C#实现平衡多路查找树(B树)

写在前面:搞了SQL Server时间也不短了，对B树的概念也算是比较了解。去网上搜也搜不到用C#或java实现的B树，干脆自己写一个。实现B树的过程中也对很多细节有了更深的了解。

简介

B树是一种为辅助存储设计的一种数据结构，在1970年由R.Bayer和E.mccreight提出。在文件系统和数据库中为了减少IO操作大量被应用。遗憾的是，他们并没有说明为什么取名为B树，但按照B树的性质来说B通常被解释为Balance。在国内通常有说是B-树，其实并不存在B-树，只是由英文B-Tree直译成了B-树。

一个典型的 B树如图1所示。

图1.一个典型的B树

符合如下特征的树才可以称为B树：

根节点如果不是叶节点，则至少需要两颗子树
每个节点中有N个元素，和N+1个指针。每个节点中的元素不得小于最大节点容量的1/2
所有的叶子位于同一层级（这也是为什么叫平衡树）
父节点元素向左的指针必须小于节点元素，向右的指针必须大于节点元素，比如图1中Q的左指针必须小于Q，右指针必须大于Q

为什么要使用B树

在计算机系统中，存储设备一般分为两种，一种为主存（比如说CPU二级缓存，内存等），主存一般由硅制成，速度非常快，但每一个字节的成本往往高于辅助存储设备很多。还有一类是辅助存储(比如硬盘，磁盘等),这种设备通常容量会很大，成本也会低很多，但是存取速度非常的慢，下面我们来看一下最常见的辅存--硬盘。

硬盘作为主机中除了唯一的一个机械存储设备，速度远远落后于CPU和内存。图2是一个典型的磁盘驱动器。

图2.典型的磁盘驱动器工作原理

一个驱动器包含若干盘片，以一定的速度绕着主轴旋转（比如PC常见的转速是7200RPM,服务器级别的有10000RPM和15000RPM的）,每个盘片表面覆盖一个可磁化的物质.每个盘片利用摇臂末端的磁头进行读写。摇臂是物理连接在一起的，通过移动远离或贴近主轴。

因为有机械移动的部分，所以磁盘的速度相比内存而言是非常的慢。这个机械移动包括两个部分：盘旋转和磁臂移动。仅仅对于盘旋转来说，比如常见的7200RPM的硬盘，转一圈需要60/7200≈8.33ms,换句话说，让磁盘完整的旋转一圈找到所需要的数据需要8.33ms,这比内存常见的100ns慢100000倍左右，这还不包括移动摇臂的时间。

因为机械移动如此的花时间，磁盘会每次读取多个数据项。一般来说最小单位为簇。而对于SQL Server来说，则为一页（8K）。

但由于要查找的数据往往很大，不能全部装入主存。需要磁盘来辅助存储。而读取磁盘则是占处理时间最重要的一部分，所以如果我们尽可能的减少对磁盘的IO操作，则会大大加快速度。这也是B树设计的初衷。

B树通过将根节点放入主存，其它所有节点放入辅存来大大减少对于辅存IO的操作。比如图1中，我如果想查找元素Y，仅仅需要从主存中取得根节点，再根据根节点的右指针做一次IO读，再根据这个节点最右的指针做一次IO读，就可以找到元素Y。相比其他数据结构，仅仅做两次辅存IO读大大减少了查找的时间。

B树的高度

根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度由什么决定的呢？

根据B树的高度公式:

其中T为度数（每个节点包含的元素个数），N为总元素个数.

我们可以看出T对于树的高度有决定性的影响。因此如果每个节点包含更多的元素个数，在元素个数相同的情况下，则更有可能减少B树的高度。这也是为什么SQL Server中需要尽量以窄键建立聚集索引。因为SQL Server中每个节点的大小为8092字节，如果减少键的大小，则可以容纳更多的元素，从而减少了B树的高度，提升了查询的性能。

上面B树高度的公式也可以进行推导得出，将每一层级的的元素个数加起来，比如度为T的节点，根为1个节点，第二层至少为2个节点，第三层至少为2t个节点，第四层至少为2t*t个节点。将所有最小节点相加，从而得到节点个数N的公式:

两边取对数，则可以得到树的高度公式。

这也是为什么开篇所说每个节点必须至少有两个子元素，因为根据高度公式，如果每个节点只有一个元素，也就是T=1的话，那么高度将会趋于正无穷。

B树的实现

讲了这么多概念，该到实现B树的时候了。

首先需要定义B树的节点，如代码1所示。

        public class TreeNode<T>where T:IComparable<T>
        {
            public int elementNum = 0;//元素个数
            public IList<T> Elements = new List<T>();//元素集合,存在elementNum个
            public IList<TreeNode<T>> Pointer = new List<TreeNode<T>>();//元素指针，存在elementNum+1
            public bool IsLeaf = true;//是否为叶子节点
            
        }

代码1.声明节点

我给每个节点四个属性，分别为节点包含的元素个数，节点的元素数组，节点的指针数组和节点是否为叶子节点。我这里对节点存储的元素类型使用了泛型T，并且必须实现ICompable接口使得节点所存储的元素可以互相比较。

有了节点的定义后，就可以创建B树了，如代码2所示。

            //创建一个b树,也是类的构造函数
            public BTree()
            {

                RootNode = new TreeNode<T>();
                RootNode.elementNum = 0;
                RootNode.IsLeaf = true;
                //将节点写入磁盘，做一次IO写
            }

代码2.初始化B树

这是BTree类的构造函数，初始化一个根节点。全部代码我稍后给出。

下面则要考虑B树的插入，其实B树的构建过程也是向B树插入元素的过程.B树的插入相对来说比较复杂，需要考虑很多因素。

首先，每一个节点可容纳的元素个数是一样并且有限的，这里我声明了一个常量最为每个节点,如代码3所示。

const int NumPerNode = 4;

代码3.设置每个节点最多容纳的元素个数

对于B树来说，节点增加的唯一方式就是节点分裂，这个概念和SQL SERVER中的页分裂是一样的。

页分裂的过程首先需要生成新页，然后将大概一半的元素移动到新页中，然后将中间元素提升到父节点。比如我想在现有的元素中插入8，造成已满的页进行分裂，如图3所示:

图3.向已经满的叶子节点插入元素会造成页分裂

通过叶子分裂的概念不难看出，叶子节点分裂才会造成非叶子节点元素的增加。最终传递到根元素。而根元素的分裂是树长高的唯一途径。

在C#中的实现代码如代码4所示。

           //B树中的节点分裂
            public void BTreeSplitNode(TreeNode<T> FatherNode, int position, TreeNode<T> NodeToBeSplit)
            {
                TreeNode<T> newNode = new TreeNode<T>();//创建新节点，容纳分裂后被移动的元素
                newNode.IsLeaf = NodeToBeSplit.IsLeaf;//新节点的层级和原节点位于同一层
                newNode.elementNum = NumPerNode - (NumPerNode / 2 + 1);//新节点元素的个数大约为分裂节点的一半
                for (int i = 1; i < NumPerNode - (NumPerNode / 2 + 1); i++)
                {
                    //将原页中后半部分复制到新页中
                    newNode.Elements[i - 1] = NodeToBeSplit.Elements[i + NumPerNode / 2];
                }
                if (!NodeToBeSplit.IsLeaf)//如果不是叶子节点，将指针也复制过去
                {
                    for (int j = 1; j < NumPerNode / 2 + 1; j++)
                    {
                        newNode.Pointer[j - 1] = NodeToBeSplit.Pointer[NumPerNode / 2];
                    }
                }
                NodeToBeSplit.elementNum = NumPerNode / 2;//原节点剩余元素个数

                //将父节点指向子节点的指针向后推一位
                for (int k = FatherNode.elementNum + 1; k > position + 1; k--)
                {
                    FatherNode.Pointer[k] = FatherNode.Pointer[k - 1];
                }
                //将父节点的元素向后推一位
                for (int k = FatherNode.elementNum; k > position + 1; k--)
                {
                    FatherNode.Elements[k] = FatherNode.Elements[k - 1];
                }
                //将被分裂的页的中间节点插入父节点
                FatherNode.Elements[position - 1] = NodeToBeSplit.Elements[NumPerNode / 2];
                //父节点元素大小+1
                FatherNode.elementNum += 1;
                //将FatherNode,NodeToBeSplit,newNode写回磁盘,三次IO写操作

            }

代码4.分裂节点

通过概念和代码不难看出，节点的分裂相对比较消耗IO，这也是为什么SQL Server中需要一些最佳实现比如不用GUID做聚集索引，或是设置填充因子等来减少页分裂。

而如果需要插入元素的节点不满，则不需要页分裂，则需要从根开始查找，找到需要被插入的节点，如代码5所示。

            //在节点非满时寻找插入节点
            public void BTreeInsertNotFull(TreeNode<T> Node, T KeyWord)
            {
                int i=Node.elementNum;
                //如果是叶子节点，则寻找合适的位置直接插入
                if (Node.IsLeaf)
                {
                    
                    while (i >= 1 && KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) < 0)
                    {
                        Node.Elements[i] = Node.Elements[i - 1];//所有的元素后推一位
                        i -= 1;
                    }
                    Node.Elements[i - 1] = KeyWord;//将关键字插入节点
                    Node.elementNum += 1;
                    //将节点写入磁盘，IO写+1
                }
                //如果是非叶子节点
                else
                {
                    while (i >= 1 && KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) < 0)
                    {
                        i -= 1;
                    }
                    //这步将指针所指向的节点读入内存,IO读+1
                    if (Node.Pointer[i].elementNum == NumPerNode)
                    {
                        //如果子节点已满，进行节点分裂
                        BTreeSplitNode(Node, i, Node.Pointer[i]);
 
                    }
                    if (KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) > 0)
                    {
                        //根据关键字的值决定插入分裂后的左孩子还是右孩子
                        i += 1;
                    }
                    //迭代找叶子，找到叶子节点后插入
                    BTreeInsertNotFull(Node.Pointer[i], KeyWord);
                     

                }
            }

代码5.插入

通过代码5可以看出，我们没有进行任何迭代。而是从根节点开始遇到满的节点直接进行分裂。从而减少了性能损失。

再将根节点分裂的特殊情况考虑进去，我们从而将插入操作合为一个函数，如代码6所示。

            public void BtreeInsert(T KeyWord)
            {
                if (RootNode.elementNum == NumPerNode)
                {

                    //如果根节点满了，则对跟节点进行分裂
                    TreeNode<T> newRoot = new TreeNode<T>();
                    newRoot.elementNum = 0;
                    newRoot.IsLeaf = false;
                    //将newRoot节点变为根节点
                    BTreeSplitNode(newRoot, 1, RootNode);
                    //分裂后插入新根的树
                    BTreeInsertNotFull(newRoot, KeyWord);
                    //将树的根进行变换
                    RootNode = newRoot;
                }
                else
                {
                    //如果根节点没有满，直接插入
                    BTreeInsertNotFull(RootNode, KeyWord);
                }
            }

代码6.插入操作

现在，我们就可以通过插入操作，来实现一个B树了。

B树的查找

既然B树生成好了，我们就可以对B树进行查找了。B树的查找实现相对简单，仅仅是从跟节点进行迭代，如果找到元素则返回节点和位置，如果找不到则返回NULL.

            //从B树中搜索节点，存在则返回节点和元素在节点的值，否则返回NULL
            public returnValue<T> BTreeSearch(TreeNode<T> rootNode, T keyword)
            {
                int i = 1;
                
                while (i <= rootNode.elementNum && keyword.CompareTo(rootNode.Elements[i - 1])>0)
                {
                    i = i + 1;
                }
                if (i <= rootNode.elementNum && keyword.CompareTo(rootNode.Elements[i - 1]) == 0)
                {
                    returnValue<T> r = new returnValue<T>();
                    r.node = rootNode.Pointer[i];
                    r.position = i;
                    return r;
                }
                if (rootNode.IsLeaf)
                {
                    return null;
                }
                else
                {
                    //从磁盘将内容读出来,做一次IO读
                    return BTreeSearch(rootNode.Pointer[i], keyword);
                }
            }

 代码7.对B树进行查找

  顺带说一下，returnValue类仅仅是对返回值的一个封装，代码如代码8所示。

        public class returnValue<T> where T : IComparable<T>
        {
            public TreeNode<T> node;
            public int position;
        }

代码8.returnValue的代码