近似计算和估值计算

前言

2019年的考试说明中对运算能力的详细描述是这样的：会根据法则、公式进行变形和正确运算，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据问题要求进行<font color="red">估算或近似计算</font>。

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数值的计算和近似计算，对数学表达式的变形，对几何图形相关几何量的计算求解等。运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

对运算求解能力的考查，不仅包括数的运算，还包括式的运算，兼顾对算理和逻辑推理的考查。考查主要是以含字母的式的运算为主，包括数字的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、求导运算、概率计算、向量运算和几何图形中的计算等。运算结果具有存在性、确定性和最简性。运算求解能力是一项基本能力，在代数、三角函数、立体几何、平面解析几何、统计与概率、导数、向量等内容中都有所体现。运算的作用不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明(以算代证)。运算能力是最基础的又是应用最广的一种能力，高考中对运算求解能力的考查主要体现在运算的合理性、准确性、熟练性、简捷性。

近似计算

根式：$\sqrt{2}=1.414\cdots$；$\sqrt{3}=1.732\cdots$；$\sqrt{5}=2.236\cdots$；$\sqrt{10}=3.162\cdots$；
分式：$\cfrac{1}{3}=0.333\cdots$；$\cfrac{\pi}{2}=1.57079\cdots$；
指数式：$e=2.718281\cdots$；$e^2=7.389\cdots$；
对数式：$lg2\approx 0.3010$；$lg3\approx 0.4771$；$ln2\approx 0.6931$；$lg3\approx 1.097$；
三角式：$sin18^{\circ}=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}$；

典例剖析

<LT>例1</LT>求$0.998^6$的误差小于$0.001$的近似值是_____________。

分析：$0.998^6=(1-0.002)^2=1+6\times (-0.002)+15\times (-0.002)^2+\cdots+(-0.002)^6$

由于$T_3=15\times (-0.002)^2=0.00006<0.001$，

即第3项以后的项的绝对值都小于$0.001$，

所以从第3项起，以后的项可以忽略不计，

即$0.998^6=(1-0.002)^2\approx 1+6\times (-0.002)=0.998$。

故$0.998^6$的误差小于$0.001$的近似值是$0.998$。

<LT>例2</LT>【2019年高考数学全国卷理科新课标Ⅱ第4题改编】将高考真题中的物理知识背景省略，高度抽象就得到了如下的数学题目：

已知公式：$\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}$，且已知$\alpha=\cfrac{r}{R}$，$\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3$，试用$M_1$，$M_2$，$R$表示$r$的近似值；

<div class="XZXX" >$A.\sqrt{\cfrac{M_2}{M_1}}\cdot R$ $B.\sqrt{\cfrac{M_2}{2M_1}}\cdot R$ $C.\sqrt[3]{\cfrac{3M_2}{M_1}}\cdot R$ $D.\sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R$</div>

分析：联系到本年度的Ⅱ卷高考数学题目的解答，首先要突破的是对题意的理解，大体意思就是，给定了一个方程，要求你将方程中的$r$求解出来，但是由于是用手工计算，为了降低难度，给了一个近似参考公式，你必须使用这个近似计算公式，才能顺利求解。理解了题意之后，还有一个问题，就是该如何使用近似计算公式。由于近似计算中提到了$\alpha=\cfrac{r}{R}$，所以我们需要首先让方程中出现$\alpha$，使用$\cfrac{r}{R}=\alpha$代换，求解到最后，再使用$\alpha=\cfrac{r}{R}$，让式子中出现$r$，计算即可。

解析：给方程的两边，同时乘以$R^2$，得到$ \cfrac{R\cdot M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{R\cdot M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{R\cdot M_1}{R^3}$，

即$\cfrac{M_1}{\frac{(R+r)^2}{R^2}}+\cfrac{M_2}{\frac{r^2}{R^2}}=(R+r)\cfrac{M_1}{\frac{R^3}{R^2}}$，变形得到，

$\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R}$，即$\cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1$，

然后通分整理，得到，$\alpha^2M_1+(1+\alpha)^2M_2=(1+\alpha)^3\cdot \alpha^2M_1$，

则有$(1+\alpha)^2M_2=\alpha^2M_1+(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1-\alpha^2M_1$，

即$(1+\alpha)^2M_2=(3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5)M_1$，则$\cfrac{M_2}{M_1}=\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}$，

即$\cfrac{M_2}{M_1}\approx 3\alpha^3$，则$\alpha^3\approx \cfrac{M_2}{3M_1}$，

故$\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}$，即$\cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}$，则$r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R$，故选$D$。

【解后反思】

1、你怎么强化自己的阅读理解能力都不嫌过分；近似计算的思路分析过程要清楚；运算功底要扎实，到位。

2、$(1+\alpha)^3=1+3\alpha+3\alpha^2+\alpha^3$；$(a\pm b)^3=a^3\mp 3a^2b\pm 3ab^2-b^3$；

3、整个求解过程中的换元法的使用思路：

$\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}$ $\xlongequal[同乘以R^2，变形]{为引入\alpha，便于近似计算}$

$\stackrel{\frac{r}{R}=>\alpha}{\Longrightarrow} \cfrac{M_1}{(1+\alpha)^2}+\cfrac{M_2}{\alpha^2}=(1+\alpha)M_1$，

整理变形，得到$\alpha\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}$， $\stackrel{\alpha=>\frac{r}{R}}{\Longrightarrow} \cfrac{r}{R}\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}$，

从而得到，$r\approx \sqrt[3]{\cfrac{M_2}{3M_1}}\cdot R$，故选$D$。

4、该题目到底是数学题目还是物理题目？

当你将本题目的物理知识背景都去掉，抽象为“已知公式：$\cfrac{M_1}{(R+r)^2}+\cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\cfrac{M_1}{R^3}$，且已知$\alpha=\cfrac{r}{R}$，$\cfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3$，试用$M_1$，$M_2$，$R$表示$r$的近似值”，那么此时的题目就是纯粹的数学题目，当添加上物理知识背景后，既可以看成物理题，也可以看成数学题，由此我们还能感悟得到，数学这门学科应该是物理、化学、生物等学科的工具学科，当其他具体学科中的问题转化建立了数学模型后，剩下的求解就是纯粹的数学知识了。

我们的问题：不清楚化简的方向，不清楚化简的方法。

<LT>例3</LT>【2018年全国卷Ⅱ卷理科数学解析[陕]】函数$f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$图像大致是【】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。</br>

法1：由题目先分析函数的奇偶性，设$g(x)=e^x-e^{-x}$，则$g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)$，即函数$g(x)$为奇函数，又函数$y=x^2$为偶函数，故函数$f(x)$为奇函数，排除选项A；再由特殊值法，令$x=3$，则估算$f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2$，排除C、D；故选B。

法2：还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；单调性，$f'(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}$，接下来常规方法是判断其在$x>0$时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，</br>此时我们观察可以看到当$x>2$时，$f'(x)>0$，故函数$f(x)$在$(2，+\infty)$上单调递增，故排除C和D，从而选B。

反思：1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。</br>2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如$奇+奇=奇，奇\times奇=偶，奇\times偶=奇，奇/偶=奇$，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。</br>

建议：常见函数的奇偶性需要记忆比如，$f(x)=|x|$，$f(x)=e^x+e^{-x}$，$f(x)=Acos\omega x$都是偶函数；$y=x^3$，$y=e^x-e^{-x}$，$y=Asin\omega x$都是奇函数。

<LT>例4</LT>已知$\Delta ABC$中，$sin(A-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{7\sqrt{2}}{26}$，若$\Delta ABC$的面积为24，$c=13$，求$a$的值。

分析：由$sin(A-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{7\sqrt{2}}{26}$，估算$A$为锐角，打开整理得到$sinA-cosA=\cfrac{7}{13}$，

结合勾股数$5，12，13$可知，$sinA=\cfrac{12}{13}，cosA=\cfrac{5}{13}$，

由$S_{\Delta}=\cfrac{1}{2}bcsinA=\cfrac{1}{2}\times b\times 13\times\cfrac{12}{13}=24$，解得$b=4$，

由余弦定理可得$a^2=b^2+c^2-2bccosA=16+169-2\times 4\times 13 \times \cfrac{5}{13}=145$，

故$a=\sqrt{145}$.

<LT>例4</LT>【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第13题】我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有$10$个车次的正点率为$0.97$，有$20$个车次的正点率为$0.98$，有$10$个车次的正点率为$0.99$，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________.

分析：由题目可知，经停该站高铁列车所有车次为$40$个车次，那么利用加权平均数的计算公式就可以求解平均值。

解析：$\bar{x}=\cfrac{10}{40}\times 0.97+\cfrac{20}{40}\times 0.98+\cfrac{10}{40}\times 0.99=0.98$.

解后反思：听学生反馈，说是题目理解有误，他弄不清楚正点率为$0.98$的$20$个车次里面，到底是不是包含了开始说的那$10$个车次，很明显是不包含的，故正确、准确理解题意很关键。

<LT>例5</LT>【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第20题】已知函数$f(x)=lnx-\cfrac{x+1}{x-1}$，利用零点存在性定理判断函数在$(1，+\infty)$内是否有零点时，用赋值法估算$f(e)$和$f(e^2)$的值；

解析：$f(e)=1-\cfrac{e+1}{e-1}<0$，$f(e^2)=2-\cfrac{e^2+1}{e^2-1}=\cfrac{e^2-3}{e^2-1}>0$，所以$f(x)$在$(1，+\infty)$内有唯一的零点$x_1$，即$f(x_1)=0$；

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4275725/blog/3496249

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