一些函数的一些性质
取整函数 $\lfloor x \rfloor$
（一）$\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1$
（二）对任意x与正整数a，b$\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor$
（三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 $\lfloor \frac{n}{d} \rfloor$
（四）若n为正整数，$\lfloor \frac{n}{d}\rfloor$不同取值个数不超过$2\times\sqrt{n}种$
证明： $（1）若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种$
$（2）若d>\sqrt{n}，\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种$
$综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种$
调和数
定义 $$Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$运算得$$ Hn=ln(n)+r+o(1) $$其中r为欧拉马歇罗尼常数，r约为0.577 ，因此$$ \sum\limits_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{d}\rfloor = o(n\times{logn)} $$
素数计数函数
$$ \pi(n)\sim \frac{n}{ln (n)}$$$$ 因此n附近素数密度近似为\frac{1}{ln(n)}$$$$ 第n个素数pn\sim n\times{ln(n)}$$
数论函数
积性函数
$$ f为数论函数，对互质的正整数a，b，f(a\times{b})=f(a)\times{f(b})$$
完全积性函数
$$ f为数论函数，对任意的正整数a，b，f(a\times{b})=f(a)\times{f(b})$$
$若f为积性函数，$ $$ n=p1^{a1}\times{p_2^{a_2}}\times{p_3^{a_3}}......\times{p_s^{a_s}}$$$$ f(n)=f(p_1^{a_1})\times{f(p_2^{a_2})}\times{f(p_3^{a_3})}......\times{f(p_s^{a_s})}$$
单位函数
$$\epsilon(n)=[n==1]= \left{ \begin{aligned} 1&,n=1\ 0&,n!=1\ \end{aligned} \right. $$
除数函数
$\delta_k(n)表示n因子的k次方之和$ $$ \delta_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k$$
Euler函数：$\phi(n)$
$Euler函数表示不超过n且与n互质的正整数个数$ 性质： $$ n=\sum\limits_{d|n}\phi(d) $$ 证明：
$若gcd(n,i)=d，gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1$
$其中\frac{i}{d}是不超过\frac{n}{d}的整数，由欧拉函数的定义，i的个数为\phi(\frac{n}{d})个$
$对于所有的d|n，n=\sum\limits_{d|n}\phi(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\phi(d)$
Dirichlet 卷积
$f,g为数论函数，数论函数h满足$ $$ h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$ $则h为f与g的Dirichlet卷积，记为$ $$h=f \ast g$$
性质
$(1)单位函数\epsilon为Dirichlet卷积的单位元，即对于任意函数f，有$ $$\epsilon \ast f=f \ast \epsilon =f$$
$(2)满足交换律和结合律$
$(3) 若f,g为积性函数，f \ast g也为积性函数$
$(4) 逆函数：f \ast f_逆=\epsilon$
$定义幂函数：Id_k(n)=n^k,Id=Id_1$
$所以除数函数: \delta_k=1 \ast Id_k$
$Euler函数： \phi(n) = 1 \ast Id$
计算Dirichlet卷积：
$f,g为数论函数，则 f \ast g在n处的值需要枚举n的所有约数$
$计算f \ast g的前n项，枚举1到n中每个数的倍数$
Mobius 函数
$$\mu(n)= \left{ \begin{aligned} &1&n=1 \ &(-1)^s&n=p_1\times{p_2}\times{p_3}......\times{p_s}\ &0&otherwise \ \end{aligned} \right. $$ $其中p_1,p_2,p_3为素数$
性质
$$\sum\limits_{d|n}\mu(n)= \epsilon(n) \Rightarrow \mu \ast 1 = \epsilon$$
证明：
$n=1,显然成立$
$n>1$
$设n有s个不同的素因子，由Mobius函数定义,$
$当且仅当d无平方因子的时候，\mu(d)!=0$
$于是d中的每一个素因子的指数只能是0或1$
$故由二项式定理$
$$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{k=0}^s (-1)^k(s,k)=(1-1)^s=0$$
$得证$
Mobius变换
$设f为数论函数，定义函数g满足：$ $$g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)$$ $则称g为f的Mobius变换，f是g的Mobius逆变换$
$Dirichlet卷积$ $$g=f \ast 1$$
Mobius反演
$g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)的充要条件为f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d})$
证明：
$$g=f \ast 1$$ $$f=f \ast \epsilon =f \ast 1 \ast \mu =g \ast \mu$$
得证。
应用
利用Dirichlet卷积可以解决一系列求和问题。 常用一个Dirichlet卷积替换求和式中的一部分，然后调换求和顺序，最终降低时间复杂度。
常用： $\mu \ast 1= \epsilon$ $Id = 1 \ast \phi$
来源：oschina
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