一、逻辑回归的概念
逻辑回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，经济预测等领域。逻辑回归从本质来说属于二分类问题，是基于Sigmoid函数（又叫“S型函数”）的有监督二类分类模型。
二、Sigmoid函数
Sigmoid函数公式为：
其导数形式为：（注意，导数形式在后期会被用到）
Sigmoid函数其图像如下所示，其取值范围被压缩到0到1之间。
我们知道有监督分类问题需要有带类别标记的训练样本，
中的
就对应训练集中某个样本的信息。 而样本信息通常用一系列特征的线性组合来表示，即 
其中
表示 n 个特征，
是每个特征的权重，代表对应特征的重要程度，
是偏移，上式通常被写成向量形式： 
（ 对应的等于1）。那么Sigmoid函数就可以相应地写为如下的形式： 
假设我们知道了某个样本对应的特征取值和权重参数，那么只要将其带入上式即可得到一个0到1之间的数，通常认为
则属于正类别，反之属于负类别，即这个数其实反映了该样本属于正类别的概率。现在的问题是，我们手上有了训练集，即样本的都是已知的，而模型参数是未知的。我们需要通过训练集来确定未知的值。一旦被确定，每当面临新样本时，我们就可以将其对应的
扔到
中，根据结果是否大于0.5，轻松加愉快地得出新样本的类别了。
三、逻辑回归为什么要用sigmoid函数而不是用其他呢？
首先需要了解几个知识点：A.指数族分布 B.广义线性模型
A.指数族分布
指数族分布下面的公司，即：
其中，η为自然参数，T(y)为充分统计量，通常T(y)=y，α(η)为正则化项。
B.广义线性模型
满足下面三个假设的模型成为广义线性模型：
①
满足一个以η为参数的指数族分布
②给定x，我们目标是预测y的期望值，即
③
因为逻辑回归假设数据服从伯努利分布，我们用一个简单例子来介绍伯努利分布：抛硬币，一枚硬币抛中正面的概率为p，那么反面的概率则为1-p。
伯努利分布的概率质量函数（PMF）为：
分段函数比较简单易懂，但是对于后面的推导比较麻烦，于是有：
对上式进行log操作：
其中，令
所以可以得出伯努利分布属于指数族分布。
即伯努利分布满足广义线性模型的第一个假设，下面利用广义线性模型后面两个假设得到：
四、目标函数
假设训练集中有
个样本，每个样本属于正类别的概率为 
，属于负类别的概率就是 
，在训练过程中，我们应该尽可能地使整个训练集的分类结果与这个样本的类别标记尽可能地一致。换句话说，我们要使训练样本集分类正确的似然函数最大（每个样本相互独立），而我们可以很容易地写出如下的似然函数： 
其中
是训练集中第 
个样本已经被标记好的类别，若
为1.则上式的前半部分起作用，反之后半部分起作用。由于对
整体求 
，其极值点保持不变，因此
可以简化为： 
接下来的任务是求相应的
值，使得
取最大值。如果对
整体取负号即为Logistic回归的损失函数（loss function），相应地，应该求使
取最小值的。
五、求解过程与正则化
一般采用梯度下降法对
进行求解，这里不再细说。
在实际应用中,为了防止过拟合，使得模型具有较强的泛化能力，往往还需要在目标函数中加入正则项。在逻辑回归的实际应用中，L1正则应用较为广泛，原因是在面临诸如广告系统等实际应用的场景，特征的维度往往达到百万级甚至上亿，而L1正则会产生稀疏模型，在避免过拟合的同时起到了特征选择的作用。
六、总结
优点：
简单易于实现。
逻辑回归可以输出一个[0,1]之间的浮点数，也就是不仅可以产生分类的类别，同时产生属于该类别的概率。
逻辑回归是连续可导的，易于最优化求解。
缺点：
容易过拟合
原始的逻辑回归只能处理两分类问题，且必须线性可分。
七、拓展
为什么逻辑回归使用交叉熵损失函数而不用均方误差？参考https://blog.csdn.net/dpengwang/article/details/96597606