《信息安全数学基础一》第一章笔记
整除
- 定义
在整数域内,若 \(a = q\cdot b\) ,则 \(b\) 整除 \(a\) ,记作 \(a | b\) - 性质
- 若 \(a | b,\ b | c\) ,则 \(a | c\)
- 若 \(c | a_{i},\ i = 1,\ 2,\ ..,\ n\) 则 \(c\) 也整除 \(a_{i}\) 的线性组合
素数,合数
- 素数定义
除了 \(1\) 和自身外,没有因数的数,称之为素数,也称为质数,其他数被称为合数。 - \(2\) 是最小的素数
素数判别
- 一个定理
对于合数 \(n\) ,必然存在不超过 \(\sqrt{n}\) 的质因子。设 \(n = pq\),设 \(p\) 是最小因子,则 \(p\leq q\)
则 \(n = pq \geq p^{2}\)
所以 \(p\leq \sqrt{n}\)
假设 \(p\) 是合数,则可以继续进行分解,与题设不符,所以 \(p\) 是质数。 - 定理推论
对于一个数 \(n\) ,若其不存在不超过 \(\sqrt{n}\) 的质因子,那么其为素数。 - 素数平凡判别
枚举 \(2-\sqrt{n}\) 内的素数,若不存在 \(n\) 的因子,那么 \(n\) 是素数,否则是合数。
筛法
筛法用来求 \(2-n\) 内的所有素数。
埃式筛
-
算法思想
先假设所有数均为素数。
对于数 \(x\) ,若其为素数,则筛去其所有倍数,并标记该值为合数;若其为合数,则不做改动。 -
算法优化
- 对于素数 \(x\) ,从 \(x\) 倍开始枚举。因为对于倍数 \(x * y,\ y < x\) ,已经在判断 \(y\) 时筛去了。
例如 \(35 = 5 * 7\) ,在判断素数 \(5\) 时筛去了一次,在判断素数 \(7\) 时就可以直接从 \(49 = 7 * 7\) 开始筛。 - \(n\) 以内的素数判断到 \(\sqrt{n}\) 即可。
- 对于素数 \(x\) ,从 \(x\) 倍开始枚举。因为对于倍数 \(x * y,\ y < x\) ,已经在判断 \(y\) 时筛去了。
-
时间复杂度为 \(O(nlglgn)\)
-
\(code\)
int n, vis[N]; void getPrime() { for(int i = 2; i <= n; ++i) vis[i] = 1; for(int i = 2; i * i <= n; ++i){ if(vis[i]){ for(int j = i * i; j <= n; j += i) vis[j] = 0; } } }
欧拉筛
-
埃式筛的困境及改善
有些合数会被筛去多次,例如 \(63 = 7 * 9 = 3 * 21\) 。 -
优化
让每个合数只被其最小的质因子筛去一遍,就可以控制复杂度到 \(O(n)\) -
细节
- 先默认所有数都是素数,下面考虑内循环。
- 若当前数是素数,将其所有的素数倍全部筛去,这保证了那些合数是被其最小素因子筛去的。
- 若当前数是合数,筛去其素数倍 \(x\) ,若 \(x\) 能整除当前合数,则退出循环,因为继续循环得到的新倍数完全可以在之后被 \(x\) 整除。
-
\(code\)
int n, prime[N], vis[N]; int Euler_sieve() { int cnt = 0;//length of prime table for(int i = 2; i <= n; ++i) vis[i] = 1; for(int i = 2; i <= n; ++i){ if(vis[i]) prime[++cnt] = i; for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; ++j){ vis[prime[j] * i] = 0; if(i % prime[j] == 0) break; } } return cnt; }
进制转换
考虑 \(k\) 进制,则一个数位 \(digit\) 的取值范围为 \([0,\ k)\)
- 向十进制转换
对于一个 \(n\) 位 \(k\) 进制数,化为十进制数即为
-
十进制数转为 \(k\) 进制
先模 \(k\) 得到低位在 \(k\) 进制下的值,然后除 \(k\) 舍去低位。//k 进制的字符串向十进制转换 int num = 0; for(int i = 0; i < s.length(); ++i) num *= 10, num += s[i] - '0'; //十进制转换为 k 进制 stack<int> sta; while(num) { sta.push(num % k); num /= k; } while(!sta.empty()) cout<<sta.top()<<endl, sta.pop();
最大公因数与最小公倍数
-
二者定义
字如其名。前者是最大的公因数,后者是最小的公倍数。 -
关系
\[[a,\ b] = \frac{ab}{(a,\ b)} \]\[[a_{0},\ a_{1},\ ...\ ,a_{n}] = \frac{\prod_{i = 0}^{n}a_{i}}{(a_{0},\ a_{1},\ ...\ ,a_{n})} \]通过证明 \((\frac{a}{(a,\ b)},\ \frac{b}{(a,\ b)}) = 1\) ,以及 \((a,\ b) = 1,\ [a,\ b] = ab\) 可以证明上式。
欧几里得算法
欧几里得算法即为辗转相除法计算最大公因数。
- 定理 \(1\)
\(a = q\cdot b + c\) 中,\((a,\ b) = (b,\ c)\)设 \((a,\ b) = d_{1},\ (b,\ c) = d_{2}\)
则 \(d_{1}|a,\ d_{1}|b,\ d_{1}|c\) ,所以 \(d_{1}\leq d_{2}\)
同理 \(d_{2}|b,\ d_{2}|c,\ d_{2}|a\) ,所以 \(d_{2}\leq d_{1}\)
所以 \(d_{1} = d_{2}\) - 定理 \(2\)
\((a,\ 0) = a\)\(a\) 是 \(a\) 的最大因数,\(a\) 是 \(0\) 的因数,所以 \((a,\ 0) = a\)
- 欧几里得算法
设 \(r_{0} = a,\ r_{1} = b,\ r_{n + 1} = 0\), 则有下列式子\[r_{0} = r_{1}q_{1} + r_{2} \\r_{1} = r_{2}q_{2} + r_{3} \\... \\r_{i - 1} = r_{i}q_{i} + r_{i + 1} \\... \\r_{n - 1} = r_{n}q_{n} + r_{n + 1} \]依据定理 \(1\) 和定理 \(2\) ,辗转相除便可以得到最大公因数
贝祖等式
- \(s\cdot a + t\cdot b = (a,\ b)\)
- 猜想 \(r_{i} = s_{i}a + t_{i}b,\ i\in [0,\ n]\) ,利用数学归纳法可以证明此猜想。
拓展欧几里得算法
求 \((a,\ b)\) 的同时求出 \(s\cdot a + t\cdot b = (a,\ b)\) 的一个特解 \(s_{0},\ t_{0}\)
-
递推式算法
考虑已经由数学归纳法证明猜想\[r_{i} = s_{i}a + t_{i}b,\ i\in [0,\ n] \]联立
\[r_{i} = r_{i - 2} - q_{i - 1}r_{i - 1} \]得到递推式
\[s_{i} = s_{i - 2} - s_{i - 1}q_{i - 1} \]\[t_{i} = t_{i - 2} - t_{i - 1}q_{i - 1} \]其中, \(i\) 从 \(2\) 开始计数,即 \(i\in [2,\ n]\)
\[q_{i} = \left [\frac{r_{i - 1}}{r_{i}}\right ] \]\[r_{i} = r_{i - 1}\ mod\ r_{i} = r_{i - 1} - q_{i}r_{i} \]其中, \(i\) 从 \(1\) 开始计数,即 \(i\in [1,\ n - 1]\)
考虑初值,易得
\[s_{0} = 1,\ s_{1} = 0 \]\[t_{0} = 0,\ t_{1} = 1 \]\[r_{0} = a,\ r_{1} = b \]\[q_{1} = \left[\frac{a}{b}\right] \]如此一路递推,便可以得到最终的特解。
考虑空间优化,可以只用 \(s_{0},\ s_{1},\ t_{0},\ t_{1},\ r_{0},\ r_{1},\ q_{0}\) 几个变量来进行递推,赋值的时候需要再引入中间变量来保存值,最终的空间复杂度为一个常数。
int s0, s1, s2, t0, t1, t2, r0, r1, r2, q1, cnt; pair<int, int> exgcd(int a, int b) { s0 = 1, s1 = 0, t0 = 0, t1 = 1; r0 = b, r1 = a % b, q1 = a / b; while(r1) { s2 = s1, s1 = s0 - s1 * q1, s0 = s2; t2 = t1, t1 = t0 - t1 * q1, t0 = t2; q1 = r0 / r1; r2 = r1, r1 = r0 - q1 * r1, r0 = r2; } return pair<int, int> {s1, t1}; }
-
递归算法
考虑递归终点,有 \(b = 0,\ (a,\ b) = a\) ,所以 \(s = 1, t = 0\)
考虑已经求出了 \((b,\ a \% b)\) 情况下的 \(x',\ y'\) ,回溯求解 \((a,\ b)\) 下的 \(x,\ y\)
由\[bx'+ (a - \left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor b)y' = ax + by \]解出
\[x = y',\ y = x' - \left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor y' \]如此一路回溯,可以得到一组特解 \(x_{0},\ y_{0}\)
-
\(code\)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if(!b) {x = 1, y = 0; return a;} int r = exgcd(b, a % b, y, x);//y的值被修改为x',x的值被修改为y' y -= (a / b) * x; return r; }
算术基本定理
- 算术基本定理
对于任意大于 \(1\) 的整数 \(n\) ,其可以拆分为质因子幂的乘积的形式,称之为 \(n\) 的标准分解式:\[n = \prod_{i = 1}^{k}p_{i}^{\alpha_{i}} \]其中, \(p_{i}\) 是素数。 - 因数个数
由乘法原理知道, \(n\) 的因数的个数为\[n = \prod_{i = 1}^{k}(1 + \alpha_{i}) \]
来源:https://www.cnblogs.com/ChenyangXu/p/12571937.html