(28)Go记忆化搜索和动态规划解决问题

北慕城南 提交于 2019-11-29 06:31:16
问题1:求爬楼梯方法 //


结构图如下

根据上图,可以推导出:
设c(n)为爬n阶楼梯的方法总数
例1)每次可以爬 1 或 2 个台阶,则c(n)=c(n-1)+c(n-2)
例2)每次可以爬 1 或 2 或 3 个台阶,则c(n)=c(n-1)+c(n-2)+c(n-3)
理解好这点,代码就容易写了

动态规划实现
func climbStairs(n int) int {
	if n < 2 {
		return 1 // 无台阶可走算1种
	}

	memo := make([]int, n+1)
	memo[0] = 1
	memo[1] = 1
	for i := 2; i <= n; i++ {
		memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2]
	}
	return memo[n]
}


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问题2:求三角形最短路径和 //

思路:先弄清该三角形的数学关系
第x行有x+1个点,x行y列点的下一行相邻两点坐标是[x+1][y],[x+1][y+1]
理解好这点,之后写代码较容易

// 解法1:动态规划1--二维空间存储 (理解好解法1有助于理解解法2)
// 定义(n+1)*(n+1)的二维数组minDis[][]int
// minDis[i][j]代表triangle[i][j]到达底部的最短距离,最底层最短距离为本身的值
// minDis[0][0]代表从顶层到最底层的最短距离
// 空间复杂度为O(n^2)
func minimumTotal(triangle [][]int) int {
	n := len(triangle)
	if n == 0 {
		return 0
	}

	// (n+1)*(n+1)二维数组
	// n+1层是为了统一逻辑好写代码
	minDis := make([][]int, n+1)
	for i := 0; i < n+1; i++ {
		minDis[i] = make([]int, n+1)
	}

	// 底层开始遍历
	for i := n - 1; i >= 0; i-- {
		for j, v := range triangle[i] {
			// 相邻的两个点是下一层的j,j+1
			// 默认值均为0,第一层循环结束后,n-1(底层)层存储的是自身的值
			minDis[i][j] = v + min(minDis[i+1][j], minDis[i+1][j+1])
		}
	}
	return minDis[0][0]
}


解法1提交leetcode,通过

由解法1可以看出,triangle[i][j]的最短距离依赖i+1层的正下方和右边,
因此点[i+1][j]前面的值更新为i行的数据,并不会影响i行后续最短距离的更新
triangle[i][j]最短距离的更新可以写成minDis[j] = triangle + min(minDis[j], minDis[j+1])

// 解法2:动态规划2--一维空间存储
// 空间复杂度为O(n)
func minimumTotal2(triangle [][]int) int {
	n := len(triangle)
	if n == 0 {
		return 0
	}

	// (n+1)一维数组
	//+1是为了统一逻辑好写代码
	// minDis[0]为顶层到底层的最短距离
	minDis := make([]int, n+1)

	// 底层开始遍历
	// 第一次循环后,minDis的值即为底层本身的值(距离)
	for i := n - 1; i >= 0; i-- {
		for j, v := range triangle[i] {
			// j更新前为上一层的j位置的最短距离,更新后j为本层最短距离,
			// 而j+1不被改变,在下一次循环中可用来做比较和更新
			minDis[j] = v + min(minDis[j], minDis[j+1])
		}
	}
	return minDis[0]
}


提交leetcode,通过

问题3:打家劫舍 //


展开图如下:

上上图可知://
设rob[0.n]为偷取[0..n]房子的最佳策略,v[0...n]为房子东西的价值
偷取[0...n]范围的房子,存在n种决策
rob[0...n] = max{v[0]+rob[2...n],v[1]+rob[3...n],v[2]+rob[4...n],...,v[n-2]+rob[n...n],v[n-1],v[n]}
所有策略中选择价值最大的一种策略即为最优策略

状态的定义和状态转移方程如下图:

func max(v1, v2 int) int {
	if v1 > v2 {
		return v1
	}
	return v2
}

// 方法1:记忆化搜索
func rob(nums []int) int {
	n := len(nums)
	if n == 0 {
		return 0
	}
	
	// memo[i]表示偷取[i...n-1]所能获得的最大价值
	// 初始值设为-1,表示没有计算过偷取[i..n-1]的最大价值
	memo := make([]int, n)
	for i := 0; i < n; i++ {
		memo[i] = -1
	}
	return tryRob(nums, 0, n, memo)
}

// 考虑抢劫[index...n-1]区间的房子,所能获得的最大收益
func tryRob(nums []int, index, n int, memo []int) int {
	
	// 递归终止条件
	if index >= n {
		return 0
	}
	
	// 递归过程
	if memo[index] != -1 {
		return memo[index]
	}
	
	res := 0 //偷取[index...n-1]的最大价值
	for i := index; i < n; i++ {
		res = max(res, nums[i]+tryRob(nums, i+2, n, memo))
	}
	memo[index] = res
	return res
}

动态规划:
由状态转移方程可以看出rob[n-1...n],依赖于rob[n...n]的答案,
rob[n-2...n],依赖于rob[n-1...n]和rob[n...n]的答案,因此可以从尾部开始解答,
一步步扩大区间,最终解[0...n]的问题

// 方法2 动态规划
// 时间复杂度O(n^2)
func rob2(nums []int) int {
	n := len(nums)
	if n == 0 {
		return 0
	}

	// memo[i] 表示考虑抢劫nums[i...n-1]所能获得的最大收益
	memo := make([]int, n)
	memo[n-1] = nums[n-1]

	// 反向遍历,从小问题一步步求解,最后解出大问题
	for i := n - 2; i >= 0; i-- {
		for j := i; j < n; j++ {
			// j+2会越界,越界即没有可以偷的房子,返回nums[j] + 0
			if j+2 >= n {
				memo[i] = max(memo[i], nums[j])
			} else {
				// 遍历前面所有解,找出最优策略
				memo[i] = max(memo[i], nums[j]+memo[j+2])
			}
		}
	}
	return memo[0]
}

TIM截图20190515183828.jpg
提交leetcode,通过

不同的状态定义,有不同的状态转移方程。
将问题3的状态从考虑偷取[index...n-1]区间改成考虑偷取[0...index]区间
动态规划实现则变成以下这样
// 动态规划2:考虑偷取[0...index]范围里的房子
func rob3(nums []int) int {
	n := len(nums)
	if n == 0 {
		return 0
	}

	// memo[i] 表示考虑抢劫nums[i...i]所能获得的最大收益
	// 这样最大值就是memo[n-1]
	memo := make([]int, n)
	memo[0] = nums[0]

	// 正向遍历,从小问题一步步求解,最后解出大问题
	for i := 1; i < n; i++ {
		for j := i; j >= 0; j-- {
			// j+2有会越界,越界即没有可以偷的房子,返回nums[j] + 0
			if j-2 < 0 {
				memo[i] = max(memo[i], nums[j])
			} else {
				// 遍历前面所有解,找出最优策略
				memo[i] = max(memo[i], nums[j]+memo[j-2])
			}
		}
	}
	return memo[n-1]
}


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