20200308模拟赛

T1.开屏雷击：
Bitset Master

$O(nm)$暴力。
出题人开了时限$6s$，然后心机的让$m = 3n$，
奈何$O(nm)$跑过了$n = 30000$的点。
$O(\frac {nm}w + n^2)$算法：
每次合并的时候同时维护一个$u$被多少个节点$v$包含。
合并可以用 $bitset$优化成$O(\frac {nm}w)$,
合并$u,v$时可以考虑求出$S(u) xor S(v)$也就是集合中不同的点，然后对这些点维护一个$u$被多少个节点$v$包含，总共只会维护$O(n^2)$次。
$O(m)$的解决先做完所有修改再询问的数据点的算法：
详见
$O((n+m)\log^2 n)$正解：

这个这个，。。就是就是。。。。
离线分治回答询问，
维护时间点因为总变化量是$O(m)$的
所以是需要快速找，暴力修改。

T2：

完全图(要写矩阵快速幂):

	if(m==n*(n-1)/2)
	{
		mat t;t.a[0][0]=0;t.a[0][1]=P-1;t.a[1][0]=1;t.a[1][1]=n+2;
		t=pw(t,k);int s=t.a[1][0];
		printf("%d\n",1ll*pw(n,n-2)*pw(s,n-1)%P);
		return 0;
	}

$n<=5$
写$BM$
(不知道$(n*100)^4$怎么过的。)

下面：
数理知识
笛卡尔积：

说人话：你不需要知道什么是笛卡尔积。

很牛逼，我们又证明了一次某C定理。









这题就是不想让人过的。
resultant:上面的PPT中有，具体就是对特征值的操作什么的。

PS： 如果这个题是复制$k$个图然后两两对应编号连边就简单多了，只需要求两次行列式即可简单个锤子。

T3:求$\sum\limits_{x = 1}^n \textrm{lcm}(x, x + 1, \dots, x + k)$对$1e9+7$ 取模的结果。

猜想$x* (x + 1)* \dots*(x + k)$和$\textrm{lcm}(x, x + 1, \dots, x + k)$有关。
令$f(x) = \frac {x* (x + 1)* \dots*(x + k)}{\textrm{lcm}(x, x + 1, \dots, x + k)}$
容易发现 $f(x)$是有周期的。
并且发现$16$的周期是$720720$，就可以愉快的拉格朗日插值$O(k^2*720720)$得到$70pts$.
可以$O(k*720720)$
可以把求答案的式子化成$\sum_{i=0}^{\frac {n-r}L} c_i\binom{L * i + r}{k+1}$的形式。
再范德蒙德恒等式：
$\sum_{i=0}^{\frac {n-r}L} c_i \sum_{j=0}^i \binom{L * i}{j} \binom{r}{k+1-j} = \sum_{j=0}^i \binom{r}{k+1-j}\sum_{i=0}^{\frac {n-r}L} c_i\binom{L * i}{j}$
对于这个题$\frac {n-r}L$只有2个取值，所以预处理后面的$\Sigma$然后就可以$O(k)$算了。
发现$f(x)$的质因数$\leq k$
猜想：$f(x)$中$p(prime)$的次数和$x\pmod {p^e}$有关
然后就把$1...30$的质数分成两组。
然后$L$就是$3e5$的级别，然后双指针套卷积合并组合形式幂级数的式子就可以卡过了。
牛逼做法

还需要优化：
如：$k = 15 , \pmod {13}$时。

基础贡献加入反例，贡献乘起来，我在复读
就是把$x \pmod {p^e}$的$p^e$类强行用人类智慧减少讨论范围，$k=25$时只有$4e5$项容斥系数，可以直接过。

取模卡常小技巧

for
f += a * b
(f>=p^2) && (f -= p^2)
endfor
f %= p;
…
好像。。

来源：CSDN

作者：Freopen

链接：https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/104733214