树链问题合集

树上差分

给一条链(u,v)加1，在u处+1，v处+1，LCA处-2。
用树状数组在dfs序上单点修改单点查询，但是修改是往前贡献，查询是往后查询，$O(nlogn)$。
如果询问都在修改之后可以直接树形DP由下往上传，$O(n)$。
eg：BZOJ3631: [JLOI2014]松鼠的新家

查询一个点到根的路径的和

有时候链上问题可以转化成两点和lca到根的路径和问题。
如果是单点修改，用树状数组在dfs序上对子树差分，单点查询（即前缀和），$O(nlogn)$。
eg：BZOJ2819: Nim
如果还有子树修改，考虑修改一个点$x$对它的子树中点$y$的贡献：

• 单点修改$x$，加上$a$，贡献为$a$
• 子树修改$x$，子树加上$a$，贡献为$a*(deep[y]-deep[x]+1)=a*deep[y]+a*(1-deep[x])$

维护两个树状数组，一个存直接贡献（单点修改的a和子树修改的a*(1-deep[x])），一个存间接贡献（子树修改的a，求后乘上对应的deep）即可。
eg：BZOJ4034: [HAOI2015]树上操作

万能解法：树链剖分+线段树

无论是求和、异或、最大值、最小值、颜色段数、单点修改、子树修改、链修改统统一套搞定。。

链并

求几个点到根的链并可以将点按dfs序排序后每个点+1，相邻两点LCA-1。
求几条树链的并可以把每条链按树链剖分取dfs序区间，然后求区间并。

来源：https://blog.csdn.net/C20181220_xiang_m_y/article/details/100821389