交叉熵 相对熵

人走茶凉 提交于 2020-03-17 08:34:17

交叉熵(cross entropy)是深度学习中常用的一个概念,一般用来求目标与预测值之间的差距。

1 信息量

假设XX是一个离散型随机变量,其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),xχp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为:

 

 
I(x0)=log(p(x0))I(x0)=−log(p(x0))


由于是概率所以p(x0)p(x0)的取值范围是[0,1][0,1],绘制为图形如下: 

 


这里写图片描述 
可见该函数符合我们对信息量的直觉

 

2 熵

考虑另一个问题,对于某个事件,有nn种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi)p(xi) 
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号事件概率p信息量I
A 电脑正常开机 0.7 -log(p(A))=0.36
B 电脑无法开机 0.2 -log(p(B))=1.61
C 电脑爆炸了 0.1 -log(p(C))=2.30

注:文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即: 

 
H(X)=i=1np(xi)log(p(xi))H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))

 

其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是 

 
H(X)===[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.300.804H(X)=−[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]=0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.30=0.804

 

然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(也叫二项分布),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式: 

 
H(X)==i=1np(xi)log(p(xi))p(x)log(p(x))(1p(x))log(1p(x))H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))=−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))

 

3 相对熵(KL散度)

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题,而不是用Q来描述目标问题,得到的信息增量。

在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1] 
直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美。而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。

KL散度的计算公式: 

 
DKL(p||q)=i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))(3.1)(3.1)DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))


n为事件的所有可能性。 
DKLDKL的值越小,表示q分布和p分布越接近

 

4 交叉熵

对式3.1变形可以得到: 

 
DKL(p||q)==i=1np(xi)log(p(xi))i=1np(xi)log(q(xi))H(p(x))+[i=1np(xi)log(q(xi))]DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))=−H(p(x))+[−∑i=1np(xi)log(q(xi))]

 

等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵: 

 
H(p,q)=i=1np(xi)log(q(xi))H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))

 

在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||y^)DKL(y||y^),由于KL散度中的前一部分H(y)−H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。

机器学习中交叉熵的应用

1 为什么要用交叉熵做loss函数?

在逻辑回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,比如: 

 
loss=12mi=1m(yiyi^)2loss=12m∑i=1m(yi−yi^)2

 

这里的m表示m个样本的,loss为m个样本的loss均值。 
MSE在逻辑回归问题中比较好用,那么在分类问题中还是如此么?

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