http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》
§1.6 变换群与置换群 \color{blue} \text{\S 1.6 变换群与置换群} §1.6 变换群与置换群
变换群在历史上和理论上都有重要意义。人们研究群，最早是从研究变换群中的置换群开始的。本节将证明，任一个群与某一个变换群同构。 §1.2 \text{\S 1.2} §1.2例6中曾提到全变换群的概念。
定 义 1.6.1 设 A 是 非 空 集 合 , A 的 所 有 可 逆 变 换 关 于 映 射 的 乘 法 构 成 的 群 , {\color{blue}定义1.6.1\quad}设A是非空集合,A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群, 定义1.6.1设A是非空集合,A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群,
称 为 A 的 全 变 换 群 , 记 为 { S A ; ⋅ } , 简 记 为 S A . S A 的 一 个 子 群 称 为 A 的 一 个 变 换 群 . 称为A的{\color{blue}全变换群},记为\lbrace S_A;\cdot \rbrace,简记为S_A.S_A的一个子群称为A的一个{\color{blue}变换群}. 称为A的全变换群,记为{ SA;⋅},简记为SA.SA的一个子群称为A的一个变换群.
当 A 为 含 有 n 个 元 素 的 有 限 集 时 , S A 也 叫 做 n 元 对 称 群 , 也 记 作 S n . S n 中 的 一 个 元 当A为含有n个元素的有限集时,S_A也叫做{\color{blue}n元对称群},也记作S_n.S_n中的一个元 当A为含有n个元素的有限集时,SA也叫做n元对称群,也记作Sn.Sn中的一个元
素 称 为 一 个 n 元 置 换 . S A 的 一 个 子 群 称 为 一 个 n 元 置 换 群 . 素称为一个{\color{blue}n元置换}.S_A的一个子群称为一个{\color{blue}n元置换群}. 素称为一个n元置换.SA的一个子群称为一个n元置换群.
例 1 设 A 是 整 个 平 面 上 所 有 点 的 集 合 , 在 平 面 上 建 立 直 角 坐 标 系 . 记 R θ 是 平 面 绕 原 {\color{blue}例1\quad}设A是整个平面上所有点的集合,在平面上建立直角坐标系.记R_{\theta}是平面绕原 例1设A是整个平面上所有点的集合,在平面上建立直角坐标系.记Rθ是平面绕原
点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 θ 角 的 变 换 , H = { R θ ∣ 0 ≤ θ < 2 π } , 则 H 是 A 的 一 个 变 换 群 . 点按逆时针方向旋转\theta角的变换,H = \lbrace R_{\theta}|0 \leq \theta < 2\pi \rbrace,则H是A的一个变换群. 点按逆时针方向旋转θ角的变换,H={ Rθ∣0≤θ<2π},则H是A的一个变换群.
定 理 1.6.1 ( 凯 莱 ( C a y l e y ) 定 理 ) 任 何 一 个 群 都 与 一 个 变 换 群 同 构 . {\color{blue}定理1.6.1(凯莱(Cayley)定理)\quad}{\color{green}任何一个群都与一个变换群同构.} 定理1.6.1(凯莱(Cayley)定理)任何一个群都与一个变换群同构.
证 : 设 G 是 一 个 群 . ∀ a ∈ G , 令 ϕ a : G → G . {\color{blue}证:}设G是一个群.\forall a \in G,令\phi_a:G \to G. 证:设G是一个群.∀a∈G,令ϕa:G→G.
ϕ a ( g ) = a g , ∀ g ∈ G . \qquad \phi_a(g) = ag, \forall g \in G. ϕa(g)=ag,∀g∈G.
则 因 ∀ g ∈ G , 有 a − 1 g ∈ G , 而 ϕ a ( a − 1 g ) = g , 故 ϕ a 是 G 到 自 身 的 满 射 . 则因\forall g \in G,有a^{-1}g \in G,而\phi_a(a^{-1}g) = g,故\phi_a是G到自身的满射. 则因∀g∈G,有a−1g∈G,而ϕa(a−1g)=g,故ϕa是G到自身的满射.
又 若 ϕ a ( g 1 ) = ϕ a ( g 2 ) , 即 a g 1 = a g 2 , 由 群 中 消 去 律 知 g 1 = g 2 , 所 以 ϕ a 还 是 单 射 , 又若\phi_a(g_1) = \phi_a(g_2),即ag_1 = ag_2,由群中消去律知g_1=g_2,所以\phi_a还是单射, 又若ϕa(g1)=ϕa(g2),即ag1=ag2,由群中消去律知g1=g2,所以ϕa还是单射,
从 而 ϕ a 是 双 射 , 即 G 是 自 身 的 可 逆 映 射 , 故 ϕ a ∈ S G . 从而\phi_a是双射,即G是自身的可逆映射,故\phi_a \in S_G. 从而ϕa是双射,即G是自身的可逆映射,故ϕa∈SG.
令 T = { ϕ a ∣ a ∈ G } ⊆ S G . 注 意 到 ( ϕ b ) − 1 = ϕ b − 1 , ϕ a ⋅ ϕ b − 1 = ϕ a b − 1 ∈ T , 令T=\lbrace \phi_a | a \in G \rbrace \subseteq S_G.注意到(\phi_b)^{-1}=\phi_{b^{-1}},\phi_a \cdot \phi_{b^{-1}} = \phi_{ab^{-1}} \in T, 令T={ ϕa∣a∈G}⊆SG.注意到(ϕb)−1=ϕb−1,ϕa⋅ϕb−1=ϕab−1∈T,
据 定 理 1.3.1 知 T < S G , 即 T 是 G 的 一 个 变 换 群 . 据定理1.3.1知 T < S_G,即T是G的一个变换群. 据定理1.3.1知T<SG,即T是G的一个变换群.
再 令 f : G → T , f ( a ) = ϕ a , ∀ a ∈ G . 再令 f:G \to T,f(a) = \phi_a,\forall a \in G. 再令f:G→T,f(a)=ϕa,∀a∈G.
则 f 是 G 到 T 的 满 射 , 又 若 ϕ a = ϕ b , a , b ∈ G , 则 ϕ a ( e ) = ϕ b ( e ) , 即 a e = b e , 则f是G到T的满射,又若\phi_a = \phi_b,a,b \in G,则\phi_a(e) = \phi_b(e),即ae=be, 则f是G到T的满射,又若ϕa=ϕb,a,b∈G,则ϕa(e)=ϕb(e),即ae=be,
所 以 a = b , 故 f 还 是 单 射 , 从 而 f 是 双 射 . 又 所以a=b,故f还是单射,从而f是双射.又 所以a=b,故f还是单射,从而f是双射.又
f ( a b ) = ϕ a b = ϕ a ⋅ ϕ b = f ( a ) ⋅ f ( b ) , ∀ a , b ∈ G . \quad f(ab) = \phi_{ab} = \phi_a \cdot \phi_b = f(a) \cdot f(b), \forall a, b \in G. f(ab)=ϕab=ϕa⋅ϕb=f(a)⋅f(b),∀a,b∈G.
所 以 f 还 是 群 同 态 . 于 是 f 是 群 G 到 群 T 的 同 构 , 便 有 G ≃ T . 所以f还是群同态.于是f是群G到群T的同构,便有G \simeq T. 所以f还是群同态.于是f是群G到群T的同构,便有G≃T.
证 明 中 的 ϕ a 称 为 群 G 中 由 a 决 定 的 左 平 移 变 换 . 证明中的\phi_a称为群G中由a决定的{\color{blue}左平移变换}. 证明中的ϕa称为群G中由a决定的左平移变换.
类 似 地 , 还 有 由 a 决 定 的 右 平 移 变 换 : 类似地,还有由a决定的{\color{blue}右平移变换}: 类似地,还有由a决定的右平移变换:
ψ a ( g ) = g a , ∀ g ∈ G . \qquad \psi_a(g) = ga, \forall g \in G. ψa(g)=ga,∀g∈G.
推 论 1.6.2 任 一 有 限 群 都 与 一 个 置 换 群 同 构 . {\color{blue}推论1.6.2 \quad}{\color{green}任一有限群都与一个置换群同构.} 推论1.6.2任一有限群都与一个置换群同构.
凯莱定理使我们可以将群的研究归结为对变换群的研究，对有限群的研究归结为对置换群的研究。
若 σ ∈ S n , 则 σ 称 为 一 个 n 元 置 换 , 通 常 表 示 为 若\sigma \in S_n,则\sigma 称为一个n元置换,通常表示为 若σ∈Sn,则σ称为一个n元置换,通常表示为
σ = ( 1 2 ⋯ n i 1 i 2 ⋯ i n ) . \qquad \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}. σ=(1i12i2⋯⋯nin).
它 的 含 义 是 σ ( 1 ) = i 1 , σ ( 2 ) = i 2 , ⋯   , σ ( n ) = i n . 由 于 σ 是 双 射 , 所 以 i 1 , i 2 , 它的含义是\sigma(1) = i_1, \sigma(2) = i_2, \cdots, \sigma(n) = i_n.由于\sigma 是双射,所以i_1,i_2, 它的含义是σ(1)=i1,σ(2)=i2,⋯,σ(n)=in.由于σ是双射,所以i1,i2,
⋯   , i n 是 1 , 2 , ⋯   , n 的 一 个 排 列 . 并 且 不 同 的 排 列 得 到 的 置 换 σ 也 不 同 . 因 此 , \cdots, i_n是1,2,\cdots,n的一个排列.并且不同的排列得到的置换\sigma也不同.因此, ⋯,in是1,2,⋯,n的一个排列.并且不同的排列得到的置换σ也不同.因此,
n 元 置 换 的 个 数 , 就 是 1 , 2 , ⋯   , n 的 所 有 排 列 的 个 数 . n元置换的个数,就是1,2,\cdots,n的所有排列的个数. n元置换的个数,就是1,2,⋯,n的所有排列的个数.
命 题 1.6.3 n 元 对 称 群 S n 的 阶 为 n ! . {\color{blue}命题1.6.3\quad}{\color{green}n元对称群S_n的阶为n!.} 命题1.6.3n元对称群Sn的阶为n!.
当 j 1 , j 2 , ⋯   , j n 是 1 , 2 , ⋯   , n 的 一 个 排 列 时 , 也 可 记 当j_1,j_2,\cdots,j_n是1,2,\cdots,n的一个排列时,也可记 当j1,j2,⋯,jn是1,2,⋯,n的一个排列时,也可记
σ = ( j 1 j 2 ⋯ j n σ ( j 1 ) σ ( j 2 ) ⋯ σ ( j n ) ) . \quad \sigma = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & \cdots & j_n \\ \sigma(j_1) & \sigma(j_2) & \cdots & \sigma(j_n) \end{pmatrix}. σ=(j1σ(j1)j2σ(j2)⋯⋯jnσ(jn)).
从 而 , 一 个 n 元 置 换 可 以 有 n ! 种 记 法 . 从而,一个n元置换可以有n!种记法. 从而,一个n元置换可以有n!种记法.
置换时一种映射，所以，置换的乘法、置换的逆与映射的乘法、映射的逆有类似的表示法。
例 2 S 3 中 有 3 ! = 6 个 元 素 : {\color{blue}例2\quad}S_3中有3!=6个元素: 例2S3中有3!=6个元素:
( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) . \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3& 2 & 1 \end{pmatrix}. (112233),(112332),(122133),(122331),(132132),(132231).
容 易 看 出 , S 3 不 是 交 换 群 , 例 如 , 取 容易看出,S_3不是交换群,例如,取 容易看出,S3不是交换群,例如,取
f = ( 1 2 3 3 2 1 ) , φ = ( 1 2 3 2 1 3 ) . \qquad f = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \varphi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. f=(132231),φ=(122133).
则 则 则
φ ⋅ f = ( 1 2 3 2 1 3 ) ( 1 2 3 3 2 1 ) = ( 1 2 3 3 1 2 ) , \quad \varphi \cdot f = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, φ⋅f=(122133)(132231)=(132132),
f ⋅ φ = ( 1 2 3 3 2 1 ) ( 1 2 3 2 1 3 ) = ( 1 2 3 2 3 1 ) . f \cdot \varphi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}. f⋅φ=(132231)(122133)=(122331).
所 以 , φ ⋅ f = ̸ f ⋅ φ . 还 可 以 看 出 所以,\varphi \cdot f =\not f \cdot \varphi.还可以看出 所以,φ⋅f≠f⋅φ.还可以看出
f − 1 = ( 3 2 1 1 2 3 ) = ( 1 2 3 3 2 1 ) , φ − 1 = ( 2 1 3 1 2 3 ) = ( 1 2 3 2 1 3 ) . f^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \varphi^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. f−1=(312213)=(132231),φ−1=(211233)=(122133).
上述表示置换 σ \sigma σ的记号,在括号中写成两列,略显繁琐,又看不出 σ \sigma σ的特点,下面引入轮换的概念和记号,并给出置换的另一种表示法.
定 义 1.6.2 设 集 合 { i 1 , i 2 , ⋯   , i r } 为 集 合 { 1 , 2 , ⋯   , n } 的 一 个 子 集 . 若 σ ∈ S n , 满 足 σ ( i 1 ) = i 2 , σ ( i 2 ) = i 3 , ⋯   , σ ( i r − 1 ) = i r , σ ( i r ) = i 1 , 及 {\color{blue}定义1.6.2\quad}设集合\lbrace i_1,i_2, \cdots, i_r \rbrace为集合\lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace的一个子集.若\sigma \in S_n,满足\sigma(i_1) = i_2, \sigma(i_2) = i_3, \cdots, \sigma(i_{r-1}) = i_r, \sigma(i_r) = i_1,及 定义1.6.2设集合{ i1,i2,⋯,ir}为集合{ 1,2,⋯,n}的一个子集.若σ∈Sn,满足σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,⋯,σ(ir−1)=ir,σ(ir)=i1,及
σ ( k ) = k , ∀ k ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } − { i 1 , i 2 , ⋯   , i r } , \quad \sigma(k) = k, \forall k \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace - \lbrace i_1, i_2, \cdots, i_r \rbrace, σ(k)=k,∀k∈{ 1,2,⋯,n}−{ i1,i2,⋯,ir},
则 称 σ 为 S n 中 的 一 个 r − 轮 换 , 或 称 r − 循 环 置 换 , 记 为 σ = ( i 1 i 2 ⋯ i r ) . i 1 , i 2 , ⋯   , i r 均 称 为 轮 换 σ 中 的 文 字 , r 称 为 轮 换 σ 的 长 . 则称\sigma为S_n中的一个{\color{blue}r-轮换},或称{\color{blue}r-循环置换},记为\sigma = (i_1i_2\cdots i_r).i_1, i_2, \cdots, i_r均称为轮换\sigma中的{\color{blue}文字},r称为{\color{blue}轮换\sigma的长}. 则称σ为Sn中的一个r−轮换,或称r−循环置换,记为σ=(i1i2⋯ir).i1,i2,⋯,ir均称为轮换σ中的文字,r称为轮换σ的长.
特 别 , 2 − 轮 换 ( i j ) 称 为 对 换 , 恒 等 置 换 可 记 为 1 − 轮 换 . 特别,2-轮换(ij)称为{\color{blue}对换},恒等置换可记为1-轮换. 特别,2−轮换(ij)称为对换,恒等置换可记为1−轮换.
用轮换的定义和群中元素的阶的定义可证明。
命 题 1.6.4 在 S n 中 , r − 轮 换 的 阶 为 r . {\color{blue}命题1.6.4\quad}{\color{green}在S_n中,r-轮换的阶为r.} 命题1.6.4在Sn中,r−轮换的阶为r.
任 一 个 r − 轮 换 都 可 以 有 r 种 表 示 法 : 任一个r-轮换都可以有r种表示法: 任一个r−轮换都可以有r种表示法:
σ = ( i 1 i 2 ⋯ i r ) = ( i 2 i 3 ⋯ i r i 1 ) = ⋯ = ( i r i 1 ⋯ i r − 1 ) . \sigma=(i_1i_2 \cdots i_r) = (i_2i_3 \cdots i_ri_1) = \cdots = (i_ri_1 \cdots i_{r-1}). σ=(i1i2⋯ir)=(i2i3⋯iri1)=⋯=(iri1⋯ir−1).
定 义 1.6.3 在 S n 中 , 如 果 若 干 个 轮 换 间 没 有 共 同 文 字 , 则 称 它 们 是 不 相 交 的 轮 换 . {\color{blue}定义1.6.3\quad}在S_n中,如果若干个轮换间没有共同文字,则称它们是{\color{blue}不相交的轮换}. 定义1.6.3在Sn中,如果若干个轮换间没有共同文字,则称它们是不相交的轮换.
命 题 1.6.5 在 S n 中 , 两 个 不 相 交 的 轮 换 的 乘 积 是 可 交 换 的 . {\color{blue}命题1.6.5\quad}{\color{green}在S_n中,两个不相交的轮换的乘积是可交换的.} 命题1.6.5在Sn中,两个不相交的轮换的乘积是可交换的.
命 题 1.6.6 ∀ σ ∈ S n , σ 都 可 表 为 S n 中 一 些 不 相 交 轮 换 之 积 . {\color{blue}命题1.6.6\quad}{\color{green}\forall \sigma \in S_n,\sigma都可表为S_n中一些不相交轮换之积.} 命题1.6.6∀σ∈Sn,σ都可表为Sn中一些不相交轮换之积.
证 : 取 a ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } , 作 序 列 {\color{blue}证:}取a \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace, 作序列 证:取a∈{ 1,2,⋯,n},作序列
a = σ 0 ( a ) , σ 1 ( a ) , σ 2 ( a ) , ⋯ \qquad a = \sigma^{0}(a), \sigma^{1}(a), \sigma^{2}(a), \cdots a=σ0(a),σ1(a),σ2(a),⋯
( σ 0 就 是 恒 等 置 换 i d ) 其 中 一 定 包 含 重 复 的 文 字 , 记 σ m ( a ) 是 第 一 个 与 前 面 相 重 复 的 (\sigma^{0}就是恒等置换id)其中一定包含重复的文字,记\sigma^{m}(a)是第一个与前面相重复的 (σ0就是恒等置换id)其中一定包含重复的文字,记σm(a)是第一个与前面相重复的
文 字 , 并 设 它 与 σ k ( a ) ( 0 ≤ k < m ) 重 复 . 可 证 k = 0 , 因 若 不 然 , 由 σ k − 1 ( a ) = ̸ σ m − 1 ( a ) , 文字,并设它与\sigma^{k}(a)(0 \leq k < m)重复.可证k = 0,因若不然,由\sigma^{k-1}(a) =\not \sigma^{m-1}(a), 文字,并设它与σk(a)(0≤k<m)重复.可证k=0,因若不然,由σk−1(a)≠σm−1(a),
及 σ ( σ k − 1 ( a ) ) = σ ( σ m − 1 ( a ) ) , 推 出 σ 把 两 个 不 同 的 文 字 映 到 相 同 的 文 字 , 及\sigma(\sigma^{k-1}(a)) = \sigma(\sigma^{m-1}(a)),推出\sigma把两个不同的文字映到相同的文字, 及σ(σk−1(a))=σ(σm−1(a)),推出σ把两个不同的文字映到相同的文字,
这 与 “ σ 是 单 射 ” 矛 盾 . 因 此 k = 0 , 即 σ m ( a ) = a . 作 轮 换 这与“\sigma是单射”矛盾.因此k = 0,即\sigma^{m}(a) = a.作轮换 这与“σ是单射”矛盾.因此k=0,即σm(a)=a.作轮换
σ 1 = ( a , σ ( a ) , ⋯   , σ m − 1 ( a ) ) . \qquad \sigma_1 = (a, \sigma(a), \cdots, \sigma^{m-1}(a)). σ1=(a,σ(a),⋯,σm−1(a)).
则 σ 与 σ 1 在 文 字 a , σ ( a ) , ⋯   , σ m − 1 ( a ) 上 的 作 用 相 同 . 则\sigma与\sigma_1在文字a,\sigma(a),\cdots, \sigma^{m-1}(a)上的作用相同. 则σ与σ1在文字a,σ(a),⋯,σm−1(a)上的作用相同.
若 m = n , 则 σ = σ 1 , 本 身 就 已 表 为 一 个 轮 换 . 若 m < n , 则 取 b ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } − { a , σ ( a ) , ⋯   , σ m − 1 ( a ) } , 仿 照 上 面 的 方 法 再 作 一 个 轮 换 若m=n,则\sigma=\sigma_1,本身就已表为一个轮换.若m<n,则取b \in \lbrace 1, 2, \cdots, n \rbrace - \lbrace a,\sigma(a), \cdots, \sigma^{m-1}(a) \rbrace,仿照上面的方法再作一个轮换 若m=n,则σ=σ1,本身就已表为一个轮换.若m<n,则取b∈{ 1,2,⋯,n}−{ a,σ(a),⋯,σm−1(a)},仿照上面的方法再作一个轮换
σ 2 = ( b , σ ( b ) , ⋯   , σ l − 1 ( b ) ) . \qquad \sigma_2 = (b, \sigma(b), \cdots, \sigma^{l-1}(b)). σ2=(b,σ(b),⋯,σl−1(b)).
则 σ 与 σ 2 在 文 字 b , σ ( b ) , ⋯   , σ l − 1 ( b ) 上 的 作 用 相 同 . 则\sigma与\sigma_2在文字b,\sigma(b),\cdots,\sigma^{l-1}(b)上的作用相同. 则σ与σ2在文字b,σ(b),⋯,σl−1(b)上的作用相同.
而 且 因 σ 是 单 射 , 知 σ 1 与 σ 2 不 相 交 . 而且因\sigma是单射,知\sigma_1与\sigma_2不相交. 而且因σ是单射,知σ1与σ2不相交.
这 样 继 续 下 去 ， 直 到 1 , 2 , ⋯   , n 用 完 为 止 . 这 就 得 到 有 限 个 不 相 交 的 轮 换 σ 1 , σ 2 , ⋯   , σ s 使 这样继续下去，直到1,2,\cdots,n用完为止.这就得到有限个不相交的轮换\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_s使 这样继续下去，直到1,2,⋯,n用完为止.这就得到有限个不相交的轮换σ1,σ2,⋯,σs使
σ = σ 1 σ 2 ⋯ σ s . \qquad \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_s. σ=σ1σ2⋯σs.
注 意 到 ， 由 于 对 a , b 等 选 择 可 以 不 同 , 选 择 的 先 后 也 可 以 不 同 , 所 以 上 述 轮 换 σ 1 , σ 2 , ⋯   , 注意到，由于对a,b等选择可以不同,选择的先后也可以不同,所以上述轮换\sigma_1,\sigma_2,\cdots, 注意到，由于对a,b等选择可以不同,选择的先后也可以不同,所以上述轮换σ1,σ2,⋯,
σ s 的 次 序 可 以 不 同 . 但 任 一 文 字 c 所 在 的 轮 换 是 唯 一 的 , 即 ( c , σ ( c ) , σ 2 ( c ) , ⋯   ) , 虽 然 形 式 上 \sigma_s的次序可以不同.但任一文字c所在的轮换是唯一的,即(c,\sigma(c),\sigma^{2}(c),\cdots),虽然形式上 σs的次序可以不同.但任一文字c所在的轮换是唯一的,即(c,σ(c),σ2(c),⋯),虽然形式上
未 必 是 以 c 起 头 . 未必是以c起头. 未必是以c起头.
命 题 1.6.7 任 一 n 元 置 换 表 为 不 相 交 轮 换 的 乘 积 时 , 如 果 不 计 次 序 , 表 法 是 唯 一 的 . {\color{blue}命题1.6.7\quad}{\color{green}任一n元置换表为不相交轮换的乘积时,如果不计次序,表法是唯一的.} 命题1.6.7任一n元置换表为不相交轮换的乘积时,如果不计次序,表法是唯一的.
例 3 ( 1 2 3 4 5 6 7 1 7 5 2 3 6 4 ) = ( 1 ) ( 274 ) ( 35 ) ( 6 ) = ( 274 ) ( 35 ) = ( 35 ) ( 274 ) . {\color{blue}例3\quad}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 1 & 7 & 5 & 2 & 3 & 6 & 4 \end{pmatrix} = (1)(274)(35)(6) = (274)(35) = (35)(274). 例3(11273542536674)=(1)(274)(35)(6)=(274)(35)=(35)(274).
后 两 个 等 号 中 , 删 除 了 1 − 轮 换 ( 1 ) , ( 6 ) , 效 果 是 一 样 的 , 这 是 因 为 在 轮 换 的 定 义 1.6.2 中 , 轮 换 对 不 出 现 的 文 字 后两个等号中,删除了1-轮换(1),(6),效果是一样的,这是因为在轮换的定义1.6.2中,轮换对不出现的文字 后两个等号中,删除了1−轮换(1),(6),效果是一样的,这是因为在轮换的定义1.6.2中,轮换对不出现的文字
的 作 用 效 果 , 是 保 持 该 文 字 不 变 . 的作用效果,是保持该文字不变. 的作用效果,是保持该文字不变.
例 4 ( i 1 i 2 ⋯ i r ) = ( i 1 i r ) ( i 1 i r − 1 ) ⋯ ( i 1 i 3 ) ( i 1 i 2 ) . {\color{blue}例4\quad}(i_1i_2\cdots i_r)=(i_1i_r)(i_1i_{r-1})\cdots(i_1i_3)(i_1i_2). 例4(i1i2⋯ir)=(i1ir)(i1ir−1)⋯(i1i3)(i1i2).
即 , 任 一 个 r − 轮 换 都 可 以 写 成 r − 1 个 对 换 ( 不 一 定 是 不 相 交 的 对 换 ) 的 乘 积 . 即,任一个r-轮换都可以写成r-1个对换(不一定是不相交的对换)的乘积. 即,任一个r−轮换都可以写成r−1个对换(不一定是不相交的对换)的乘积.
命 题 1.6.8 任 一 n 元 置 换 都 可 以 表 为 一 些 对 换 的 乘 积 . {\color{blue}命题1.6.8\quad}{\color{green}任一n元置换都可以表为一些对换的乘积.} 命题1.6.8任一n元置换都可以表为一些对换的乘积.
一个置换表为对换之乘积的表法是不唯一的,但其中对换个数的奇偶性不变.
定 义 1.6.4 当 一 个 置 换 能 表 为 奇 ( 偶 ) 数 个 对 换 的 乘 积 时 , 称 为 奇 置 换 ( 偶 置 换 ) . {\color{blue}定义1.6.4\quad}当一个置换能表为奇(偶)数个对换的乘积时,称为{\color{blue}奇置换(偶置换)}. 定义1.6.4当一个置换能表为奇(偶)数个对换的乘积时,称为奇置换(偶置换).
命 题 1.6.9 两 个 偶 置 换 之 积 是 偶 置 换 , 两 个 奇 置 换 之 积 是 偶 置 换 , {\color{blue}命题1.6.9\quad}{\color{green}两个偶置换之积是偶置换,两个奇置换之积是偶置换,} 命题1.6.9两个偶置换之积是偶置换,两个奇置换之积是偶置换,
偶 置 换 与 奇 置 换 之 积 是 奇 置 换 , 奇 置 换 与 偶 置 换 之 积 是 奇 置 换 . {\color{green}偶置换与奇置换之积是奇置换,奇置换与偶置换之积是奇置换.} 偶置换与奇置换之积是奇置换,奇置换与偶置换之积是奇置换.
偶 置 换 的 逆 置 换 是 偶 置 换 , 奇 置 换 的 逆 置 换 是 奇 置 换 . {\color{green}偶置换的逆置换是偶置换,奇置换的逆置换是奇置换.} 偶置换的逆置换是偶置换,奇置换的逆置换是奇置换.
定 义 1.6.5 n 元 偶 置 换 的 全 体 对 置 换 的 乘 法 构 成 一 个 群 , 称 为 n 元 交 错 群 , 记 为 A n . {\color{blue}定义1.6.5\quad}n元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群,称为n元{\color{blue}交错群},记为A_n. 定义1.6.5n元偶置换的全体对置换的乘法构成一个群,称为n元交错群,记为An.
用 正 规 子 群 的 定 义 及 命 题 1.6.9 容 易 证 明 . 用正规子群的定义及命题1.6.9容易证明. 用正规子群的定义及命题1.6.9容易证明.
命 题 1.6.10 A n ⊲ S n , ∣ A n ∣ = n ! 2 . {\color{blue}命题1.6.10\quad}{\color{green}A_n \lhd S_n, |A_n| = \frac{n!}{2}.} 命题1.6.10An⊲Sn,∣An∣=2n!.
命 题 1.6.11 设 置 换 σ 表 为 不 相 交 轮 换 的 乘 积 是 {\color{blue}命题1.6.11\quad}{\color{green}设置换\sigma表为不相交轮换的乘积是} 命题1.6.11设置换σ表为不相交轮换的乘积是
σ = σ 1 σ 2 ⋯ σ s , {\color{green}\qquad \sigma = \sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_s,} σ=σ1σ2⋯σs,
这 里 σ i 是 r i − 轮 换 ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) , 则 作 为 群 S n 中 的 元 素 , σ 的 阶 是 r 1 , r 2 , ⋯   , r s 的 {\color{green}这里\sigma_i是r_i-轮换(i=1,2,\cdots,s),则作为群S_n中的元素,\sigma的阶是r_1,r_2,\cdots,r_s的} 这里σi是ri−轮换(i=1,2,⋯,s),则作为群Sn中的元素,σ的阶是r1,r2,⋯,rs的
最 小 公 倍 数 [ r 1 , r 2 , ⋯   , r s ] . {\color{green}最小公倍数[r_1,r_2,\cdots,r_s].} 最小公倍数[r1,r2,⋯,rs].
例 5 例 3 中 置 换 的 阶 为 [ 3 , 2 ] = 6. {\color{blue}例5\quad}例3中置换的阶为[3,2]=6. 例5例3中置换的阶为[3,2]=6.
定 义 1.6.6 群 G 到 自 身 的 同 构 映 射 , 称 为 G 的 一 个 自 同 构 {\color{blue}定义1.6.6\quad}{\color{green}群G到自身的同构映射,称为G的一个}{\color{blue}自同构} 定义1.6.6群G到自身的同构映射,称为G的一个自同构
, 群 G 的 全 体 自 同 构 的 集 合 记 为 Aut G . {\color{green},群G的全体自同构的集合记为{\textsf{Aut}}G.} ,群G的全体自同构的集合记为AutG.
命 题 1.6.12 设 G 是 群 , 则 Aut G < S G , 称 Aut G 为 群 G 的 自 同 构 群 . {\color{blue}命题1.6.12\quad}{\color{green}设G是群,则{\textsf{Aut}}G < S_G,称{\textsf{Aut}G}为}{\color{blue}群G的自同构群}. 命题1.6.12设G是群,则AutG<SG,称AutG为群G的自同构群.
证 : ∀ θ 1 , θ 2 ∈ Aut G , 据 同 构 映 射 的 性 质 知 θ 2 − 1 ∈ Aut G , θ 1 θ 2 − 1 ∈ Aut G , 再 据 定 理 1.3.1 知 , Aut G < S G . {\color{blue}证:}\forall \theta_1,\theta_2 \in {\textsf{Aut}G},据同构映射的性质知\theta_2^{-1} \in {\textsf{Aut}G},\theta_1\theta_2^{-1} \in {\textsf{Aut}G},再据定理1.3.1知,{\textsf{Aut}G} < S_G. 证:∀θ1,θ2∈AutG,据同构映射的性质知θ2−1∈AutG,θ1θ2−1∈AutG,再据定理1.3.1知,AutG<SG.
命 题 1.6.3 设 G 为 群 , a ∈ G , 定 义 映 射 σ a : G → G 为 {\color{blue}命题1.6.3\quad}{\color{green}设G为群,a \in G,定义映射\sigma_a:G \to G为} 命题1.6.3设G为群,a∈G,定义映射σa:G→G为
σ a ( g ) = a g a − 1 , ∀ g ∈ G . {\color{green}\qquad \sigma_a(g) = aga^{-1},\forall g \in G.} σa(g)=aga−1,∀g∈G.
则 σ a ∈ Aut G , 称 为 由 a 决 定 的 内 自 同 构 . 记 {\color{green}则\sigma_a \in {\textsf{Aut}G}, 称为由a决定的}{\color{blue}内自同构}{\color{green}.记} 则σa∈AutG,称为由a决定的内自同构.记
Inn G = { σ a ∣ a ∈ G } , {\color{green}\qquad \textsf{Inn} G = \lbrace \sigma_a | a \in G \rbrace,} InnG={ σa∣a∈G},
则 Inn G ⊲ Aut G , 称 Inn G 为 G 的 内 自 同 构 群 . {\color{green}则{\textsf{Inn}G} \lhd {\textsf{Aut}G},称{\textsf{Inn}G}为G的}{\color{blue}内自同构群.} 则InnG⊲AutG,称InnG为G的内自同构群.
证 : 由 σ a − 1 ⋅ σ a ( g ) = a − 1 ( a g a − 1 ) a = g 知 σ a 的 逆 映 射 是 σ a − 1 , 从 而 σ a 是 双 射 , 又 {\color{blue}证:}由\sigma_{a^{-1}} \cdot \sigma_a(g) = a^{-1}(aga^{-1})a = g知\sigma_a的逆映射是\sigma_{a^{-1}},从而\sigma_a是双射,又 证:由σa−1⋅σa(g)=a−1(aga−1)a=g知σa的逆映射是σa−1,从而σa是双射,又
σ a ( g 1 g 2 ) = a g 1 g 2 a − 1 = a 1 g 1 a − 1 a g 2 a − 1 = σ a ( g 1 ) σ a ( g 2 ) , ∀ g 1 , g 2 ∈ G , \sigma_a(g_1g_2)=ag_1g_2a^{-1}=a_1g_1a^{-1}ag_2a^{-1}=\sigma_a(g_1)\sigma_a(g_2), \forall g_1,g_2 \in G, σa(g1g2)=ag1g2a−1=a1g1a−1ag2a−1=σa(g1)σa(g2),∀g1,g2∈G,
所 以 σ a ∈ Aut G . 所以\sigma_a \in {\textsf{Aut}G}. 所以σa∈AutG.
∀ σ a 1 , σ a 2 ∈ Inn G , 考 察 σ a 1 ⋅ ( σ a 2 ) − 1 在 G 中 任 一 元 g 上 的 作 用 , 有 \forall \sigma_{a_1},\sigma_{a_2} \in {\textsf{Inn}G},考察\sigma_{a_1} \cdot (\sigma_{a_2})^{-1}在G中任一元g上的作用,有 ∀σa1,σa2∈InnG,考察σa1⋅(σa2)−1在G中任一元g上的作用,有
σ a 1 ⋅ ( σ a 2 ) − 1 ( g ) = σ a 1 σ a 2 − 1 ( g ) = σ a 1 ( a 2 − 1 g a 2 ) = a 1 ( a 2 − 1 g a 2 ) a 1 − 1 \sigma_{a_1} \cdot (\sigma_{a_2})^{-1}(g) = \sigma_{a_1}\sigma_{a_2^{-1}}(g)=\sigma_{a_1}(a_2^{-1}ga_2)=a_1(a_2^{-1}ga_2)a_1^{-1} σa1⋅(σa2)−1(g)=σa1σa2−1(g)=σa1(a2−1ga2)=a1(a2−1ga2)a1−1
= a 1 a 2 − 1 g ( a 1 a 2 − 1 ) − 1 = σ a 1 a 2 − 1 ( g ) , \qquad =a_1a_2^{-1}g(a_1a_2^{-1})^{-1}=\sigma_{a_1a_2^{-1}}(g), =a1a2−1g(a1a2−1)−1=σa1a2−1(g),
所 以 σ a 1 ⋅ ( σ a 2 ) − 1 = σ a 1 a 2 − 1 ∈ Inn G , 因 此 据 定 理 1.3.1 , Inn G < Aut G . 所以\sigma_{a_1}\cdot (\sigma_{a_2})^{-1}=\sigma_{a_1a_2^{-1}} \in {\textsf{Inn}G},因此据定理1.3.1,{\textsf{Inn}G}<{\textsf{Aut}G}. 所以σa1⋅(σa2)−1=σa1a2−1∈InnG,因此据定理1.3.1,InnG<AutG.
又 ∀ θ ∈ Aut G , ∀ σ a ∈ Inn G , 我 们 去 证 θ σ a θ − 1 ∈ Inn G , 再 据 正 规 子 群 的 定 义 便 证 出 Inn G ⊲ Aut G . 又\forall \theta \in {\textsf{Aut}G},\forall \sigma_a \in {\textsf{Inn}G},我们去证\theta \sigma_a \theta^{-1} \in {\textsf{Inn}G},再据正规子群的定义便证出{\textsf{Inn}G} \lhd {\textsf{Aut}G}. 又∀θ∈AutG,∀σa∈InnG,我们去证θσaθ−1∈InnG,再据正规子群的定义便证出InnG⊲AutG.
∀ g ∈ G , θ σ a θ − 1 ( g ) = θ σ a ( θ − 1 ( g ) ) = θ ( a θ − 1 ( g ) a − 1 ) = θ ( a ) θ ( θ − 1 ( g ) ) θ ( a − 1 ) = θ ( a ) g ( θ ( a ) − 1 = σ θ ( a ) ( g ) . \forall g \in G, \theta \sigma_a \theta^{-1}(g) = \theta \sigma_a(\theta^{-1}(g)) = \theta(a\theta^{-1}(g)a^{-1})=\theta(a)\theta(\theta^{-1}(g))\theta(a^{-1})=\theta(a)g(\theta(a)^{-1}=\sigma_{\theta(a)}(g). ∀g∈G,θσaθ−1(g)=θσa(θ−1(g))=θ(aθ−1(g)a−1)=θ(a)θ(θ−1(g))θ(a−1)=θ(a)g(θ(a)−1=σθ(a)(g).
所 以 θ σ a θ − 1 = σ θ ( a ) ∈ Inn G . 所以\theta_{\sigma_a}\theta^{-1}=\sigma_{\theta(a)} \in {\textsf{Inn}G}. 所以θσaθ−1=σθ(a)∈InnG.
如 果 我 们 定 义 映 射 f : G → Inn G 为 如果我们定义映射f:G \to {\textsf{Inn}G}为 如果我们定义映射f:G→InnG为
f ( a ) = σ a , ∀ a ∈ G , \qquad f(a) = \sigma_a, \forall a \in G, f(a)=σa,∀a∈G,
则 容 易 验 证 f ( a b ) = σ a b = σ a σ b = f ( a ) f ( b ) , 从 而 f 是 满 同 态 映 射 , 且 则容易验证f(ab) = \sigma_{ab} = \sigma_a\sigma_b = f(a)f(b),从而f是满同态映射,且 则容易验证f(ab)=σab=σaσb=f(a)f(b),从而f是满同态映射,且
ker f ⊲ G , G / ker f ≃ Inn G . \qquad \ker f \lhd G, G/\ker f \simeq {\textsf{Inn}G}. kerf⊲G,G/kerf≃InnG.
∀ a ∈ ker f , 因 f ( a ) = i d , 记 σ a = i d , 也 即 σ a ( g ) = g , ∀ g ∈ G , \forall a \in \ker f,因f(a) = id,记\sigma_a = id,也即\sigma_a(g) = g, \forall g \in G, ∀a∈kerf,因f(a)=id,记σa=id,也即σa(g)=g,∀g∈G,
也 即 a g a − 1 = g , ∀ g ∈ G , 也 即 a g = g a , ∀ g ∈ G . 所 以 也即aga^{-1} = g,\forall g \in G,也即ag = ga,\forall g \in G.所以 也即aga−1=g,∀g∈G,也即ag=ga,∀g∈G.所以
ker f = { a ∈ G ∣ a g = g a , ∀ g ∈ G } . \qquad \ker f = \lbrace a \in G | ag = ga, \forall g \in G \rbrace. kerf={ a∈G∣ag=ga,∀g∈G}.
定 义 1.6.7 群 G 中 , 与 G 中 所 有 元 素 可 交 换 的 元 素 的 集 合 称 为 群 G 的 中 心 , 记 为 C ( G ) . {\color{blue}定义1.6.7\quad}群G中,与G中所有元素可交换的元素的集合称为{\color{blue}群G的中心},记为\textsf{C}(G). 定义1.6.7群G中,与G中所有元素可交换的元素的集合称为群G的中心,记为C(G).
以 上 讨 论 说 明 , C ( G ) = ker f , G / C ( G ) ≃ Inn G . 以上讨论说明,\textsf{C}(G) = \ker f,G/\textsf{C}(G) \simeq {\textsf{Inn}G}. 以上讨论说明,C(G)=kerf,G/C(G)≃InnG.
来源：oschina
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