交叉熵(cross entropy)是深度学习中常用的一个概念,一般用来求目标与预测值之间的差距。
1 信息量
假设XX是一个离散型随机变量,其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为:
由于是概率所以p(x0)p(x0)的取值范围是[0,1][0,1],绘制为图形如下:
可见该函数符合我们对信息量的直觉
2 熵
考虑另一个问题,对于某个事件,有nn种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi)p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量
序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
---|---|---|---|
A | 电脑正常开机 | 0.7 | -log(p(A))=0.36 |
B | 电脑无法开机 | 0.2 | -log(p(B))=1.61 |
C | 电脑爆炸了 | 0.1 | -log(p(C))=2.30 |
注:文中的对数均为自然对数
我们现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即:
其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是
然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(也叫二项分布),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式:
3 相对熵(KL散度)
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异
维基百科对相对熵的定义
In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
即如果用P来描述目标问题,而不是用Q来描述目标问题,得到的信息增量。
在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美。而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。
KL散度的计算公式:
n为事件的所有可能性。
DKLDKL的值越小,表示q分布和p分布越接近
4 交叉熵
对式3.1变形可以得到:
等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵:
在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||y^)DKL(y||y^),由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。
机器学习中交叉熵的应用
1 为什么要用交叉熵做loss函数?
在逻辑回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,比如:
这里的m表示m个样本的,loss为m个样本的loss均值。
MSE在逻辑回归问题中比较好用,那么在分类问题中还是如此么?
来源:https://www.cnblogs.com/missidiot/p/9360889.html