树的直径
树的直径是指树中两个点之间的最大距离，即最长的一条链。
容易证明(信奥不需要证明)，树的直径的起始点是该树的叶子节点。
求树的直径一般有两种方法，一种是两遍\(dfs\)，另一种是树形\(DP\)。
两遍dfs
我们随便从一个点\(u\)出发，然后去寻找一个离这个点最远的一个点\(v\)。
然后再从这个点v出发去寻找最长链。
void dfs(int x,int p) {
for(re int i = head[x] ; i ; i = t[i].next) {
int v = t[i].to;
if(vis[v]) continue;
vis[v]=1;
dis[v] = p + t[i].dis;
if(dis[v] > ans) {
ans=dis[v];
node=v;
}
dfs(v,dis[v]);
}
}
树形DP
用\(f[x][1]\)维护在x的子树中的最长链。
用\(f[x][2]\)维护在x的子树中的次长链。
那么在\(x\)的子树中的最长链就是\(f[x][1]+f[x][2]\).
void dfs(int x, int fa) {
for(re int i = head[x]; i; i = t[i].net) {
int v = t[i].to;
if(v == fa) continue; dfs(v,x);
if(l[v][1] + t[i].dis > l[x][1])
l[x][2] = l[x][1], l[x][1] = l[v][1] + t[i].dis;
else if(l[v][1] + t[i].dis > l[x][2])
l[x][2] = l[v][1] + t[i].dis;
if(lian < l[x][1]+l[x][2]) lian = l[x][1] + l[x][2];
}
}
树上求LCA
LCA(Lowest Common Ancestors)即最近公共祖先，
是指在有根树中，找出某两个结点\(u\)和\(v\)最近的公共祖先.
目前只会两种方法，倍增和树链剖分。
倍增求LCA
f[x][i]是指节点x向上第\(2^i\)个节点。
有一个关键的式子：\(f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1].\)
void dfs(int x, int fa) {
f[x][0] = fa; deep[x] = deep[fa] + 1;
for(re int i = 1; (1 << i) <= deep[x]; ++ i) //不超过根节点
f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
for(re int i = head[x]; i; i = t[i].net)
if(t[i].to != fa) dfs(t[i].to, x);
}
int lca(int x, int y) {
if(deep[x] < deep[y]) std :: swap(x,y); // 让x为深度更大的
for(re int i = 21; i >= 0; -- i)
if(deep[x] - (1 << i) >= deep[y]) // 使x的深度始终大于或等于y
x = f[x][i];
if(x == y) return x;
for(re int i = 21; i >= 0; -- i)
if(f[x][i] == f[y][i]) continue;
else x = f[x][i], y = f[y][i];
return f[x][0]; // x的父亲一定是LCA
}
树链剖分求LCA
每一个节点都去维护一个子树大小，深度，链顶，父亲，最重链(最大子树)。
第一次\(dfs\)去求深度，父亲和子树大小。
第二次\(dfs\)去求链顶。
求\(LCA\)的时候，不断的更新链顶深度大的，使其在同一深度。
\(LCA\)就是深度小的那个。
void dfs_1(int x) {
deep[x] = deep[fa[x]] + 1; size[x] = 1;
for(re int i = head[x]; i; i = t[i].net) {
int v = t[i].to;
if(fa[x] == v) continue; // 父亲已经遍历了
fa[v] = x; dfs_1(v);
size[x] += size[v];
if(size[son[x]] < size[v] || !son[x]) son[x] = v;
//没有儿子或者是儿子的子树重量没有当前子树重量大，都会更新
}
}
void dfs_2(int x, int tp) {
top[x] = tp; // 一条链上的人链顶都相同
if(son[x]) dfs_2(son[x],tp); // 还有儿子
for(re int i = head[x]; i; i = t[i].net) {
int v = t[i].to;
if(fa[x] == v || son[x] == v) continue;
// 父亲和儿子都遍历过了
dfs_2(v, v);
}
}
int lca(int x, int y) {
while(top[x] != top[y]) { // 更新深度大的
if(deep[top[x]] < deep[top[y]]) y = fa[top[y]];
else x = fa[top[x]];
}
return deep[x] < deep[y] ? x : y;
}