http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》
§1.2 半群与群 {\color{blue} \text{\S 1.2 半群与群}} §1.2 半群与群
抽象代数是从抽象的观点研究代数体系的。代数体系首先是一个集合，其次，这个集合中定义有运算(一种或多种运算)，再次，运算满足某些规律。
定 义 1.2.1 设 非 空 集 合 S 中 有 一 个 二 元 运 算 “ ∘ ” ， 且 该 运 算 满 足 结 合 律 ， 则 称 代 数 体 系 { S ; ∘ } 是 一 个 半 群 ， 也 简 称 S 是 一 个 半 群 。 {\color{blue}定义1.2.1 \quad} 设非空集合S中有一个二元运算“\circ”，且该运算满足结合律，则称代数体系\lbrace S; \circ \rbrace 是一个{\color{blue}半群}，也简称S是一个半群。 定义1.2.1设非空集合S中有一个二元运算“∘”，且该运算满足结合律，则称代数体系{ S;∘}是一个半群，也简称S是一个半群。
若 半 群 { S ; ∘ } 中 存 在 一 个 元 素 e 1 ( e 2 ) , 使 若半群\lbrace S; \circ \rbrace 中存在一个元素 e_1(e_2), 使 若半群{ S;∘}中存在一个元素e1(e2),使
e 1 ∘ a = a ( a ∘ e 2 = a ) , ∀ a ∈ S . \qquad e_1 \circ a = a (a \circ e_2 = a), \forall a \in S. e1∘a=a(a∘e2=a),∀a∈S.
则 称 e 1 ( e 2 ) 为 S 的 左 ( 右 ) 幺 元 。 若 e ∈ S , 既 是 S 的 左 幺 元 ， 又 是 S 的 右 幺 元 ， 则 称 e 为 S 的 幺 元 , 也 称 为 单 位 元 . 有 幺 元 的 半 则称e_1(e_2)为S的{\color{blue}左(右)幺元}。若 e \in S,既是S的左幺元，又是S的右幺元，则称e为S的{\color{blue}幺元},也称为{\color{blue}单位元}.有幺元的半 则称e1(e2)为S的左(右)幺元。若e∈S,既是S的左幺元，又是S的右幺元，则称e为S的幺元,也称为单位元.有幺元的半
群 称 为 幺 半 群 . 群称为{\color{blue}幺半群}. 群称为幺半群.
例 2 记 M ( A ) 为 非 空 集 合 A 的 所 有 变 换 ( 到 自 身 的 映 射 称 为 变 换 ) 的 集 合 ， 则 {\color{blue}例2 } 记M(A)为非空集合A的所有变换(到自身的映射称为变换)的集合，则 例2记M(A)为非空集合A的所有变换(到自身的映射称为变换)的集合，则
{ M ( A ) ; ⋅ } 是 幺 半 群 ， 恒 等 变 换 i d A 是 幺 元 ， 这 里 “ ⋅ ” 表 示 映 射 的 乘 法 运 算 。 \lbrace M(A); \cdot \rbrace 是幺半群，恒等变换id_A是幺元，这里“\cdot”表示映射的乘法运算。 { M(A);⋅}是幺半群，恒等变换idA是幺元，这里“⋅”表示映射的乘法运算。
例 3 记 非 空 集 合 A 的 所 有 子 集 的 集 合 为 P ( A ) , 称 为 A 的 幂 集 , 则 { P ( A ) ; ∪ } 是 {\color{blue}例3 }记非空集合A的所有子集的集合为P(A),称为A的幂集,则\lbrace P(A); \cup \rbrace 是 例3记非空集合A的所有子集的集合为P(A),称为A的幂集,则{ P(A);∪}是
幺 半 群 ， 幺 元 是 空 集 ∅ ; { P ( A ) ; ∩ } 也 是 幺 半 群 ， 幺 元 是 A . 这 里 “ ∪ ” ， “ ∩ ” 幺半群，幺元是空集 \empty ; \lbrace P(A); \cap \rbrace 也是幺半群，幺元是A.这里“\cup”，“\cap” 幺半群，幺元是空集∅;{ P(A);∩}也是幺半群，幺元是A.这里“∪”，“∩”
分 别 表 示 集 合 求 并 与 求 交 的 运 算 。 这 是 两 个 不 同 的 幺 半 群 ， 虽 然 集 合 是 同 分别表示集合求并与求交的运算。这是两个不同的幺半群，虽然集合是同 分别表示集合求并与求交的运算。这是两个不同的幺半群，虽然集合是同
一 个 集 合 P ( A ) 。 一个集合P(A)。 一个集合P(A)。
命 题 1.2.1 幺 半 群 中 的 幺 元 是 唯 一 的 。 {\color{blue}命题1.2.1 \quad}{\color{green}幺半群中的幺元是唯一的。} 命题1.2.1幺半群中的幺元是唯一的。
证 ： 若 e 与 e ′ 均 为 幺 元 , 则 e ′ = e ′ e = e . {\color{blue}证：}若e与e^{\prime}均为幺元,则e^{\prime} = e^{\prime}e = e. 证：若e与e′均为幺元,则e′=e′e=e.
定 义 1.2.2 设 { S ; ∘ } 是 幺 半 群 ， e 是 幺 元 ， a ∈ S , 若 a 1 ( a 2 ) ∈ S , 使 a 1 a = e ( a a 2 = e ) , 则 称 a 1 ( a 2 ) 为 a 的 左 ( 右 ) 逆 元 。 若 b 既 是 a 的 左 逆 元 ， 又 是 a 的 右 逆 元 ， 即 有 b a = a b = e , 则 称 b 为 a 的 逆 元 ， 记 为 b = a − 1 , 称 a 为 可 逆 元 。 {\color{blue}定义1.2.2 \quad} 设 \lbrace S; \circ \rbrace 是幺半群，e是幺元，a \in S, 若a_1(a_2) \in S,使a_1a = e(aa_2 = e),则称a_1(a_2)为a的{\color{blue}左(右)逆元}。若b既是a的左逆元，又是a的右逆元，即有ba = ab = e,则称b为a的{\color{blue}逆元}，记为b = a^{-1},称a为{\color{blue}可逆元}。 定义1.2.2设{ S;∘}是幺半群，e是幺元，a∈S,若a1(a2)∈S,使a1a=e(aa2=e),则称a1(a2)为a的左(右)逆元。若b既是a的左逆元，又是a的右逆元，即有ba=ab=e,则称b为a的逆元，记为b=a−1,称a为可逆元。
定 义 1.2.3 一 个 幺 半 群 { G ; ∘ } 中 如 果 每 一 个 元 都 是 可 逆 元 ， 则 G 就 称 为 群 。 {\color{blue}定义1.2.3 \quad}一个幺半群 \lbrace G; \circ \rbrace 中如果每一个元都是可逆元，则G就称为{\color{blue}群}。 定义1.2.3一个幺半群{ G;∘}中如果每一个元都是可逆元，则G就称为群。
若 运 算 “ ∘ ” 还 满 足 交 换 律 ， 则 G 称 为 交 换 群 ， 或 阿 贝 尔 ( A b e l ) 群 。 若运算“\circ”还满足交换律，则G称为{\color{blue}交换群}，或{\color{blue}阿贝尔(Abel)群}。 若运算“∘”还满足交换律，则G称为交换群，或阿贝尔(Abel)群。
通 常 为 应 用 上 的 方 便 ， 不 借 助 于 “ 幺 半 群 ” 的 概 念 直 接 定 义 “ 群 ” ， 则 可 以 说 ， 通常为应用上的方便，不借助于“幺半群”的概念直接定义“群”，则可以说， 通常为应用上的方便，不借助于“幺半群”的概念直接定义“群”，则可以说，
群 是 一 个 集 合 G ， 且 关 于 G 中 运 算 “ ∘ ” 满 足 以 下 四 个 条 件 : 群是一个集合G，且关于G中运算“\circ”满足以下四个条件: 群是一个集合G，且关于G中运算“∘”满足以下四个条件:
① ∀ a , b ∈ G , 有 a ∘ b ∈ G , 即 运 算 “ ∘ ” 对 G 是 封 闭 的 ； ①\forall a,b \in G,有a \circ b \in G,即运算“\circ”对G是封闭的； ①∀a,b∈G,有a∘b∈G,即运算“∘”对G是封闭的；
② ∀ a , b , c ∈ G , 有 ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) , 即 运 算 “ ∘ ” 满 足 结 合 律 ； ②\forall a,b,c \in G,有(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c),即运算“\circ”满足结合律； ②∀a,b,c∈G,有(a∘b)∘c=a∘(b∘c),即运算“∘”满足结合律；
③ 存 在 e ∈ G , 使 ∀ a ∈ G , 有 e ∘ a = a ∘ e = a , 即 G 中 存 在 幺 元 ; ③存在e \in G,使\forall a \in G,有e \circ a = a \circ e = a,即G中存在幺元; ③存在e∈G,使∀a∈G,有e∘a=a∘e=a,即G中存在幺元;
④ ∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , 使 b ∘ a = a ∘ b = e , 即 G 中 任 意 元 为 可 逆 元 。 ④\forall a \in G, \exists b \in G,使 b \circ a = a \circ b = e, 即G中任意元为可逆元。 ④∀a∈G,∃b∈G,使b∘a=a∘b=e,即G中任意元为可逆元。
事 实 上 ， 后 两 个 条 件 ③ ， ④ 还 可 以 简 化 为 事实上，后两个条件③，④还可以简化为 事实上，后两个条件③，④还可以简化为
③ ′ 存 在 e ∈ G , 使 ∀ a ∈ G , 有 e ∘ a = a , 即 G 中 存 在 左 幺 元 ； ③^{\prime} 存在e \in G,使 \forall a \in G, 有 e \circ a = a, 即G中存在左幺元； ③′存在e∈G,使∀a∈G,有e∘a=a,即G中存在左幺元；
④ ′ ∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , 使 b ∘ a = e , 即 G 中 任 意 元 都 存 在 左 逆 元 。 ④^{\prime} \forall a \in G, \exists b \in G, 使 b \circ a = e,即G中任意元都存在左逆元。 ④′∀a∈G,∃b∈G,使b∘a=e,即G中任意元都存在左逆元。
这 表 明 ， 群 G 中 的 左 幺 元 就 是 右 幺 元 ， G 中 任 一 元 a 的 左 逆 元 就 是 a 的 右 逆 元 。 这表明，群G中的左幺元就是右幺元，G中任一元a的左逆元就是a的右逆元。 这表明，群G中的左幺元就是右幺元，G中任一元a的左逆元就是a的右逆元。
“ 群 ” 是 一 个 “ 有 结 构 的 集 合 ” 。 群 的 概 念 ， 也 可 以 由 朴 素 的 “ 对 称 ” 概 念 产 生 。 “群”是一个“有结构的集合”。群的概念，也可以由朴素的“对称”概念产生。 “群”是一个“有结构的集合”。群的概念，也可以由朴素的“对称”概念产生。
例 4 整 数 集 Z , 有 理 数 集 Q , 实 数 集 R , 复 数 集 C , 对 于 数 的 加 法 运 算 都 构 成 群 。 {\color{blue}例4 \quad}整数集 \mathbb{Z}, 有理数集 \mathbb{Q}, 实数集 \mathbb{R},复数集 \mathbb{C},对于数的加法运算都构成群。 例4整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C,对于数的加法运算都构成群。
例 5 非 零 实 数 集 R ∗ , 对 于 数 的 乘 法 构 成 群 。 {\color{blue}例5 \quad}非零实数集 \mathbb{R}^{*},对于数的乘法构成群。 例5非零实数集R∗,对于数的乘法构成群。
例 6 记 S A 为 非 空 集 合 A 的 所 有 可 逆 变 换 的 集 合 ， 则 { S A ; ⋅ } 是 群 ， 这 里 “ ⋅ ” 表 示 映 射 的 乘 法 运 算 。 这 个 群 称 为 A 的 全 变 换 群 。 恒 等 变 换 是 它 的 幺 元 。 {\color{blue}例6 \quad}记S_A为非空集合A的所有可逆变换的集合，则 \lbrace S_A; \cdot \rbrace 是群，这里“\cdot”表示映射的乘法运算。这个群称为{\color{blue}A的全变换群}。恒等变换是它的幺元。 例6记SA为非空集合A的所有可逆变换的集合，则{ SA;⋅}是群，这里“⋅”表示映射的乘法运算。这个群称为A的全变换群。恒等变换是它的幺元。
例 7 { 1 , − 1 } 对 于 数 的 乘 法 构 成 群 。 {\color{blue}例7 \quad} \lbrace 1, -1 \rbrace 对于数的乘法构成群。 例7{ 1,−1}对于数的乘法构成群。
群不仅是一个集合，更重要的是，它是带有某种运算的集合，这种运算还满足某些条件。下边我们来推导群的一些基本性质。我们不妨把群中的运算称作乘法，并把运算符号省去，记 a ∘ b 为 a b 。 a \circ b 为 ab。 a∘b为ab。
命 题 1.2.2 群 G 的 运 算 满 足 左 ( 右 ) 消 去 律 。 即 {\color{blue}命题1.2.2 \quad} {\color{green}群G的运算满足左(右)消去律。即} 命题1.2.2群G的运算满足左(右)消去律。即
∀ a , b , c ∈ G , a b = a c ( b a = c a ) ⇒ b = c . {\color{green} \quad \forall a, b, c \in G, ab = ac(ba = ca) \Rightarrow b = c.} ∀a,b,c∈G,ab=ac(ba=ca)⇒b=c.
证 : 我 们 只 证 左 消 去 律 成 立 。 因 G 是 群 ， 故 a − 1 ∈ G , 用 a − 1 左 乘 式 a b = a c 的 两 边 得 {\color{blue} 证:} 我们只证左消去律成立。因G是群，故 a^{-1} \in G,用 a^{-1} 左乘式ab = ac 的两边得 证:我们只证左消去律成立。因G是群，故a−1∈G,用a−1左乘式ab=ac的两边得
a − 1 ( a b ) = a − 1 ( a c ) , \qquad a^{-1}(ab) = a^{-1}(ac), a−1(ab)=a−1(ac),
在 据 结 合 律 有 ( a − 1 a ) b = ( a − 1 a ) c , 即 e b = e c , 再 由 幺 元 定 义 得 b = c 。 在据结合律有 (a^{-1}a)b = (a^{-1}a)c,即eb = ec,再由幺元定义得 b = c。 在据结合律有(a−1a)b=(a−1a)c,即eb=ec,再由幺元定义得b=c。
命 题 1.2.3 群 G 中 任 一 元 a 的 逆 元 是 唯 一 的 。 {\color{blue}命题1.2.3 \quad}{\color{green}群G中任一元a的逆元是唯一的。} 命题1.2.3群G中任一元a的逆元是唯一的。
证 ： 若 b 和 b ′ 均 为 a 的 逆 元 , 便 有 b a = e = b ′ a , 据 右 消 去 律 得 b = b ′ . {\color{blue}证：}若b和b^{\prime}均为a的逆元,便有ba = e = b^{\prime}a,据右消去律得b = b^{\prime}. 证：若b和b′均为a的逆元,便有ba=e=b′a,据右消去律得b=b′.
命 题 1.2.4 在 群 G 中 ， ∀ a , b ∈ G , 方 程 a x = b 及 x a = b 的 解 均 存 在 且 唯 一 。 {\color{blue}命题1.2.4 \quad} {\color{green}在群G中，\forall a, b \in G, 方程 ax = b 及 xa = b 的解均存在且唯一。} 命题1.2.4在群G中，∀a,b∈G,方程ax=b及xa=b的解均存在且唯一。
证 ： 只 对 a x = b 证 明 。 因 为 G 是 群 ， 故 a − 1 ∈ G , 又 因 群 中 运 算 封 闭 ， a − 1 b ∈ G , 带 入 验 证 即 知 a − 1 b 是 a x = b 的 一 个 解 ， 又 若 x 1 , x 2 , 均 是 a x = b 的 解 ， 即 有 a x 1 = b 和 a x 2 = b , 故 a x 1 = a x 2 , 由 群 中 消 去 律 成 立 知 x 1 = x 2 。 {\color{blue}证：}只对 ax = b证明。因为G是群，故a^{-1} \in G,又因群中运算封闭，a^{-1}b \in G, 带入验证即知 a^{-1}b 是ax = b 的一个解，又若x_1, x_2, 均是ax = b 的解，即有 ax_1 = b 和 ax_2 = b,故 ax_1 = ax_2,由群中消去律成立知 x_1 = x_2。 证：只对ax=b证明。因为G是群，故a−1∈G,又因群中运算封闭，a−1b∈G,带入验证即知a−1b是ax=b的一个解，又若x1,x2,均是ax=b的解，即有ax1=b和ax2=b,故ax1=ax2,由群中消去律成立知x1=x2。
命 题 1.2.5 若 半 群 G 满 足 ： ∀ a , b ∈ G , 方 程 a x = b , x a = b 均 有 解 ， 则 G 是 群 。 {\color{blue}命题1.2.5 \quad}{\color{green}若半群G满足：\forall a,b \in G,方程ax = b, xa = b 均有解，则G是群。} 命题1.2.5若半群G满足：∀a,b∈G,方程ax=b,xa=b均有解，则G是群。
证 ： 我 们 利 用 定 义 1.2.3 中 关 于 群 的 定 义 的 四 个 条 件 ① ② ③ ′ ④ ′ 来 完 成 证 明 。 {\color{blue}证：}我们利用定义1.2.3中关于群的定义的四个条件①②③^{\prime}④^{\prime}来完成证明。 证：我们利用定义1.2.3中关于群的定义的四个条件①②③′④′来完成证明。
由 于 G 是 半 群 ， 所 以 ① ② 成 立 。 因 x a = a 在 G 中 有 解 ， 记 一 个 解 为 e a , 即 有 e a a = a . 下 证 e a 是 G 的 左 幺 元 。 ∀ c ∈ G , 因 a x = c 在 G 中 有 解 , 记 为 d ， 既 有 a d = c ， 所 以 e a c = e a a d = ( e a a ) d = a d = c , 故 e a 是 G 的 左 幺 元 。 ③ ′ 已 成 立 。 又 ∀ a ∈ G , x a = e a 在 G 中 有 解 ， 解 就 是 a 的 左 逆 元 ， 故 ④ ′ 成 立 。 由于G是半群，所以①②成立。因xa = a在G中有解，记一个解为e_a,即有e_aa = a.下证e_a是G的左幺元。 \forall c \in G,因ax = c 在G中有解,记为d，既有ad = c，所以e_ac = e_aad = (e_aa)d = ad = c,故e_a是G的左幺元。③^{\prime}已成立。又\forall a \in G,xa = e_a在G中有解，解就是a的左逆元，故④^{\prime}成立。 由于G是半群，所以①②成立。因xa=a在G中有解，记一个解为ea,即有eaa=a.下证ea是G的左幺元。∀c∈G,因ax=c在G中有解,记为d，既有ad=c，所以eac=eaad=(eaa)d=ad=c,故ea是G的左幺元。③′已成立。又∀a∈G,xa=ea在G中有解，解就是a的左逆元，故④′成立。
定 义 1.2.6 有 限 半 群 G 若 满 足 左 、 右 消 去 律 ， 则 G 是 群 。 {\color{blue}定义1.2.6 \quad}{\color{green}有限半群G若满足左、右消去律，则G是群。} 定义1.2.6有限半群G若满足左、右消去律，则G是群。
证 ： 因 G 有 限 ， 可 设 G = { a 1 , ⋯   , a n } , ∀ a , b ∈ G , 我 们 证 明 方 程 a x = b ， {\color{blue}证：} 因G有限，可设G = \lbrace a_1, \cdots, a_n \rbrace, \forall a, b \in G,我们证明方程 ax = b， 证：因G有限，可设G={ a1,⋯,an},∀a,b∈G,我们证明方程ax=b，
x a = b 均 有 解 ， 从 而 据 命 题 1.2.5 完 成 证 明 。 xa = b 均有解，从而据命题1.2.5完成证明。 xa=b均有解，从而据命题1.2.5完成证明。
因 半 群 对 运 算 封 闭 ， 故 a a 1 , ⋯   , a a n ∈ G 。 我 们 断 言 ， a a 1 , ⋯   , a a n 必 两 两 不 等 ， 从 而 就 是 a 1 , ⋯   , a n 的 一 个 排 列 。 因半群对运算封闭，故aa_1, \cdots, aa_n \in G。我们断言，aa_1, \cdots, aa_n必两两不等，从而就是a_1, \cdots, a_n的一个排列。 因半群对运算封闭，故aa1,⋯,aan∈G。我们断言，aa1,⋯,aan必两两不等，从而就是a1,⋯,an的一个排列。
因 若 不 然 ， 不 妨 设 a a 1 = a a 2 ， 则 据 左 消 去 律 有 a 1 = a 2 , 矛 盾 。 因若不然，不妨设aa_1 = aa_2，则据左消去律有a_1=a_2,矛盾。 因若不然，不妨设aa1=aa2，则据左消去律有a1=a2,矛盾。
既 然 a a 1 , ⋯   , a a n 是 a 1 , ⋯   , a n 的 一 个 排 列 ， 而 b ∈ G , 故 必 有 一 个 a a i = b , 1 ≤ i ≤ n , 于 是 a i 就 是 方 程 a x = b 的 解 。 同 理 可 证 方 程 x a = b 有 解 。 既然aa_1, \cdots, aa_n 是a_1, \cdots, a_n的一个排列，而b \in G,故必有一个aa_i = b, 1 \leq i \leq n, 于是a_i 就是方程ax = b的解。同理可证方程xa = b有解。 既然aa1,⋯,aan是a1,⋯,an的一个排列，而b∈G,故必有一个aai=b,1≤i≤n,于是ai就是方程ax=b的解。同理可证方程xa=b有解。
由 于 群 G 中 任 一 元 a 有 逆 元 a − 1 ， 所 以 我 们 不 仅 可 以 规 定 a 的 正 整 数 次 幂 ， 也 可 以 规 定 由于群G中任一元a有逆元a^{-1}，所以我们不仅可以规定a的正整数次幂，也可以规定 由于群G中任一元a有逆元a−1，所以我们不仅可以规定a的正整数次幂，也可以规定
a 的 负 整 数 次 幂 和 a 的 零 次 幂 。 a的负整数次幂和a的零次幂。 a的负整数次幂和a的零次幂。
定 义 1.2.4 设 G 为 群 ， n 为 正 整 数 ， ∀ a ∈ G , 规 定 {\color{blue}定义1.2.4 \quad} 设G为群，n为正整数，\forall a \in G,规定 定义1.2.4设G为群，n为正整数，∀a∈G,规定
a n = a a ⋯ a ⏞ n 个 ; \qquad a^n = \overbrace{aa \cdots a}^{n个}; an=aa⋯a n个;
a − n = ( a − 1 ) n ; \qquad a^{-n} = (a^{-1})^n; a−n=(a−1)n;
a 0 = e . \qquad a^{0} = e. a0=e.
由 此 可 得 对 任 一 整 数 m ， n ， 有 a m a n = a m + n , ( a m ) n = a m n 由此可得对任一整数m，n，有a^m a^n =a^{m+n},(a^m)^n = a^{mn} 由此可得对任一整数m，n，有aman=am+n,(am)n=amn
若 G 是 交 换 群 ， 还 有 ( a b ) m = a m b m . 若G是交换群，还有(ab)^m = a^m b^m. 若G是交换群，还有(ab)m=ambm.
当 G 是 交 换 群 时 ， 我 们 有 时 把 运 算 记 为 加 法 ， 这 时 的 幺 元 常 称 为 零 元 ， 记 为 0 ， a ∈ G 的 逆 元 常 称 为 a 的 负 元 ， 记 为 − a ， 对 于 加 法 群 G ， 乘 法 群 中 a 的 n 次 幂 相 当 于 a 的 n 倍 ， 与 定 义 1.2.4 相 应 地 有 当G是交换群时，我们有时把运算记为加法，这时的幺元常称为零元，记为0，a \in G的逆元常称为a的负元，记为-a，对于加法群G，乘法群中a的n次幂相当于a的n倍，与定义1.2.4相应地有 当G是交换群时，我们有时把运算记为加法，这时的幺元常称为零元，记为0，a∈G的逆元常称为a的负元，记为−a，对于加法群G，乘法群中a的n次幂相当于a的n倍，与定义1.2.4相应地有
定 义 1.2.5 设 G 为 加 法 群 ， n 为 正 整 数 ， ∀ a ∈ G , 规 定 {\color{blue}定义1.2.5 \quad}设G为加法群，n为正整数，\forall a \in G,规定 定义1.2.5设G为加法群，n为正整数，∀a∈G,规定
n a = a + a + ⋯ + a ⏞ n 个 ; \qquad na = \overbrace{a + a + \cdots + a}^{n个}; na=a+a+⋯+a n个;
( − n ) a = n ( − a ) ; \qquad (-n)a = n(-a); (−n)a=n(−a);
0 a = 0 ; \qquad 0a = 0; 0a=0;
注意最后一式等号左边的0是整数0，等号右边的0是G中的零元。
由 此 可 得 ， 对 于 任 意 整 数 m , n , 及 任 意 a , b ∈ G , 有 m a + n a = ( m + n ) a , m ( n a ) = ( m n ) a , m ( a + b ) = m a + m b . 由此可得，对于任意整数m,n,及任意a,b \in G,有ma + na = (m + n)a, m(na) = (mn)a, m(a+b) = ma + mb. 由此可得，对于任意整数m,n,及任意a,b∈G,有ma+na=(m+n)a,m(na)=(mn)a,m(a+b)=ma+mb.
定 义 1.2.6 群 G 中 所 含 元 素 个 数 ∣ G ∣ ， 称 为 群 G 的 阶 。 若 ∣ G ∣ 有 限 ， 则 称 G 为 有 限 群 ， {\color{blue}定义1.2.6 \quad} 群G中所含元素个数|G|，称为{\color{blue}群G的阶}。若|G|有限，则称G为{\color{blue}有限群}， 定义1.2.6群G中所含元素个数∣G∣，称为群G的阶。若∣G∣有限，则称G为有限群，
若 ∣ G ∣ 无 限 ， 则 称 G 为 无 限 群 . 若|G|无限，则称G为{\color{blue}无限群}. 若∣G∣无限，则称G为无限群.
例 4 ， 例 5 中 的 群 是 无 限 群 ， 例 7 中 的 群 是 有 限 群 。 例4，例5中的群是无限群，例7中的群是有限群。 例4，例5中的群是无限群，例7中的群是有限群。
对于有限群，我们可以用“ 群 表 {\color{blue}群表} 群表”来给出。给出一个群，就是给出这个群中的所有元素以及所有元素的运算结果。对于有限群来说，这两个任务，群表能完成。
例7中的群，群表如右: 1 − 1 1 1 − 1 − 1 − 1 1 \color{blue}\begin{array}{r|r r} & 1 & -1 \\ \hline 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} 1−111−1−1−11
当群表关于自左上至右下的对角线对称时，该群是交换群。例7中的群是交换群。
定 义 1.2.7 是 G 是 群 ， 运 算 记 为 乘 法 ( 加 法 ) ， a 是 G 中 一 个 元 素 。 如 果 ∀ k ∈ N ， 有 a k = ̸ e ( k a = ̸ 0 ) ， 则 称 元 素 a 的 阶 为 无 穷 。 如 果 ∃ k ∈ N ， 使 a k = e ( k a = 0 ) ， 则 称 min { k ∈ N ∣ a k = e ( k a = 0 ) } 为 a 的 阶 {\color{blue}定义1.2.7 \quad} 是G是群，运算记为乘法(加法)，a是G中一个元素。如果\forall k \in \mathbb{N}，有a^k =\not e (ka =\not 0)，则称{\color{blue}元素a的阶为无穷}。如果 \exists k \in \mathbb{N}，使a^k = e (ka = 0)，则称 \min \lbrace k \in \mathbb{N} | a^k = e (ka = 0) \rbrace 为{\color{blue}a的阶} 定义1.2.7是G是群，运算记为乘法(加法)，a是G中一个元素。如果∀k∈N，有ak≠e(ka≠0)，则称元素a的阶为无穷。如果∃k∈N，使ak=e(ka=0)，则称min{ k∈N∣ak=e(ka=0)}为a的阶
由 此 定 义 易 知 ， 任 一 乘 法 群 G 中 ， 幺 元 的 阶 为 1 ， 且 只 有 幺 元 的 阶 为 1 ； G 中 任 一 元 a 由此定义易知，任一乘法群G中，幺元的阶为1，且只有幺元的阶为1；G中任一元a 由此定义易知，任一乘法群G中，幺元的阶为1，且只有幺元的阶为1；G中任一元a
与 其 逆 元 a − 1 有 相 同 的 阶 。 与其逆元a^{-1}有相同的阶。 与其逆元a−1有相同的阶。
命 题 1.2.7 设 a 是 群 G 中 一 元 ， 则 a 的 阶 是 无 穷    ⟺    ∀ m = ̸ n , m , n ∈ Z ， 有 a m = ̸ a n . {\color{blue}命题1.2.7}{\color{green}设a是群G中一元，则a的阶是无穷 \iff \forall m =\not n, m, n \in \mathbb{Z}，有a^m =\not a^n.} 命题1.2.7设a是群G中一元，则a的阶是无穷⟺∀m≠n,m,n∈Z，有am≠an.
证 ： “ ⇒ ” 若 不 然 ， 有 m 0 = ̸ n 0 , m 0 , n 0 ∈ Z , 使 a m 0 = a n 0 , 不 妨 设 m 0 > n 0 , 用 a − n 0 右 乘 等 号 两 边 ， 得 a m 0 − n 0 = e , m 0 − n 0 ∈ N , 这 与 “ a 的 阶 是 无 穷 ” 矛 盾 。 {\color{blue}证：}“\Rightarrow”若不然，有m_0 =\not n_0,m_0,n_0 \in \mathbb{Z},使a^{m_0} = a^{n_0},不妨设m_0 > n_0,用a^{-n_0}右乘等号两边，得a^{m_0-n_0} = e,m_0-n_0 \in \mathbb{N},这与“a的阶是无穷”矛盾。 证：“⇒”若不然，有m0≠n0,m0,n0∈Z,使am0=an0,不妨设m0>n0,用a−n0右乘等号两边，得am0−n0=e,m0−n0∈N,这与“a的阶是无穷”矛盾。
“ ⇐ ” ∀ m ∈ N , 取 n = 0 , 则 m = ̸ n , 于 是 a m = ̸ a n = e , 由 定 义 1.2.7 知 ， a 的 阶 是 无 穷 。 “\Leftarrow” \forall m \in \mathbb{N},取n = 0,则 m =\not n, 于是a^m =\not a^n = e,由定义1.2.7知，a的阶是无穷。 “⇐”∀m∈N,取n=0,则m≠n,于是am≠an=e,由定义1.2.7知，a的阶是无穷。
命 题 1.2.8 设 a 是 群 G 中 一 元 ， a 的 阶 为 d ， 则 {\color{blue}命题1.2.8}{\color{green}设a是群G中一元，a的阶为d，则} 命题1.2.8设a是群G中一元，a的阶为d，则
① ∀ h ∈ Z , 有 a h = e    ⟺    d ∣ h , {\color{green}①\forall h \in \mathbb{Z},有a^h = e \iff d | h,} ①∀h∈Z,有ah=e⟺d∣h,
② ∀ m , n ∈ Z , 有 a m = a n    ⟺    d ∣ ( m − n )    ⟺    m ≡ n ( m o d d ) . {\color{green}②\forall m, n \in \mathbb{Z},有a^m = a^n \iff d | (m - n) \iff m \equiv n \pmod d.} ②∀m,n∈Z,有am=an⟺d∣(m−n)⟺m≡n(modd).
证 ： ① ： “ ⇐ ” ： 设 h = q d , 则 a h = a q d = ( a d ) q = e q = e . {\color{blue}证：}①：“\Leftarrow”：设h = qd, 则a^h = a^{qd} = (a^d)^q = e^{q} = e. 证：①：“⇐”：设h=qd,则ah=aqd=(ad)q=eq=e.
“ ⇒ ” ： 反 设 d ∤ h , 则 有 带 余 除 法 h = q d + r , 0 < r < d 及 a q d + r = e , 故 ( a d ) q a r = e , 故 a r = e , 而 0 < r < d . 这 与 “ a 的 阶 为 d ” 矛 盾 。 “\Rightarrow”：反设d \nmid h,则有带余除法 h = qd + r, 0 < r < d 及 a^{qd + r} = e,故(a^d)^q a^r = e,故a^r = e, 而 0 < r < d.这与“a的阶为d”矛盾。 “⇒”：反设d∤h,则有带余除法h=qd+r,0<r<d及aqd+r=e,故(ad)qar=e,故ar=e,而0<r<d.这与“a的阶为d”矛盾。
② ： a m = a n 就 是 a m − n = e , 由 ① 立 即 得 证 。 ②：a^m = a^n 就是a^{m-n} = e,由①立即得证。 ②：am=an就是am−n=e,由①立即得证。
命 题 1.2.9 设 a 是 群 G 中 一 元 ， a 的 阶 为 d , k ∈ N , 则 {\color{blue}命题1.2.9}{\color{green}设a是群G中一元，a的阶为d,k \in \mathbb{N},则} 命题1.2.9设a是群G中一元，a的阶为d,k∈N,则
① a k 的 阶 位 d / ( d , k ) , 这 里 ( d , k ) 是 d , k 的 最 大 公 因 数 ； {\color{green}①a^k的阶位d/(d,k),这里(d,k)是d,k的最大公因数；} ①ak的阶位d/(d,k),这里(d,k)是d,k的最大公因数；
② a k 的 阶 为 d    ⟺    ( d , k ) = 1. {\color{green}②a^k的阶为d \iff (d, k) = 1.} ②ak的阶为d⟺(d,k)=1.
证 : ① : 记 a k 的 阶 为 q ， 去 证 q = d / ( d , k ) . {\color{blue}证:}①:记a^k的阶为q，去证q = d/(d, k). 证:①:记ak的阶为q，去证q=d/(d,k).
设 d = ( d , k ) d 1 , k = ( d , k ) k 1 , 则 ( d 1 , k 1 ) = 1. 我 们 依 据 “ 两 个 自 然 数 若 互 相 整 除 则 相 等 ” 去 证 q = d 1 , 从 而 完 成 证 明 。 设d = (d, k)d_1,k = (d, k)k_1,则(d_1, k_1) = 1.我们依据“两个自然数若互相整除则相等”去证q = d_1,从而完成证明。 设d=(d,k)d1,k=(d,k)k1,则(d1,k1)=1.我们依据“两个自然数若互相整除则相等”去证q=d1,从而完成证明。
因 a k 的 阶 为 q , ( a k ) q = e , 即 a k q = e , 据 命 题 1.2.8 ① 知 d ∣ k q , 即 ( d , k ) d 1 ∣ ( d , k ) k 1 q , 亦 即 d 1 ∣ k 1 q , 又 因 ( d 1 , k 1 ) = 1 , 故 d 1 ∣ q . 因a^k的阶为q, (a^k)^q = e,即a^{kq} = e,据命题1.2.8 ①知 d | kq,即 (d, k)d_1 | (d, k)k_1q,亦即d_1|k_1q,又因(d_1, k_1) = 1,故 d_1 | q. 因ak的阶为q,(ak)q=e,即akq=e,据命题1.2.8①知d∣kq,即(d,k)d1∣(d,k)k1q,亦即d1∣k1q,又因(d1,k1)=1,故d1∣q.
另 一 方 面 ， ( a k ) d 1 = a ( d , k ) k 1 d 1 = ( a d ) k 1 = e k 1 = e , 另一方面，(a^k)^{d_1} = a^{(d,k)k_1d_1} = (a^d)^{k_1} = e^{k_1} = e, 另一方面，(ak)d1=a(d,k)k1d1=(ad)k1=ek1=e,
而 a k 的 阶 为 q ， 据 命 题 1.2.8 ① ， q ∣ d 1 , 所 以 q = d 1 . 而a^k的阶为q，据命题1.2.8 ①，q | d_1,所以 q = d_1. 而ak的阶为q，据命题1.2.8①，q∣d1,所以q=d1.
② 是 ① 的 直 接 推 论 。 ②是①的直接推论。 ②是①的直接推论。
命 题 1.2.10 设 a , b 是 群 G 中 的 元 素 ， a 的 阶 为 m , b 的 阶 为 n , a b = b a , ( m , n ) = 1 , {\color{blue}命题1.2.10}{\color{green}设a,b是群G中的元素，a的阶为m,b的阶为n,ab = ba, (m,n) = 1,} 命题1.2.10设a,b是群G中的元素，a的阶为m,b的阶为n,ab=ba,(m,n)=1,
则 a b 的 阶 为 m n 。 {\color{green}则ab的阶为mn。} 则ab的阶为mn。
证 : 记 a b 的 阶 为 q , 去 证 q = m n . {\color{blue}证:}记ab的阶为q,去证q = mn. 证:记ab的阶为q,去证q=mn.
因 a b = b a , 故 ( a b ) m n = a m n b m n = ( a m ) n ( b n ) m = e n e m = e , 据 命 题 1.2.8 ① 知 q ∣ m n . 因ab = ba,故(ab)^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (a^m)^n (b^n)^m = e^n e^m = e,据命题1.2.8 ①知 q | mn. 因ab=ba,故(ab)mn=amnbmn=(am)n(bn)m=enem=e,据命题1.2.8①知q∣mn.
又 ( a b ) q m = a q m b q m = ( a m ) q ( b q m ) = b q m , 而 （ a b ) q m = ( ( a b ) q ) m = e m = e , 于 是 b q m = e , 再 据 命 题 1.2.8 ① 知 n ∣ q m . 又 因 ( m , n ) = 1 , 故 n ∣ q . 又(ab)^{qm} = a^{qm} b^{qm} = (a^m)^q (b^{qm}) = b^{qm},而（ab)^{qm} = ((ab)^{q})^m = e^m = e,于是 b^{qm} = e,再据命题1.2.8 ①知 n | qm.又因(m, n) = 1,故 n | q. 又(ab)qm=aqmbqm=(am)q(bqm)=bqm,而（ab)qm=((ab)q)m=em=e,于是bqm=e,再据命题1.2.8①知n∣qm.又因(m,n)=1,故n∣q.
同 理 可 得 m ∣ q . 再 由 ( m , n ) = 1 , 知 m n ∣ q . 所 以 ， q = m n . 同理可得 m | q.再由(m,n) = 1,知mn | q.所以，q = mn. 同理可得m∣q.再由(m,n)=1,知mn∣q.所以，q=mn.
来源：oschina
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