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本文讲解了使用PyMC3进行基本的贝叶斯统计分析过程.
# Imports import pymc3 as pm # python的概率编程包 import numpy.random as npr # numpy是用来做科学计算的 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # matplotlib是用来画图的 import matplotlib as mpl from collections import Counter # ? import seaborn as sns # ? # import missingno as msno # 用来应对缺失的数据 # Set plotting style # plt.style.use('fivethirtyeight') sns.set_style('white') sns.set_context('poster') %load_ext autoreload %autoreload 2 %matplotlib inline %config InlineBackend.figure_format = 'retina' import warnings warnings.filterwarnings('ignore') 使用python进行贝叶斯统计分析¶
贝叶斯公式¶
贝叶斯主义者的思维方式¶
根据证据不断更新信念
pymc3¶
常见的统计分析问题¶
- 参数估计: "真实值是否等于X"
- 比较两组实验数据: "实验组是否与对照组不同? "
问题1: 参数估计¶
"真实值是否等于X?"
或者说
"给定数据，对于感兴趣的参数，可能值的概率分布是多少？"
例 1: 抛硬币问题¶
我把我的硬币抛了 n次，正面是 h次。 这枚硬币是有偏的吗？
参数估计问题parameterized problem¶
先验假设¶
- 对参数预先的假设分布: p∼Uniform(0,1)
- likelihood function(似然函数, 翻译这词还不如英文原文呢): data∼Bernoulli(p)
# 产生所需要的数据 from random import shuffle total = 30 n_heads = 11 n_tails = total - n_heads tosses = [1] * n_heads + [0] * n_tails shuffle(tosses)
数据¶
fig = plot_coins() plt.show()
MCMC Inference Button (TM)¶
100%|██████████| 2500/2500 [00:00<00:00, 3382.23it/s]
结果¶
pm.traceplot(coin_trace) plt.show()
In [10]:
plt.show()
- 95% highest posterior density (HPD, 大概类似于置信区间) 包含了 region of practical equivalence (ROPE, 实际等同区间).
例 2: 药品活性问题¶
我有一个新开发的分子X; X在阻止流感病毒复制方面有多好？
实验¶
-
测试X的浓度范围, 测量流感活性
-
计算 IC50: 能够抑制病毒复制活性50%的X浓度.
data¶
import pandas as pd chem_df = pd.DataFrame(chem_data) chem_df.columns = ['concentration', 'activity'] chem_df['concentration_log'] = chem_df['concentration'].apply(lambda x:np.log10(x)) # df.set_index('concentration', inplace=True) 参数化问题parameterized problem¶
给定数据, 求出化学物质的IC50值是多少, 并且求出置信区间( 原文中the uncertainty surrounding it, 后面看类似置信区间的含义)?
先验知识¶
- 由药学知识已知测量函数(measurement function): m=β1+ex−IC50
- 测量函数中的参数估计, 来自先验知识: β∼HalfNormal(1002)
- 关于感兴趣参数的先验知识: log(IC50)∼ImproperFlat
- likelihood function: data∼N(m,1)
数据¶
In [13]:
fig = plot_chemical_data(log=True) plt.show()
MCMC Inference Button (TM)¶
In [16]:
pm.traceplot(ic50_trace[2000:], varnames=['IC50_log10', 'IC50']) # live: sample from step 2000 onwards. plt.show()
结果¶
In [17]:
pm.plot_posterior(ic50_trace[4000:], varnames=['IC50'], color='#87ceeb', point_estimate='mean') plt.show()
该化学物质的 IC50 大约在[2 mM, 2.4 mM] (95% HPD). 这不是个好的药物候选者. 在这个问提上不确定性影响不大, 看看单位数量级就知道IC50在毫摩的物质没什么用...
第二类问题: 实验组之间的比较¶
"实验组和对照组之间是否有差别? "
例 1: 药品对IQ的影响问题¶
药品治疗是否影响(提高)IQ分数?
def ECDF(data): x = np.sort(data) y = np.cumsum(x) / np.sum(x) return x, y def plot_drug(): fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1,1,1) x_drug, y_drug = ECDF(drug) ax.plot(x_drug, y_drug, label='drug, n={0}'.format(len(drug))) x_placebo, y_placebo = ECDF(placebo) ax.plot(x_placebo, y_placebo, label='placebo, n={0}'.format(len(placebo))) ax.legend() ax.set_xlabel('IQ Score') ax.set_ylabel('Cumulative Frequency') ax.hlines(0.5, ax.get_xlim()[0], ax.get_xlim()[1], linestyle='--') return fig In [19]:
# Eric Ma自己很好奇, 从频率主义的观点, 差别是否已经是具有"具有统计学意义" from scipy.stats import ttest_ind ttest_ind(drug, placebo) # (非配对) t检验. P=0.025, 已经<0.05了
Out[19]:
Ttest_indResult(statistic=2.2806701634329549, pvalue=0.025011500508647616)
实验¶
- 参与者被随机分为两组:
给药组vs.安慰剂组
- 测量参与者的IQ分数
先验知识¶
- 被测数据符合t分布: data∼StudentsT(μ,σ,ν)
以下为t分布的几个参数:
- 均值符合正态分布: μ∼N(0,1002)
- 自由度(degrees of freedom)符合指数分布: ν∼Exp(30)
- 方差是positively-distributed: σ∼HalfCauchy(1002)
数据¶
In [20]:
fig = plot_drug() plt.show()
代码¶
In [21]:
y_vals = np.concatenate([drug, placebo]) labels = ['drug'] * len(drug) + ['placebo'] * len(placebo) data = pd.DataFrame([y_vals, labels]).T data.columns = ['IQ', 'treatment']
MCMC Inference Button (TM)¶
结果¶
In [24]:
pm.traceplot(kruschke_trace[2000:], varnames=['mu_drug', 'mu_placebo']) plt.show()
In [25]:
pm.plot_posterior(kruschke_trace[2000:], color='#87ceeb', varnames=['mu_drug', 'mu_placebo', 'diff_means']) plt.show()
- IQ均值的差距为: [0.5, 4.6]
- 频率主义的 p-value: 0.02 (!!!!!!!!)
注: IQ的差异在10以上才有点意义. p-value=0.02说明组间有差异, 但没说差异有多大. 这个故事说的是虽然有差异, 但是差异太小了, 也没啥意思.
In [27]:
ax = adjust_forestplot_for_slides(ax) plt.show()
森林图：在同一轴上的95％HPD（细线），IQR（粗线）和后验分布的中位数（点），使我们能够直接比较治疗组和对照组。
In [29]:
ax = pm.plot_posterior(kruschke_trace[2000:], varnames=['effect_size'], color='#87ceeb') overlay_effect_size(ax)
- 效果大小（Cohen's d, 效果微小, 效果中等, 效果很大）可以从微小到很大（95％HPD [0.0，0.77]）。
- 这种药很可能是无关紧要的。
- 没有生物学意义的证据。
例 2: 手机消毒问题¶
比较两种常用的消毒方法, 和我的fancy方法, 哪种消毒方法更好
实验设计¶
- 将手机随机分到6组: 4 "fancy" 方法 + 2 "control" 方法.
- 处理前后对手机表面进行拭子菌培养
- count 菌落数量, 比较处理前后的菌落计数
Out[30]:
sample_id int32 treatment int32 colonies_pre int32 colonies_post int32 morphologies_pre int32 morphologies_post int32 year float32 month float32 day float32 perc_reduction morph float32 site int32 phone ID float32 no case float32 frac_change_colonies float64 dtype: object
数据¶
In [32]:
fig = plot_colonies_data() plt.show()
先验知识¶
菌落计数符合泊松Poisson分布. 因此...
- 菌落计数符合泊松分布: dataij∼Poisson(μij),j∈[pre,post],i∈[1,2,3...]
- 泊松分布的参数是离散均匀分布: μij∼DiscreteUniform(0,104),j∈[pre,post],i∈[1,2,3...]
- 灭菌效力通过百分比变化测量，定义如下: mupre−mupostmupre
MCMC Inference Button (TM)¶
In [34]:
with poisson_estimation: poisson_trace = pm.sample(200000)
Assigned Metropolis to pre_mus Assigned Metropolis to post_mus 100%|██████████| 200500/200500 [01:15<00:00, 2671.98it/s]
In [35]:
pm.traceplot(poisson_trace[50000:], varnames=['pre_mus', 'post_mus']) plt.show()
结果¶
In [39]:
pm.forestplot(poisson_trace[50000:], varnames=['perc_change'], ylabels=treatment_order) #, xrange=[0, 110]) plt.xlabel('Percentage Reduction') ax = plt.gca() ax = adjust_forestplot_for_slides(ax) 
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