最近写题的时候经常遇到一些数论题，似乎是扩欧又似乎不是，为了加深自己的印象并且整理一下以前模糊的思路，就写下这篇笔记。
感谢巨巨的博客：https://www.cnblogs.com/KatouKatou/p/9818175.html
同时其中部分证明参考了柯召 孙琦编著的《数论讲义》第二版。
欧几里得算法
在讨论扩展欧几里得算法前先厘清一下欧几里得算法，也就是我们常说的辗转相除法。熟练掌握的人可以跳过，不过如果不知道如何证明的话可以看一下证明过程，说不定会有某种程度上的启发。
用途
辗转相除法的应用范围很单一，就是用来求两个整数的最大公因数的。
过程
假设我们要求的是a和b的最大公因数，设a=b*q1+r1,如果r1!=0，那么我们使a=b,b=r1,那么新的a和b必然也有类似的关系a=b*q2+r2,重复这个操作直到这个算式中的r（a/b的余数）等于0时，那个式子中的b就是原始的a,b两数的最大公因数。配合代码理解一下。
int gcd(int a,int b)
{
return b?:gcd(b,a%b):a;
}
证明
在看过程中可能会有一个疑问：为什么我们可以这样子不断变换a,b的值？这就需要先证明一个先导定理：设a,b,c是三个不全为0的整数，且a=b*q+c ①,其中q是整数，则a与b的最大公因数等于b与c的最大公因数。
为了方便表述，我在这里引用一个符号（a,b）来表示a和b的最大公因数。
证：
因为（a,b）整除与a，也整除于b,所以由①式我们可以得到（a,b）也整除于c（这里就不证明了），因而(a,b)<=(b,c)（因为（a,b）同时是b和c的约数，也就是说它是b和c的公约数，那么它必然小于等于b和c的最大公约数）。用同样的方法我们可以得到（a,b)>=(b,c)，于是我们就可以得到（a,b）=(b,c)的结论，证毕。
然后我们来证明辗转相除法，其实在证明之前还有一个我们常常默认为正确的定理需要证明（设a,b为两个整数且b>0，则存在两个唯一整数q，r使得 a=b*q+r,0<=r<b）,不过一直在这种地方喋喋不休也很烦吧，我就略过不证了，有兴趣的朋友可以自己推导一下，并没有什么难度。
其实这回的证明只要在原来的推导过程中加入一个范围就行。
首先我们有a=b*q1+r1,0<r1<b。（r1如果等于0也就是a被b整除，那就没有证明的必要了，所以为了使证明更清晰我们假设前几式的余数均不为0）
然后有b=r1*q2+r2,0<r2<r1,
r1=r2*q3+r3,0<r3<r2
......
rn-2 = rn-1 * qn + rn,0 < rn <rn-1
rn-1 = rn * qn+1 + rn+1,rn+1= 0
可以看到余数r的值是不断减少的，那么在有限次的交换后r必定会变成0，我们假设r n+1=0，那么我们就可以得到rn=（0, rn）=(rn,r n-1)=......=（r2,r1）=(r1,b)=(b,a)。证毕。
扩展欧几里得
证明
扩展算法的形式就是 对于任给的a>0,b>0,有a*x+b*y=(a,b)。这个结论其实我们用前面证明欧几里得算法的过程就可以得出。
在前面证明欧几里得算法的时候我们列出了一连串的式子，然后我们把它们变换一下，从倒数第二式开始，我们可以得到rn-2 - rn-1 * qn = rn，
同理 rn-1= rn-3 - rn-2 * qn-1,合并两式 可以得到 rn = rn-2 * (1+ qn * qn-1)-rn-3 * qn,我们再将rn-2 = rn-4 - rn-3 *qn代入，如此反复，最后就可以得到
rn =a*x+b*y 即（a,b）=a*x+b*y，其中x,y是两个整数。
解法
对于a>0,b>0,有a*x1+b*y1=(a,b)，
同样可得b*x2+(a%b)*y2=(b,a%b)=(a,b)
所以可以得到a*x1+b*y1=b*x2+(a-[a/b]*b)*y2
即a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-[a/b]*y2)
那么由恒等定理可以得到x1=y2,y1=x2-[a/b]*y2。
([a/b]表示小于等于a/b的最大整数）
至此我们就得到了一个递推式，而由前面欧几里得算法的推导过程我们知道，在推导到边界的时有b=0,return a，即gcd(a,0)=a，那么就有 a*xn+b*yn=a,显然此时xn=1,yn=0。
到此为止，我们就求出了这个方程的一个特解。
而在实际的应用过程中，等式的右边不一定为（a,b），而可能为一个任意的整数c，这时该如何求解？
首先根据我们已经得出的结论，我们可以断言：如果c%(a,b)!=0，那么这个式子是肯定无解的。相对的，假如c%（a,b）=0并且c/(a,b)=t，那么我们只需要在求出的解上乘上一个t就行了。
同时我们对x,y可能也有要求，该如何得到不同的使等式成立的x,y呢。可以想到的是对x,y进行加减操作，同时控制变化量保证等式恒等，显然假如x加上b，y减去a，那么等式是成立的，但这样我们无法保证变化量最小，也就是说我们不能保证这样加减可以得到所有可能的解。而通过观察之后，我们可以想到，x和y分别的最小的变化量应当分别是b/gcd(a,b)和a/gcd(a,b)。如此扩展欧几里得的求解就结束了。
最后附上代码
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
2 {
3 if(!b)
4 {
5 x=1;
6 y=0;
7 return a;
8 }
9 int x2,y2;
10 int ans=exgcd(b,a%b,x2,y2);
11 x=y2;
12 y=x2-(a/b)*y2;
13 return ans;
14 }
代码的返回值就是a,b的最大公因数