欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a % b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a %b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a % b)的公约数
假设d 是(b,a % b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证；
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0) return a;
return Gcd(b, a % b);
}
迭代法 int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中，
递归实现程序extend_gcd.
返回：d=gcd(a,b)和对应等式ax+by=d中的x，y。
long extend_gcd(long a,long b,long *x,long *y)
{
long t,m;
if((b==0)&&(b==0))
return -1; //表示无最大公因数
if(b==0)
{ *x=1; *y=0; return a; }
else
{
m=extend_gcd(b,a%b,x,y);
t=*x;
*x=*y;
*y=t-(a/b)*(*y);
}
return m;
}
可以这样思考:
对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得
a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b
(注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和 (x-a/b*y).
关于整系数一次不定方程mx+ny=c的一般解x，y的算法如下：
（1）设d=gcd（m，n），记m=a*d，n=b*d，则gcd（a，b）=1，且整系数方程mx+ny=d有整数解x0，y0，即m*x0+n*y0=d.
注意：x0,y0,实际上是整系数方程ax+by=1的整数解。
（2）更进一步，在（1）的情况下：
若d不是c的因数，则整系数方程mx+ny=c无整数解；
若d是c的因数，记c=g*d,则整系数方程mx+ny=c的一般解为：
x=g*x0+bt
y=g*y0-at, t为任何整数
G*x0,g*y0实际上是整系数方程mx+ny=c的一个特解。
来源：https://www.cnblogs.com/pcoda/archive/2011/08/20/2147279.html