【软工】个人项目作业——个人软件流程(PSP)
项目 | 内容 |
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班级:北航2020春软件工程 006班(罗杰、任健 周五) | 博客园班级博客 |
作业:设计程序求几何对象的交点集合 | 个人项目作业 |
个人课程目标 | 系统学习软件工程,训练软件开发能力 |
这个作业在哪个具体方面帮助我实现目标 | 实践个人软件开发流程(PSP) |
项目地址 | GitHub: clone/http |
个人软件流程(PSP)
PSP2.1 | 预估耗时(分钟) | 实际耗时(分钟) |
---|---|---|
Planning | 20 | 20 |
· Estimate | 20 | 20 |
Development | 310 | 530 |
· Analysis | 30 | 90 |
· Design Spec | 10 | 30 |
· Design Review | 10 | 10 |
· Coding Standard | 10 | 10 |
· Design | 40 | 90 |
· Coding | 120 | 120 |
· Code Review | 30 | 30 |
· Test | 60 | 150 |
Reporting | 50 | 50 |
· Test Report | 20 | 20 |
· Size Measurement | 10 | 10 |
· Postmortem & Process Improvement Plan | 20 | 20 |
In Total | 380 | 600 |
最终完成整个项目的时间远远超出了我的预计,其中与预期严重不符的项包括:分析需求、设计和测试。其中,分析需求和设计超时的原因是对题目要求功能的本质思考不清晰,思路和设计经过了以下的反复迭代和更改:
首先对参数在$(-10^5,10^5)$范围时的交点取值范围进行了数学上的分析,认为线-线交点可能坐标高达$4\times10^{10}$,精度要求可能高于$10^{-5}$。
- 于是认为使用
double
维护点坐标精度不够,于是决定自行构造一个有理数类$\frac{P}{Q}$,分子分母均为long long
型 - 后来发现附加题里涉及到圆,线-圆交点的形式为$\frac{A+B\sqrt{C}}{D}$,于是决定扩展有理数类到支持带系数的根式。再思考如何标准化该式以进行两坐标之间的比较(哈希和判等),涉及到了质因数分解等。
- 再仔细分析,认为线-线交点范围可能达到$4\times 10^{10}$,再由于double类型的有效数字仅为15位左右,即小数点后5位左右,因此认为应当使用有理数类存储线线交点以避免精度问题。然而对线-圆交点和圆-圆交点而言,交点范围必在$\pm 2\times 10^{5}$以内,因此使用double存储可到小数点后近10位,因此涉及到圆的交点可以使用double,精度足够。在比较时认为有理数≠double小数。
又发现线线交点可能和圆交点重合,于是必须检查涉及到圆的交点坐标是否为有理数。是有理数则使用有理数类,否则使用double。这要求将坐标的公式写出,检查根号内的整数是否为完全平方数。若是完全平方数则可以化为有理数类,否则直接求值。
可以看出,如果一开始就较为清晰地将各个需求罗列出来,再一一分析,分析之后再进行统一设计,可能很快就可以想出有理数/无理数的分类,而不是将所谓设计的有理数类反复拓展以支持新需求。
如果是一边像这样设计一边写代码,浪费的时间就更是灾难性的,代码将会反复修改,思路也会频繁被打断。
因此PSP看似麻烦复杂的流程不是没有道理的,以后应当记住这个教训。
解题方法
此题使用哈希表的暴力解法时间复杂度为$O(n^2)$。容易考虑到有两种优化条件,分别为 “平行线” 和 “多线共点”。对于前者可以按斜率进行等价类划分,在类间进行两两求交;对于后者需要额外计算判断是否共点,也会带来常数的提升。
因此笔者仍然选择暴力解法,枚举每pair的几何对象组合,计算交点,使用哈希集合维护去重。
点的维护
三种交点有着三种不同的公式。首先将它们的通式推导出来。具体的推导和公式可以参照:
- 线-线交点: Wikipedia
- 线-圆交点: Wolfram MathWorld
- 圆-圆交点: Stack Overflow
其中,线线交点可以写成如下形式:
$$
(x,y)=(\frac{x_1}{x_2},\frac{y_1}{y_2})
$$
其中$x_1,x_2,y_1,y_2$均为整数表达式的运算结果。于是,设计一个有理数类存储线-线交点的坐标(不使用double
的理由见上节)以便于哈希和比较。
然而,线-圆交点和圆-圆交点的形式为:
$$
(x,y)=(\frac{x_1+x_2\sqrt{\Delta}}{x_3},\frac{y_1+y_2\sqrt{\Delta}}{y_3})
$$
其中$x_\bullet,y_\bullet, \Delta$均为整数表达式的运算结果。当$\Delta$为完全平方数时,该式化简为有理数形式;否则,该式为无理数。
考虑到有理数不可能等于无理数,因此首先检查$\Delta$是否能开根,若可以则使用有理数类,否则直接求值使用double
存储(此处可以使用double
的理由见上节)。
求交点:四种二元关系
假设有类Line
和类Circle
存储两类几何对象。然而求交点需要(Line, Line), (Line, Circle), (Circle, Line), (Circle, Circle)
四种组合。
一开始,我倾向于使用父类和子类维护不同的几何对象,但发现即使使用重载和重写,代码效率和可读性并没有明显的提高。
后来通过查找资料,我在 这篇问答帖子 中找到了最佳的解决方案:使用std::variant
和std::visit
来优美地实现“多态二元函数”,具体实现如下:
// 使用 std::variant 和 std::visit 来实现“多态二元函数” ! // 重载四种组合 std::vector<Point> intersection(Line x, Circle y); std::vector<Point> intersection(Circle x, Line y); std::vector<Point> intersection(Line x, Line y); std::vector<Point> intersection(Circle x, Circle y); // 类型的定义,相当于 union using Geometry = std::variant<Line, Circle>; // 重载()运算符以实现类型匹配 struct interset_visitor { template<typename Shape1, typename Shape2> std::vector<Point> operator()(const Shape1 &lhs, const Shape2 &rhs) const { return intersection(lhs, rhs); } }; // 使用 std::visit 重定向四种重载的参数组合 for (int i = 0; i < objCount; ++i) for (int j = i + 1; j < objCount; ++j) std::vector<Point> points = std::visit(interset_visitor{}, objs[i], objs[j]);
交点集合的维护(去重)
C++中的set
基于BST实现,在此我们并不需要对点进行排序和有序组织,因此考虑使用unordered_set
来维护点,相当于Java中的HashSet。要使用unordered_set
,必须提供哈希函数和判等函数。
对于点来说,有x和y两个坐标,在哈希时只需将两个坐标获取哈希值再进行组合即可,在判等时需要注意先验条件“有理数不等于无理数”以保证正确性!
而坐标有整数数对(有理数)和浮点数(double)两种形式,在判等时应当注意判断等号两端坐标分别点类型。
注意到在哈希和判等前,坐标必须进行化简($\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$)和标准化($\frac{-0}{8}=\frac{0}{1}$),因此使用辗转相除法求最大公约数,再消去该因子。
由于这里分子和分母有可能较大,因此普通的辗转相除法可能效率较低。一个优化的辗转相除法可以参照《编程之美》2.7节《最大公约数问题》,实现如下的写法,最坏复杂度为$O(\log_2(\max(x,y))$ :
ll fastGcd(ll x, ll y) { if (x < y) return fastGcd(y, x); if (!y) return x; if (x / 2 * 2 == x) { if (y / 2 * 2 == y) return (fastGcd(x / 2, y / 2) * 2); else return fastGcd(x / 2, y); } else { if (y / 2 * 2 == y) return fastGcd(x, y / 2); else return fastGcd(y, x - y); } }
设计
类与数据结构
如上文所说,基础的数据结构是坐标,支持两种形式的数,构造时化简和标准化。支持hashCode。
class Coordinate { // Case 1: Rational Number = A / B (long-longs) // Case 2: Float Number = C (double) private: void simplifyRational(); void simplifySqrt(ll add, ll coeff, ll insqrt, ll btm); public: bool isRational, isNan; ll top, bottom; double value; Coordinate(ll tp, ll btm); // tp / btm Coordinate(ll a, ll b, ll c, ll btm); // ( a + b * sqrt(c) ) / btm // ---> (1) A / B (2) double value std::size_t hashCode() const ; };
坐标组成点,点可以求哈希值和判等:
class Point { public: Coordinate x, y; Point(Coordinate xx, Coordinate yy); }; struct hashCode_Point { std::size_t operator()(const Point &point) const { return 1111; } }; struct equals_Point { bool operator()(const Point &lhs, const Point &rhs) const { return true & true & false & false; } };
几何对象有直线和点,它们之间支持两两求交点,使用std::variant
构建几何对象的综合类型:
class Line { public: Line(int x1, int y1, int x2, int y2); int p1_x, p1_y; int p2_x, p2_y; }; class Circle { public: Circle(int x, int y, int r); int center_x, center_y; int radius; }; std::vector<Point> intersection(Line x, Circle y); std::vector<Point> intersection(Circle x, Line y); std::vector<Point> intersection(Line x, Line y); std::vector<Point> intersection(Circle x, Circle y); // variant for auto combination using Geometry = std::variant<Line, Circle>; struct interset_visitor { template<typename Shape1, typename Shape2> std::vector<Point> operator()(const Shape1 &lhs, const Shape2 &rhs) const { return intersection(lhs, rhs); } };
最后使用基于哈希的unordered_map
维护点集:
std::unordered_set<Point, hashCode_Point, equals_Point> container;
单元测试
为使程序跨平台且具有较好的可拓展性,笔者没有采用VS自带的单元测试框架,而是使用了其支持的 GoogleTest。
笔者针对坐标&点、几何&求交这两个主要功能和数据单元进行了数十项单元测试,测试点主要功能点如下所示:
- 坐标和点的构造与化简 GoogleTest Code
- 有理数的构造
- 无理数的构造和求浮点值
- 有理数的化简
- 复杂式化简成有理数
- 复杂式无法化简成有理数
- 分子分母各个位置上的负数、0、正数、极小值、极大值
- 非法坐标(交点在无穷远)
- 随机参数对象
- 两个几何对象求交点 GoogleTest Code
- 平行于坐标轴的直线
- 非平凡的直线
- 交点为有理数的直线
- 交点为有理数的线-圆和圆-圆
- 交点为无理数的线-圆和圆-圆
- 线-圆相交、相切、相离
- 圆-圆相交、内外切、内外离
- 随机参数对象
笔者使用Wolfram Alpha来辅助调试和获取正确答案:
性能改进
笔者使用VS 2019 Community进行了效能分析测试,第一次测试结果如下:
可以看到,operator <<
占了很多的时间,导致判等函数占用很多时间,同时程序运行超时。
这是因为为了简单起见,在哈希表的判等中,笔者使用单元测试时验证过的输出函数将对象转换成字符串,再进行字符串的比较。这样时间主要浪费在了构造字符流、构造字符串和比较字符串上。
因此,笔者对其进行了改进,将使用输出到字符串再比较替换成了按逻辑比较成员变量:
struct equals_Point { bool operator()(const Point &lhs, const Point &rhs) const { /* TIME-COSTING !!! std::ostringstream outstream1, outstream2; outstream1 << lhs; outstream2 << rhs; return outstream1.str() == outstream2.str(); */ bool x_eq = false, y_eq = false; if (lhs.x.isRational) x_eq = ...; else x_eq = ...; if (lhs.y.isRational) ... return x_eq & y_eq; } };
第二次测试的结果如下:
可以看出,现在程序的主要运行时间花费分布十分合理,主要在求交点、构造交点、化简交点、求最大公约数这一条调用链上。程序的运行时间也从100s缩短到了19s。
代码风格与质量
笔者使用VS 2019 Community进行了代码质量分析(Microsoft建议的分析),改正代码后的结果如下:
其中关于freopen和scanf的警告,在此次作业确保调用方式正确、输入数据正确的情况下,笔者为了效率和性能,没有将其替换成freopen_s、scanf_s等,也没有增加相应的代码处理它们的返回值。
最后一条警告的对象是下面一条语句:
ll insideSqrt; ... ll possibleRoot = sqrt(insideSqrt);
工具警告我们将double转成long long可能丢失数据,但我们明确知道sqrt()
内部的值是long long型的整数,且取值范围在$\pm4\times 10^{10}$内,开根号后取值范围必定不会变大到与double的取值范围相当,因此笔者明确知道此处的写法是安全的且符合程序员本意的,因此有意忽略。
来源:https://www.cnblogs.com/FuturexGO/p/12457831.html