1 相关概念
1）实对称矩阵：如果有 n n n阶矩阵 A \rm A A，其元素都为实数，且 A T = A \rm A^{T} = A AT=A，则称 A \rm A A为实对称矩阵。
2）矩阵等价、合同及相似：
| 情形 | 定义 | 简要理解 |
|---|---|---|
| 矩阵等价 | 对于同行矩阵 A \rm A A和 B \rm B B，存在可逆矩阵 P \rm P P和 Q \rm Q Q，使得 B = P A Q \rm B = PAQ B=PAQ，充要条件为 A \rm A A、 B \rm B B秩相等 | 秩相等 |
| 矩阵合同 | 对于同行矩阵 A \rm A A和 B \rm B B，存在可逆矩阵 P \rm P P，使得 B = P T A P \rm B = P^TAP B=PTAP | 秩、正负惯性指数均相等 |
| 矩阵相似 | 对于同行矩阵 A \rm A A和 B \rm B B，存在可逆矩阵 P \rm P P，使得 B = P − 1 A P \rm B = P^{-1}AP B=P−1AP | 秩、正负惯性指数及特征值均相等 |
3）正定矩阵：设 A \rm A A 是 n n n阶方阵，如果对任何非零向量 x \mathbf{x} x都有 x T A x > 0 \rm \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 xTAx>0，就称A正定矩阵。简单的判别方式是 A \rm A A的特征值均为正数，则 A \rm A A是正定的，反之负定。
4）半正定矩阵：设 A \rm A A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量 x \mathbf{x} x都有 x T A x ≥ 0 \rm \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \geq 0 xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。
5）协方差矩阵：定义为 C o v ( X , Y ) = E ( ( X − E ( X ) ) ( Y − E Y ) ) \rm Cov (X, Y) = E ((X - E (X)) (Y - EY)) Cov(X,Y)=E((X−E(X))(Y−EY))。
6）正交矩阵： A A T = E \mathbf{A}\mathbf{A}^T = \mathbf{E} AAT=E或者 A T A = E \mathbf{A}^T\mathbf{A} = \mathbf{E} ATA=E。
7）旋转矩阵。
8）矩阵的迹：矩阵 A \mathbf{A} A主对角线上的所有元素之和，记作 t r ( A ) = ∑ a i i \rm tr (\mathbf{A}) =\sum a_{ii} tr(A)=∑aii。
2 矩阵操作
1）方阵 A = ( a i j ) n A = (a_{ij})_n A=(aij)n的幂：
A 0 = E , A k = A ⋅ A ⋯ A ⏟ k A^0 = E, A^k = \underbrace{A\cdot A \cdots A}_k A0=E,Ak=k
A⋅A⋯A 2）矩阵 A = ( a i j ) n × m A = (a_{ij})_{n \times m} A=(aij)n×m的转置，记作 A ′ A' A′或者 A T A^\mathrm{T} AT，且有以下运算法则：
{ ( A ′ ) ′ = A ( A + B ) ′ = A ′ + B ′ ( A B ) ′ = B ′ A ′ ( λ A ) ′ = λ A ′ \begin{cases} (A')' = A\\ (A + B)' = A' + B'\\ (AB)' = B'A'\\ (\lambda A)' = \lambda A' \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(A′)′=A(A+B)′=A′+B′(AB)′=B′A′(λA)′=λA′ 3）方阵 A = ( a i j ) n A = (a_{ij})_n A=(aij)n的行列式，记作 ∣ A ∣ |A| ∣A∣或者 d e t A \mathrm{det} A detA：
{ ∣ A ′ ∣ = ∣ A ∣ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ ∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ \begin{cases} |A'| = |A|\\ |AB| = |A|\cdot |B|\\ |\lambda A| = \lambda^n |A| \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧∣A′∣=∣A∣∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣∣λA∣=λn∣A∣ 4）方阵 A = ( a i j ) n A = (a_{ij})_n A=(aij)n的逆：若存在 n n n阶方阵 B B B，使得 A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E，则称 B B B为 A A A的逆，记作 A − 1 A^{-1} A−1，且有以下性质：
4.1）若 A A A是可逆矩阵，则 A − 1 A^{-1} A−1唯一；
4.2） A A A可逆的充要条件为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0；
4.3） A − 1 A^{-1} A−1与 A A A的伴随矩阵 A ∗ A^* A∗的关系如下：
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* A−1=∣A∣1A∗ 且伴随矩阵有以下性质：
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^* = A^*A = |A| E AA∗=A∗A=∣A∣E 4.4）逆矩阵的运算规律如下：
{ ( A − 1 ) − 1 = A ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \begin{cases} (A^{-1})^{-1} = A\\ (\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}\\ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\\ (A^\mathrm{T})^{-1} = (A^{-1})^{\mathrm{T}} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(A−1)−1=A(λA)−1=λ1A−1(AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T 4.5）注意点：
©1. ( A + B ) − 1 ≠ A − 1 + B − 1 (A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1} (A+B)−1=A−1+B−1
©2. 当 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0时，规定以下：
{ A 0 = E A − k = ( A − 1 ) k ， k 为整数 A λ A μ = A λ + μ , ( A λ ) μ = A λ μ , λ , μ 为整数 \begin{cases} A^0 = E\\ A^{-k} = (A^{-1})^k，\qquad \qquad \qquad \ k\text{为整数}\\ A^\lambda A^\mu = A^{\lambda + \mu}, (A^\lambda)^\mu = A^{\lambda \mu}, \ \ \ \lambda, \mu\text{为整数} \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧A0=EA−k=(A−1)k， k为整数AλAμ=Aλ+μ,(Aλ)μ=Aλμ, λ,μ为整数 5）矩阵 A = ( a i j ) n × m A = (a_{ij})_{n \times m} A=(aij)n×m的迹，记作 t r ( A ) tr(A) tr(A)，性质如下：
{ t r ( A ) = t r ( A T ) t r ( A B ) = t r ( B A ) \begin{cases} tr (A) = tr (A^\mathrm{T})\\ tr (AB) = tr (BA) \end{cases} {
tr(A)=tr(AT)tr(AB)=tr(BA)
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