RSA遇上中国剩余定理

1.Introduction

最近读论文刚好用到了这个，之前只是有耳闻，没有仔细研究过，这里就好好捋一下，会逐步完善

不过貌似CRT（中国剩余定理）的实现更容易被攻击

rsa算法描述如下：

选择两个大素数\(p、q\)，计算\(N = p*q\)（最好保证N在2048bit以上，最新的研究工作已经可以成功分解762bit的N）
计算\(\phi(N)=(p-1)*(q-1)\)
选择一个\(e\)使得\(gcd(e, \phi(n)) == 1\)，e由于是作加密使用，故推荐使用小值，推荐使用3、65537(\(2^{16}+1\))，65537只有两个1bit，所以在幂运算（参加我的另一篇博客：快速指数算法)时只需要两次额外的乘法运算；此外，不需要担心使用固定值会造成的安全问题，RSA的安全性不会受影响
计算\(ed = 1 (\mod\phi(n))\)，得到\(d\)值用于解密
公钥：(N, e)，私钥:(N, d)
一次RSA加解密：

\[c = m^e \mod N\\ m = d^d \mod N\\ \]
解释：

即\(m = (m^e)^d = m^{1\mod\phi(N)}=m^{h*\phi(N)+1}\mod N\)，

由欧拉定理\(a^{\phi(n)}=1 \mod n\),得到前式等价于

\(1^h*m^1 = m\)

描述起来比较麻烦，见中国剩余定理，可以把大模数变小模数

RSA中计算耗时最大的地方是解密的\(c^d\)操作，由于d值往往较大，故计算难度较高，可以使用中国剩余定理适当降低计算量。

下面几部分会被预计算并存入私钥：

这样最后的私钥就是\((p,q,d,dp,dq,q_{inv})\)

\(m_1 = c^{dp} \mod p\)
\(m_2 = c^{dq} \mod q\)
\(h = q_{inv}(m_1-m_2)\mod p\)
- 当\(m_1<m_2\)时，有些实现会这样计算\(h = q_{inv}[(m_1+\lceil{\frac{q}{p}}\rceil p)-m_2]\mod p\)
\(m = m_2+hq \mod {p*q}\)

这样做虽然要计算两次模幂，但效率依然要比直接计算高得多。因为不管是指数还是模数都要小得多