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文章目录
0、前言
为什么准备写这个系列呢？这个问题我思考了好久一阵子，主要是基于两个方面：
- 第一，希望自己能更加认真透彻地去理解深度学习这门艺术，为着自己的目标去努力；
- 第二，就是希望能分享更好更棒的东西给那些初学者，让他们少走一些坑。😃
前一阵子写了一个初学者必看的 大话卷积神经网络CNN（干货满满），反应还不错，算是有了 正反馈，除此之外还上了CSDN首页的今日推荐，nice！！！
这是成为博客专家之后认真写的系列——深度学习专题，加油！！！
1、深度学习到底需要什么能力？
深度学习到底需要什么能力？当你认真了解了之后就会发现，光是理论知识是极其匮乏无力的，和所有学习一样，需要实践，所以 coding 的能力是极其重要的。针对这个问题，目前我有两个计划，一个是针对LeetCode进行刷题，另一个就是追求最朴素的方式——手撕神经网络代码。
很多人都说深度学习就是个 黑箱子，也就是黑盒艺术，诚然我相信目前确实没法真的说得清，这个我在 深度学习100问之深度学习的本质 中讨论过这个问题，这里就不说了。但我要说的是，如果你已是一名功力纯厚的深度学习工程师，这么做当然没问题。但大多数人应该和我一样，都是走在学习深度学习的路上。一上来就上框架对于你做项目之类的并没有什么特别不妥之处，但对你理解深度学习的黑箱机制是了无裨益的。
所以在学习深度学习的路上，从最简单的感知机开始写起，一步一步捋清神经网络的结构，以至于激活函数怎么写、采用何种损失函数、前向传播怎么写、后向传播又怎么写，权值如何迭代更新，这些都需要你自己去实现，坚持下去，必然会有不一样的成效。相反，若在一开始就直接调用框架，小的 demo 可以跑起来，糊弄一时，当让你独自解决一个大问题时，你必然会手足无措。
无论你是在什么书，是看 花书，还是在学习 Adrew NG 的 deeplearningai，或者是在 CS231n 课程，对神经网络的基本理论了如指掌的你，一定很想像自己见过的大佬一样手撕代码，亲手用 python 来实现一个网络模型。下面我们就要开始了，在不借助任何深度学习框架的基础上，利用 python 的科学计算库 numpy 由最初级的感知机开始，从零搭建一个神经网络模型。
2、神经网络的基本概念
如上图，是一个 单隐藏层神经网络，我们来就此说一下相关的概念：
- 输入层
神经网络中的第一层，它需要输入信号并把输入信号传递到下一层，同时不对输入信号做任何操作，并且没有关联的权重和偏置值。在上图中，对应x1，x2，也就是 input layer。
- 输出层
神经网络的最后一层，它接收来自最后一个隐藏层的输入。通过这个层，我们可以知道期望的值和期望的范围。在上图这个网络中，输出层 有1个神经元，输出prediction，也就是 output layer。
- 隐藏层
神经网络输入层与输出层之间的网络结构。一个 隐藏层 是垂直排列的神经元的集合（Representation）。在给出的图像中有1个 隐藏层，这个 隐藏层 有4个神经元（节点），它将自己层的输出值传递给输出层（这块比较拗口，每一个层都有自己的输入和输出，这个是值，不是层，传递的大结构是层）。隐藏层 中的每个神经元都与下一层的每一个神经元有连接，因此我们有一个全连接的 隐藏层。
- 权重与偏置
权重 表示单元之间连接的强度，也就是w。
- 权重 决定了输入对输出的影响程度。如果从节点1到节点2的 权重 比较大，意味着神经元1对神经元2的影响比较大。
- 权重 降低了输入值的重要性，所以当 权重 接近零时意味着更改此输入将几乎不会更改输出，而负 权重 意味着增加此输入会降低输出。
偏置 是神经元的额外输入，当然还有一种叫法，叫做阈值。通俗来说，阈值的高低代表了意愿的强烈，阈值越低就表示越想去，越高就越不想去。
在图中明确写出了上面所讲的四个概念，输入层、隐藏层、输出层、权重和偏置。
- 激活函数
这个概念我们上次讲过，大话卷积神经网络CNN（干货满满），激活函数可以认为是神经网络中的非线性引入者，如果没有非线性，那么再多的层数叠加也不过是一个线性函数，可以用足以简单的 来表示。如下是一些常用的激活函数
- 损失函数
损失函数（loss function） 定义了拟合结果和真实结果之间的差异，作为优化的目标直接关系模型训练的好坏，所以很多研究工作的内容也集中在损失函数的设计优化上。在应用中，损失函数通常作为学习准则与优化问题相联系，即通过最小化损失函数求解和评估模型，在统计学和机器学习中被用于模型的参数估计（parameteric estimation）。
- 前向传播
前向传播的过程是向神经网络馈送输入值并得到prediction的输出。当我们将输入值提供给神经网络的第一层（即输入层）时，它没有进行任何操作，而第二层网络（即隐藏层）则是从第一层网络（即输入层）中的输出值并进行乘法，加法和激活函数等一系列操作，然后将得到的值传递给下一层网络，在我们这里就是输出层（如果有多层隐藏层的话，就在后面的隐藏层中执行相同的操作），最后在输出层得到一个输出值 。
如果后期有时间的话，会在深度学习100问中详细写一写前向传播的，可以期待一下。
- 反向传播
BP算法(即反向传播算法)适合于多层神经元网络的一种学习算法，它建立在梯度下降法的基础上。BP网络的输入输出关系实质上是一种映射关系：一个n输入m输出的BP神经网络所完成的功能是从n维欧氏空间向m维欧氏空间中一有限域的连续映射，这一映射具有高度非线性。它的信息处理能力来源于简单非线性函数的多次复合，因此具有很强的函数复现能力。这是BP算法得以应用的基础。
关于理解反向传播，毛遂自荐一下自己的博客——深度学习100问之深入理解Back Propagation（反向传播）
这里辨析一下两个概念，因为很多初学者容易被这两个概念绕住，一个是前向传播，一个是反向传播。前向传播简单而言就是计算预测输出 y 的过程，而后向传播则是根据预测值和实际值之间的误差，不断往回推更新权值和偏置的过程。
3、神经网络最简单的结构单元：感知机
首先，先来搞一下神经网络最简单的结构单元：感知机，对猫识别问题进行分析。
感知机就是一个最简单的线性分类模型，不严谨的说，就是一个 y=wx+b。
如图所示，是一个比较熟悉的分类模型——猫的识别，详细的理论这里就不多赘述了。现在来想一下一个完整的神经网络模型需要什么，这个必须心中有数，其实简单来说，就是上面提到的相关概念分分类，通常情况下是：
- 构建网络
- 初始化参数
- 迭代优化
- 计算损失
- 反向传播
- 更新参数
4、感知机的编程实现（基于numpy）
有了上面这个思路和进行分析之后，就可以开始编程实现感知机了。当然了，要先说明一下，我们准备实现的是一个最简单的感知机模型，所以不需要做出特别定义，就如图中所示即可。
1）激活函数
首先定义激活函数，激活函数有很多种，上面也给出常用的激活函数，这里就不多说了，直接使用大名鼎鼎的 sigmoid 函数，公式定义如下：
代码如下：
import numpy as np
def sigmoid(x):
return 1 / (1 + np.exp(-x))
2）参数初始化
模型参数主要包括权值 w 和偏置 b，这也是神经网络学习过程中需要学习的东西。关于参数初始化成多少这件事，其实就是一个经验问题，我暂时不知道什么相关的理论，如果你有的话，可以评论告诉我。接着继续利用 numpy 对参数进行初始化，代码如下：
def initilize_with_zeros(dim):
w = np.zeros((dim, 1))
b = 0.0
#assert(w.shape == (dim, 1))
#assert(isinstance(b, float) or isinstance(b, int))
return w, b
接下来就要进入模型的主体部分，这个部分中包括迭代优化、计算损失、反向传播和更新参数这四部分，这也是神经网络训练过程中每一次需要迭代的部分。
3）前向传播
前向传播函数的预测值 y 为模型从输入到经过激活函数处理后的输出的结果。损失函数采用交叉熵损失，公式如下：
利用 numpy 定义如下函数：
def propagate(w, b, X, Y):
m = X.shape[1]
A = sigmoid(np.dot(w.T, X) + b)
cost = -1 / m * np.sum(Y * np.log(A) + (1 - Y) * np.log(1 - A))
dw = np.dot(X, (A - Y).T) / m
db = np.sum(A - Y) / m
# assert(dw.shape == w.shape)
# assert(db.dtype == float)
cost = np.squeeze(cost)
# assert(cost.shape == ())
grads = {'dw': dw,
'db': db}
return grads, cost
在上面的前向传播函数中，先是通过激活函数直接表示了感知机输出的预测值 A，然后通过定义的交叉熵损失函数计算了损失 cost，最后根据损失函数计算了权值 w 和偏置 b 的梯度 dw 和 db，将参数梯度结果以字典和损失一起作为函数的输出进行返回，这就是前向传播的编写思路。
有童鞋不懂 dw 和 db 为什么那么表示的，下面是相关的推导过程，下面贴上自己的手写版本，字迹太草还请见谅。如果你实在不能懂这一块，记住就行，因为可能有的童鞋数学功底不太好，不过这对于我们这一节并不是特别重要。
其中的sigmoid求导过程如下：
至于为什么 dw 没有求和号，db 有求和号，个人觉得应该是 dw 是矩阵乘法，理解为可以自动求和，而 db 是矩阵加法，需要手动求和。
4）反向传播
反向传播操作计算每一步的当前损失，然后根据损失对权值进行更新。关于理解反向传播，还是毛遂自荐一下自己的博客——深度学习100问之深入理解Back Propagation（反向传播），和之前一样，还是定义一个函数，代码如下：
def backward_propagation(
w, b, X, Y,
num_iterations,
learning_rate,
print_cost=False):
cost = []
for i in range(num_iterations):
grad, cost = propagate(w, b, X, Y)
dw = grad['dw']
db = grad['db']
w = w - learing_rate * dw
b = b - learning_rate * db
if i % 100 == 0:
cost.append(cost)
if print_cost and i % 100 == 0:
print("cost after iteration %i: %f" % (i, cost))
params = {"dw": w,
"db": b}
grads = {"dw": dw,
"db": db}
return params, grads, costs
在上述函数中，先是建立了一个损失列表 cost，然后将前一步定义的前向传播函数 propagate(w, b, X, Y) 放进去执行迭代操作，计算每一步的当前损失和梯度 grad，利用梯度下降法对权值进行更新，并用字典封装迭代结束时的参数和梯度进行返回 params。
5）测试函数
通常一个模型建好之后，还需要对测试数据进行预测，根据预测的结果才能判断模型的好坏，所以也要定义一个预测函数 predict，将模型的概率输出转化为0 / 1值，1就是是，0就是否，也就是判断结果。
def predict(w, b, X):
m = X.shape[1]
Y_prediction = np.zeros((1, m))
w = w.reshape(X.shape[0], 1)
A = sigmoid(np.dot(w.T, X) + b)
for i in range(A.shape[1]):
if A[:, i] > 0.5:
Y_prediction[:, i] = 1
else:
Y_prediction[:, i] = 0
# assert(Y_prediction.shape == (1, m))
return Y_prediction
6）封装函数（选看）
到这里整个模型算是写完了，下面这个可以选用，但是定义了这么多函数，调用起来太麻烦，所以致力于要写出 pythonic 的代码的我们，pythonic 是一种代码风格，当然最常用的代码风格还是 PEP8，自己看这个博客——杂谈——Python代码写得丑怎么办？autopep8来帮你，肯定想对这些函数进行一下简单的封装，代码如下：
def model(X_train, Y_train, X_test, Y_test, num_iterations=2000,
learning_rate=0.5,
print_cost=False):
#用零初始化参数
w, b = initialize_with_zeros(X_train.shape[0]) #梯度下降
#从字典 "parameters" 中检索参数 w 和 b
parameters, grads, costs = backward_propagation(
w, b, X_train, Y_train, num_iterations, learning_rate, print_cost)
w = parameters["w"]
b = parameters["b"] # Predict test/train set examples
Y_prediction_train = predict(w, b, X_train)
Y_prediction_test = predict(w, b, X_test) # Print train/test Errors
print("train accuracy: {} %".format(100 - np.mean(np.abs(Y_prediction_train - Y_train)) * 100))
print("test accuracy: {} %".format(100 - np.mean(np.abs(Y_prediction_test - Y_test)) * 100))
d = {"costs": costs,
"Y_prediction_test": Y_prediction_test,
"Y_prediction_train": Y_prediction_train,
"w": w,
"b": b,
"learning_rate": learning_rate,
"num_iterations": num_iterations}
return d
这样，一个简易的神经网络——感知机，就用 numpy 写出来了，下面是实现一个单隐层的神经网络。
5、单隐层神经网络的编程实现（基于numpy）
我们在第二章简单地讲过什么是单隐层的神经网络，就是只有一个隐藏层，而含单隐层的神经网络是不一样的，结构如下所示：
下面按照步骤进行问题分析：
- 构建网络
- 初始化参数
- 迭代优化
- 计算损失
- 反向传播
- 更新参数
1）构建网络
假设 X 为神经网络的输入特征矩阵，y 为标签向量，则网络结构定义如下：
def layer_sizes(X, Y):
n_x = X.shape[0] #输入层大小
n_h = 4 #隐藏层大小
n_y = Y.shape[0] #输出层大小
return (n_x, n_h, n_y)
其中输入层和输出层的大小分别与 X 和 y 的 shape 有关，也就是待定的状态，根据输入输出的要求而有所改变，而隐层的大小可由我们手动指定，这里我们指定隐层的大小为4。
2）初始化参数
假设 W1 为输入层到隐层的权重、b1 为输入层到隐层的偏置；W2 为隐层到输出层的权重，b2 为隐层到输出层的偏置。初始化参数的函数如下：
def initialize_parameters(n_x, n_h, n_y):
W1 = np.random.randn(n_h, n_x)*0.01
b1 = np.zeros((n_h, 1))
W2 = np.random.randn(n_y, n_h)*0.01
b2 = np.zeros((n_y, 1))
#assert (W1.shape == (n_h, n_x))
#assert (b1.shape == (n_h, 1))
#assert (W2.shape == (n_y, n_h))
#assert (b2.shape == (n_y, 1))
parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters
其中对权值的初始化，利用了 numpy 中的生成随机数的模块 np.random.randn，偏置的初始化则是使用了模块 np.zero。通过设置一个字典进行封装，并返回包含初始化参数之后的结果 parameters。
3）前向传播
在完成了前两步之后，就开始执行神经网络的训练过程了，而训练的第一步则是执行前向传播计算。
假设隐层的激活函数为 tanh 函数：
输出层的激活函数为 sigmoid 函数，前面用过的那个激活函数，前向传播的基本原理公式如下：
则我们的单隐层神经网络的前向传播公式为：
定义前向传播计算函数，代码如下：
def forward_propagation(X, parameters):
#从字典 "parameters" 中检索每个参数
W1 = parameters['W1']
b1 = parameters['b1']
W2 = parameters['W2']
b2 = parameters['b2']
#实现正向传播以计算A2（概率）
Z1 = np.dot(W1, X) + b1
A1 = np.tanh(Z1)
Z2 = np.dot(W2, Z1) + b2
A2 = sigmoid(Z2)
#assert(A2.shape == (1, X.shape[1]))
cache = {"Z1": Z1,
"A1": A1,
"Z2": Z2,
"A2": A2}
return A2, cache
从参数初始化结果字典 cache 里取到各自的参数，然后执行一次前向传播计算，将前向传播计算的结果保存到 cache 这个字典中， 其中 A2 为经过 sigmoid 激活函数激活后的输出层的结果。
4）计算损失
前向传播计算完成后，需要确定以当前参数执行计算后的的输出与标签值之间的损失大小，即损失函数。如果采用损失函数交叉熵损失，则公式如下：
代码如下：
def compute_cost(A2, Y, parameters):
m = Y.shape[1] #样例的数量
#计算交叉熵损失
logprobs = np.multiply(np.log(A2), Y) + np.multiply(np.log(1 - A2), 1 - Y)
cost = -1 / m * np.sum(logprobs)
cost = np.squeeze(cost) #确保损失函数是我们期望的维度
#assert(isinstance(cost, float))
return cost
5）反向传播
当前向传播和当前损失确定之后，就需要继续执行反向传播过程来调整权值了，也就是迭代优化。中间涉及到各个参数的梯度计算，这里给出的是吴恩达深度学习课程中的推导公式，具体如下图所示：
则根据上述梯度计算公式定义反向传播函数，代码如下：
def backward_propagation(parameters, cache, X, Y):
m = X.shape[1]
#首先，从字典 "parameters" 中检索 W1 和 W2
W1 = parameters['W1']
W2 = parameters['W2']
#还可以从字典 "cache" 中检索 A1 和 A2
A1 = cache['A1']
A2 = cache['A2']
#反向传播：计算dW1, db1, dW2, db2
dZ2 = A2 - Y
dW2 = 1 / m * np.dot(dZ2, A1.T)
db2 = 1 / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)
dZ1 = np.dot(W2.T, dZ2) * (1 - np.power(A1, 2))
dW1 = 1 / m * np.dot(dZ1, X.T)
db1 = 1 / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)
grads = {"dW1": dW1,
"db1": db1,
"dW2": dW2,
"db2": db2}
return grads
将各参数的求导计算结果 dW1、db1、dW2、db2求出来，然后放入字典 grad 进行返回。
注意：在机器学习中，当所学问题有了具体的形式之后，就会转化成数学问题，也就是机器学习就会形式化为一个 求优化 的问题。不论是 梯度下降法、随机梯度下降、牛顿法、拟牛顿法，抑或是 Adam 之类的高级的优化算法，这些都需要花时间掌握去掌握其数学原理，慢慢积累，先掌握最基本的知识，以实现功能从而带来正反馈，不至于劝退。
6）权值更新
迭代计算的最后一步，就是根据反向传播的结果更新权值了，更新公式如下：
其中， 是要更新的参数， 是学习率， 损失函数。
由该公式可以定义权值更新函数，代码如下：
def update_parameters(parameters, grads, learning_rate=1.2):
#从字典 "parameters" 中检索每个参数
W1 = parameters['W1']
b1 = parameters['b1']
W2 = parameters['W2']
b2 = parameters['b2']
#从字典 "grads" 中检索每个梯度
dW1 = grads['dW1']
db1 = grads['db1']
dW2 = grads['dW2']
db2 = grads['db2']
#每个参数更新的规则
W1 -= dW1 * learning_rate
b1 -= db1 * learning_rate
W2 -= dW2 * learning_rate
b2 -= db2 * learning_rate
parameters = {"W1": W1,
"b1": b1,
"W2": W2,
"b2": b2}
return parameters
7）封装函数（选看）
这样，前向传播 - 计算损失 - 反向传播 - 权值更新 的神经网络训练过程就完成了，网络学习的过程其实就是这么一个迭代的过程，从而找到使得损失函数最小的最优解。和前面一样，为了更加 pythonic 一点，可以把各个模块组合起来，定义一个神经网络模型：
def nn_model(X, Y, n_h, num_iterations=10000, print_cost=False):
np.random.seed(3)
n_x = layer_sizes(X, Y)[0]
n_y = layer_sizes(X, Y)[2]
#初始化参数，然后检索 W1, b1, W2, b2。输入：“n_x，n_h，n_y”。outputs=“W1, b1, W2, b2，parameters”
parameters = initialize_parameters(n_x, n_h, n_y)
W1 = parameters['W1']
b1 = parameters['b1']
W2 = parameters['W2']
b2 = parameters['b2']
#循环（梯度下降）
for i in range(0, num_iterations):
#正向传播。输入：“X，parameters”。输出：“A2，cache”
A2, cache = forward_propagation(X, parameters)
#损失函数。输入：“A2，Y，parameters”。输出：“cost”
cost = compute_cost(A2, Y, parameters)
#反向传播。输入：“parameters, cache, X, Y”。输出：“grads”
grads = backward_propagation(parameters, cache, X, Y)
#梯度下降更新参数。输入：“parameters, grads”
#输出：“parameters”
parameters = update_parameters(parameters, grads, learning_rate=1.2)
#每1000次迭代打印一次损失
if print_cost and i % 1000 == 0:
print("Cost after iteration %i: %f" % (i, cost))
return parameters
这样，一个含单隐层的神经网络，就用 numpy 写出来了。
参考文章
来源：https://blog.csdn.net/TeFuirnever/article/details/100136800