在机器学习中，我们经常要利用极大似然法近似数据整体的分布，本篇文章通过介绍极大似然法及其一些性质，旨在深入浅出地解释清楚极大似然法。
0. 贝叶斯概率
首先看一下经典的贝叶斯公式：
$$
p(Y|X)=\frac{p(X|Y)p(Y)}{p(X)}
$$
其中，$p(Y)$称为先验概率($prior$)，即根据先验知识得出的关于变量$Y$的分布，$p(X|Y)$称为似然函数（$likelihood$），$p(X)$为变量$X$的概率，$p(Y|X)$称之为条件概率（给定变量$X$的情况下$Y$的概率，$posterior$，后验概率）。
1. 似然函数
似然，即可能性；顾名思义，则似然函数就是关于可能性的函数了。在统计学中，它表示了模型参数的似然性，即作为统计模型中参数的函数。一般形式如下：
$$
L(\omega)=p(D | \omega) = p(x_1, x_2, \cdots ,x_n| \omega)
$$
其中，$D$表示样本集${x_1,x_2,\cdots, x_n}$, $\omega$表示参数向量。
似然函数表示了在不同的参数向量$\omega$下，观测数据出现的可能性的大小，它是参数向量$\omega$的函数。在某种意义上，我们可以认为其是条件概率的逆反$^{[1]}$。
在这里利用Wikipedia$^{[1]}$中的例子简要说明一下似然函数，同时也引出极大似然估计。
考虑优质一枚硬币的实验，通常来说，我们的硬币都是“公平”（质地均匀）的，即正面向上（Head）的概率$p_H=0.5$，由此概率我们可以知道投掷若干次后各种结果出现的可能性（概率，或然性）。
例如，投掷硬币两次，两次都为上的概率为0.25，利用条件概率表示，即：
$$
P(HH|p_h=0.5)=0.5^2=0.25
$$
如果一个硬币并非质地均匀，那么它可能是一枚“非公平”的。在统计学中，我们关注的是已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有$p_H$的概率正面朝上，则有$1-p_H$的概率反面朝上。这时通过观察已发生的两次投掷，条件概率可以改写成似然函数：
$$
L(p_H)=P(HH|p_H=0.5)=0.25
$$也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，$p_H$的似然性是0.25。注意，反之并不成立，即当似然函数为0.25时，不能推论出$p_H=0.25$。
如果考虑$p_H=0.6$，那似然函数也会改变：
$$
L(p_H)=P(HH|p_H=0.6)=0.36
$$
如图所示，注意到似然函数的值变大了。这说明，如果参数$p_H$取值变成0.6的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率比假设$p_H=0.5$时更大，也就是说，参数$p_H$取0.6要比取成0.5更有说服力，更为"合理"。
总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时，函数到底变小还是变大。
对同一个似然函数，其所代表的模型中，某项参数值具有多种可能，但如果存在一个参数值，使得它的函数值最爱的话，那么这个值就是这项参数最为“合理”的参数值。
在这个例子中，$p_H$取1时，似然函数达到最大值。也即是，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。
在上述引用中，我们看到了一个极端的结论，即未来所有的投掷都会是正面向上，这是频率派观点下使用广泛的一种方法，即极大似然法。在上面的观点中（频率派），$\omega$被认为是一个固定的参数，它的值通过估计来确定。但是在贝叶斯派观点中，只有一个数据集$D$(即实际观测到的数据集)，参数的不确定性通过$\omega$的概率分布来表达。贝叶斯的观点是对先验概率的包含是很自然的事情，包含先验概率的贝叶斯方法将不会得到上述的极端结论。
另外还有两点需要注意，第一，似然函数不是$\omega$的概率分布，关于$\omega$的积分并不一定等于1；第二，似然$\ne$概率，概率（或然性）用于在已知一些参数的情况下预测接下来的结果，似然性则是在已知某些结果时，对有关参数进行估值。关于第二点，举个例子，如果我有一枚硬币，如果是质地均匀的（已知参数），那么它出现正面朝上的概率为0.5（结果）；同样地，如果一枚硬币，我抛了100次，正面朝上52次（结果），那么我认为硬币十有八九是质地均匀的（估计参数）。
2. 极大似然估计（maximum likelihood estimation， MLE）
了解了似然函数，那么极大似然估计是什么就很好理解了，它是一种用来估计一个概率模型参数的方法。根据公式（2），我们一旦获得一个数据集$D$，那我们就能求得一个关于$\omega$的估计，极大似然估计会寻找一个最可能的值（此处的可能是最可能的$\omega$，这个$\omega$可以使出现采样$D$的可能性最大化）。
从数学上来讲，我们可以在$\omega$的所有取值中，寻找一个值使得似然函数达到最大值，这种估计方法称之为极大似然估计。极大似然估计是样本不变时，关于$\omega$的函数。极大似然估计不一定存在，也不一定唯一。
在第1节中预测硬币的质地$\omega$，是关于极大似然估计的一个经典例子。其他例子可以查看参考文献$^{[2]}$。
现在我们看一下极大似然估计在正态分布中的应用：
现在假定我们有一个观测的数据集$\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_N)^T$，表示标量变量$x$的N次观测。我们假定各次观测是独立地从高斯分布中抽取，分布的均值$\mu$和方差$\sigma^2$未知，我们想根据数据集来确定这些参数。两个独立事件的联合概率可以由各个事件的边缘概率的乘积得到。我们的数据集$\mathbf{x}$是独立同分布的，因此给定$\mu$和$\sigma^2$，我们可以给出高斯分布的似然函数：
$$
p(\mathbf{x}|\mu,\sigma^2)=\prod_{n=1}^{N}\mathcal{N}(x_n|\mu,\sigma^2)
$$
为了简化分析和有助于数值运算,我们取似然函数的对数（最大化对数似然等价于最大化似然函数，很容易证明）:
$$
ln(\mathbf x|\mu,\sigma^2)=-\frac {1} {2\sigma^2} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu)^2-\frac {N}{2}ln\sigma^2-\frac{N}{2}ln(2\pi)
$$
关于$\mu$，最大化对数似然函数，得到$\mu$的最大似然解：
$$
\mu_{ML}=\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}x_n
$$
可看到解为样本均值。同理，方差$\sigma^2$的最大似然解为：
$$
\sigma_{ML}^2=\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{ML})^2
$$
由此完成了正态分布的极大似然估计。
3. 极大似然的有偏性
极大似然估计方法求解参数有一定局限性$^{[3]}$，极大似然法除了会得出第1节中关于硬币的极端情况外，还会出现一种情况，有偏估计，就是期望$\ne$理想值。最大似然方法会系统化地低估分布的方差。下面进行证明：
均值的估计$\mu_{ML}$的期望$E[\mu_{ML}]$为:
$$
E(\mu_{ML})=E(\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}x_n)=\frac {1}{N}E({\sum_{n=1}^{N}x_n})=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}E(x_n)=\mu
$$
方差的估计$\sigma^2$的期望$E[\sigma_{ML}^2]$为：
$$
E[\sigma_{ML}^2]=E(\frac {1}{N} \sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{ML})^2)=E(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}x_n^2-\mu_{ML}^2)=\frac {1}{N}\sum_{n=1}^{N}E(x_n^2)-E(\mu_{ML}^2)
$$
然后求其后两项，正态分布的二阶矩为
$$
E(x_n^2)=\mu^2+\sigma^2
$$
而
$$
E(\mu_{ML}^2)=E((\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n})^2)=\frac{1}{n^2}(n^2\mu^2+n\sigma^2)
$$
故：
$$
E[\sigma_{ML}^2]=\frac{n-1}{n}\sigma^2
$$
由此证明了极大似然的有偏性。其中公式（12）和公式（13）的证明可自行参考正态分布的基础知识。
在这里，PRML$^{[3]}$给出了更直观地解释，如下图：
其中，绿色曲线表示真实高斯分布，数据点是根据此概率分布生成，三条红色分别拟合了三个高斯概率分布，每个数据集包含了两个蓝色数据点，对三个数据集求平均，很明显方差被低估了。因为它是相对样本均值进行测量的，而不是相对真实的均值进行测量
4. 后记
极大似然作为机器学习中的一种最常用方法，深刻理解其含义是非常必要且有用的，应该像这对于理解概率论和一些常见的模型有着很大的帮助。当然，极大似然法还有一些性质，如泛函不变性，渐行线行为，限于时间精力和个人水平，没有给出证明，读者可自行参考维基百科$^{[2]}$。文章中大部分内容为总结和摘抄，共勉。
参考文献：