1. 技术文章
  2. 2019-2020学年第2学期-数学分析2

2019-2020学年第2学期-数学分析2

由 妖精的绣舞 提交于 2020-12-25 14:43:34

<table border="0"> <tr> <td><a href="#lecture_info"> 课程信息 </a></td> <td><a href="#schedule"> 教学计划 </a></td> <td><a href="#remark"> 注记随记 </a></td> <td><a href="#homework"> 作业 </a></td> </tr> </table>

<a name="lecture_info"> 课程信息 </a>

曲阜师范大学数学科学学院, 2019级信息与计算科学专业.

上课时间: 1-18周, 周二3-4节，周四1-2节，周五3-4节. 6课时/周, 共计108课时. 上课地点: 数学楼106教室. 晚自习答疑: 待定.

教材:

数学分析(上册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945. 第4版上册教材下载

数学分析(下册，第五版), 华东师范大学数学科学学院 编, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

习题解答:

数学分析习题课讲义(2), 李傅山、王培合 编著, 北京大学出版社, 2018, ISBN: 9787301291856.

参考资料:

【1】吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第2册), 谢惠民、沐定夷 编著, 高等教育出版社, 2011， ISBN: 9787040323566. 下载

【2】数学分析习题课讲义(上册，第2版), 谢惠民、恽自求等 编, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040498516.

【3】数学分析习题课讲义(下册，第2版), 谢惠民、恽自求等 编, 高等教育出版社，2018， ISBN: 9787040511529.

【4】数学分析中的典型问题与方法(第2版), 裴礼文 编, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040184549.

【5】数学分析原理与方法, 胡适耕 、张显文 编著, 科学出版社, 2008, ISBN: 9787030217974.

【6】微积分学教程(第二卷，第8版), [俄] 菲赫金哥尔茨 著, 徐献瑜、冷生明、梁文骐 译, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183047.

【7】数学分析原理(第3版), [美] Walter Rudin 著, 赵慈庚、蒋铎 译, 机械工业出版社, 2004, ISBN: 9787111134176.

<a name="schedule"> 教学计划 </a>

教学日历 下载

第七章 实数系的完备性 第八章 不定积分 第九章 定积分

<span id="ch7">第七章 实数系的完备性</span>

实数系完备性的定理体系:

  1. 确界原理;
  2. 单调有界定理;
  3. 致密性定理;
  4. Cauchy收敛准则;
  5. 闭区间套定理;
  6. 聚点定理;
  7. 有限覆盖定理.

我们在第1章和第2章已经学过前4个定理. 本章学习后面3个定理.

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接, 授课讲义pdf.

  • P1 闭区间套定理-1 区间套的概念. 闭区间套定理、推论及相关讨论(开区间套一般没有公共点).
  • P2 闭区间套定理-2 利用闭区间套定理可以证明连续函数的零点存在定理, 证明过程称为“二分法”, 它提供了求解方程$f(x)=0$的近似根的一种迭代算法.
  • P3 聚点定理-1 聚点的定义和其它等价定义. 聚点定义的等价性证明.
  • P4 聚点定理-2 聚点定理的证明. 方法1：利用闭区间套定理; 方法2：利用致密性定理.
  • P5 有限覆盖定理-1 覆盖的定义. 有限覆盖定理及其证明. 证明方法: 利用闭区间套定理.
  • P6 有限覆盖定理-2 有限覆盖定理的应用：1. 证明闭区间上连续函数的有界性定理；2. 证明一致连续性定理(闭区间上的连续函数一定一致连续).
  • P7 习题课-1 7.1节习题1-7题; 总练习题第1题.
  • P8 习题课-2 7.1节习题第10题, 通过引入加强形式的覆盖定理, 证明连续函数的零点存在定理.

<span id="ch8">第八章 不定积分</span>

新冠肺炎疫情期间网上教学：B站链接

8.1 不定积分概念与基本积分公式

(授课讲义pdf)

8.2 换元积分法与分部积分法

(授课讲义pdf)

8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分

(授课讲义pdf)

  • P13 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-1 求有理函数的不定积分的步骤: Step1. 利用多项式除法将假分式化为多项式和真分式的和; Step2. 对真分式的分母做标准分解; Step3. 按照分母的标准分解形式, 将作为被积函数的真分式分解为4类部分分式的和; 4. 求部分分式的不定积分, 最终得到被积函数的不定积分. 4类部分分式:
    • $$(I)\quad \frac{A}{x-a};$$
    • $$(II)\quad \frac{A}{(x-a)^k}\quad (k\geq 2);$$
    • $$(III) \quad \frac{Bx+C}{x^2+px+q}\quad (\Delta =p^2-4q<0);$$
    • $$(IV) \quad \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}\quad (k\geq 2,\ \Delta =p^2-4q<0);$$
    难点: 1. 分母的标准分解(需要经验与技巧); 2. 真分式分解为部分分式的和(计算量大); 3. 求第(IV)类部分分式的不定积分(计算量大).
  • P14 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-2 教材中有理函数不定积分的例子. 建议记住以下两个不定积分:
    • $$\int \frac{t}{t^2+1}{\rm d} t=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t^2}{\rm d}(t^2)=\frac{1}{2}\ln (t^2+1)+C; $$
    • $$\int \frac{1}{(t^2+1)^2}{\rm d} t=\frac{1}{2}\left(\arctan t+\frac{t}{t^2+1} \right)+C.$$
  • P15 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-3 三角函数有理式的不定积分, 有两种常用的变量替换方法: 1. 万能代换$t=\tan \frac{x}{2}$; 2. 有理式中的三角函数是以$\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan x$等形式出现的, 可尝试利用$t=\tan x$.
  • P16 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-4 含根式的有理式的不定积分 $$\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0),$$ 利用变换$t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$将上述不定积分转化为关于变量$t$的有理函数的不定积分$\int R(t){\rm d}t$.
  • P17 8.3-有理函数和可化为有理函数的不定积分-5 含根式的有理式的不定积分 $$\int R\left(x, \sqrt{ax^2 +bx +c}\right){\rm d}x\quad (ad-bc\neq 0),$$ 其中(i) $a>0$并且$\Delta=b^2-4ac\neq 0$; 或者(ii) $a<0$并且$\Delta=b^2-4ac>0$, 上述两种条件保证二次根式能够成立. 处理方法：
    • 直角三角形技巧；
    • Euler变换.

第8章习题课

(授课讲义pdf)

<span id="ch9">第九章 定积分</span>

9.1 定积分概念

(授课讲义pdf)

  • P1 9.1-定积分概念-1 区间的分割, Remann和及其几何意义, Riemann可积与Riemann积分. 问题1: 给定区间$[a,b]$上的函数$f$, 如何判断$f$在$[a,b]$上可积? 连续一定可积. 问题2: 已知$f$在$[a,b]$上可积, 如何计算$\int_a^b f(x){\rm d}x$?
  • P2 9.1-定积分概念-2 Riemann积分与Riemann和的极限之间的转化. 定积分的几何意义: 分割，近似, 取极限. 用定积分来定义(不规则)平面图形的面积.
  • P2 9.1-定积分概念-3 计算平面图形面积的具体例子.

9.2 Newton-Leibniz公式

(授课讲义pdf)

9.3 可积条件

(授课讲义pdf)

  • P6 9.3-可积条件-1 可积的必要条件：可积必有界, 无界必不可积; 有界不一定可积, 反例-Dirichlet函数. 可积的充分必要条件: Darbo和方法.
  • P7 9.3-可积条件-2 可积函数类：(1) 在$[a,b]$上连续的函数; (2) 在$[a,b]$上只有有限多个间断点的有界函数; (3) 在$[a,b]$上单调的有界函数.
  • P8 9.3-可积条件-3 在$[a,b]$上有无限多个间断点的有界函数, 可能可积, 也可能不可积. 可积的例子.
  • P9 9.3-可积条件-4 专题: Riemann函数的连续性和可积性. Riemann函数$R(x)$在$(0,1)$中的有理点都不连续, 无理点都连续. $R(x)$在$[0,1]$上可积并且 $$\int_0^1 R(x){\rm d}x=0.$$

第九章习题课1

(授课讲义pdf)

9.4 定积分的性质

(授课讲义pdf)

  • P12 9.4-定积分的性质-1 线性性质, 乘积性质.
  • P13 9.4-定积分的性质-2 区域(区间)可加性.
  • P14 9.4-定积分的性质-3 保不等式性, 绝对值性质.
  • P15 9.4-定积分的性质-4 基本性质的应用例子. 重要的例子: 非负连续函数的定积分.
  • P16 9.4-定积分的性质-5 积分第一中值定理, 推广形式的积分第一中值定理, 推论.
  • P17 9.4-定积分的性质-6 中值点$\xi$实际上可以在开区间$(a,b)$内取得. 对含参数$n\in \Bbb{N}_+$的定积分求极限的例子.
  • P18 9.4-定积分的性质-7 问题: 求极限与求定积分是否可以交换顺序? 设$f_n,f$均在$[a,b]$上可积, 并且对任意$x\in [a,b]$, 有$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)$, 是否有 $$\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x){\rm d}x=\int_a^b f(x){\rm d}x=\int_a^b \lim_{n\to \infty}f_n(x){\rm d}x?$$ 不一定.

第九章习题课2

(授课讲义pdf)

9.5 微积分学基本定理·定积分计算(续)

<a name="remark"> 注记随记 </a>

<a name="homework"> 作业 </a>

标签
riemann
Delta
lim
Newton
易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容，如有违反法律规定的内容欢迎反馈！
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!