增,先预处理出每个节点的深度,和lg数组,就是\(log_2{i}\)的值.所谓倍增，就是按\(2\)的倍数来增大，也就是跳\(1,2,4,8,16,32……\)不过在这我们不是按从小到大跳，而是从大向小跳，即按\(……32,16,8,4,2,11\)来跳，如果大的跳不过去，再把它调小。这是因为从小开始跳，可能会出现“悔棋”的现象。拿\(5\)为例，从小向大跳，\(5≠1+2+4\),所以我们还要回溯一步，然后才能得出\(5=1+4\)；而从大向小跳，直接可以得出\(5=4+1\)。这也可以拿二进制为例，\(5(101)\)，从高位向低位填很简单，如果填了这位之后比原数大了，那我就不填，这个过程是很好操作的。
还是以\(17\)和\(18\)为例（此例只演示倍增，并不是倍增LCA算法的真正路径）
\(17->3\)
\(18->5->3\)
可以看出向上跳的次数大大减小。这个算法的时间复杂度为\(O(nlogn)\),已经可以满足大部分的需求。
想要实现这个算法，首先我们要记录各个点的深度和他们\(2^{i}\)级的的祖先，用数组\(depth\)表示每个节点的深度，\(fa[i][j]\)表示节点\(i\)的\(2^j\)级祖先。 代码如下：
void dfs(int f,int fath)//f表示当前节点,fath表示他的父亲 { depth[f]=depth[fath]+1; fa[f][0]=fath; for(int i=1;(1<<i)<=depth[f];i++) fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1]; //这个转移是核心.意思是f的2^i祖先等于f的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先 //2^i=2^(i-1)*2^(i-1) for(int i=head[f];i;i=e[i].nex) if(e[i].t!=fath) dfs(e[i].t,f); } 预处理完毕后，我们就可以去找它的\(LCA\)了，为了让它跑得快一些，我们可以加一个常数优化
for(int i=1;i<=n;i++) //预先算出log_2(i)+1的值，用的时候直接调用就可以了 lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i); //看不懂的可以手推一下
接下来就是倍增\(LCA\)了，我们先把两个点提到同一高度，再统一开始跳。
但我们在跳的时候不能直接跳到它们的\(LCA\)，因为这可能会误判，比如\(4\)和\(8\)，在跳的时候，我们可能会认为\(1\)是它们的\(LCA\)，但\(1\)只是它们的祖先，它们的\(LCA\)其实是\(3\)。所以我们要跳到它们\(LCA\)的下面一层，比如\(4\)和\(8\)，我们就跳到\(4\)和\(5\)，然后输出它们的父节点，这样就不会误判了。
int lca(int x,int y) { if(depth[x]<depth[y])//保证x比y深.便于一会调到同一深度 swap(x,y); while(depth[x]>depth[y])//调到同一深度. x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1]; if(x==y)//如果到了同一个点了,那就到了lca了. return x; for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;k--)//不断往上调. if(fa[x][k]!=fa[y][k])//如果两个父亲不一样. x=fa[x][k],y=fa[y][k];//继续往上跳 return fa[x][0];//返回 } 完整的求\(17\)和\(18\)的LCA的路径：
\(17->10->7->3\)
\(18->16->8->5->3\)
解释：首先，1818要跳到和1717深度相同，然后1818和1717一起向上跳，一直跳到LCA的下一层(1717是77，1818是55)，此时LCA就是它们的父亲
这个题就是这样.so easy.
完整代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> #include<iomanip> #include<cstdlib> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<stack> #include<vector> #define ll long long using namespace std; inline int read() { int s=0,w=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); return s*w; } struct yyy { int t,nex; }e[2*500001]; int depth[500001],fa[500001][22],lg[500001],head[500001]; int tot; void add(int x,int y) { e[++tot].t=y; e[tot].nex=head[x]; head[x]=tot; } void dfs(int f,int fath) { depth[f]=depth[fath]+1; fa[f][0]=fath; for(int i=1;(1<<i)<=depth[f];i++) fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1]; for(int i=head[f];i;i=e[i].nex) if(e[i].t!=fath) dfs(e[i].t,f); } int lca(int x,int y) { if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y); while(depth[x]>depth[y]) x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1]; if(x==y) return x; for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;k--) if(fa[x][k]!=fa[y][k]) x=fa[x][k],y=fa[y][k]; return fa[x][0]; } int n,m,s; int main() { n=read(),m=read(),s=read(); for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++) x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x); dfs(s,0); for(int i=1;i<=n;i++) lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i); for(int i=1,x,y;i<=m;i++) x=read(),y=read(),printf("%d\n",lca(x,y)); return 0; } 倍增也就是这个思想了吧.