梯度,散度,拉普拉斯算子

综述

说到mesh上的处理技巧，拉普拉斯绝对是关键的一环，比如surface smoothing, parameterization and shape modeling等等都是十分重要的。
人们常说的是，拉普拉斯算子其实就是梯度的散度。

写在前面
首先给出：纯量（标量），矢量

标量（scalar），亦称“无向量”。有些物理量，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分。物理学中，标量（或作纯量）指在坐标变换下保持不变的物理量。用通俗的说法，标量是只有大小，没有方向的量。
矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。一般来说，在物理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。

梯度

标量 -> 矢量
想象一座山，山的每一个点上都得到一个向量（事实上在三维中，你可以随意的定义方向向量），假设我们现在的向量指向每个点变化最陡的那个方向，而向量的大小（模）则代表了这个最陡的方向到底有多陡。梯度，众所周知，是一个向量。

散度

矢量 -> 标量

散度的作用对象是向量场，如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域)，在这个点上，向量场的发散程度，如果是正的，代表这些向量场是往外散出的。如果是负的，代表这些向量场是往内集中的。
思考一个点电荷激发的电场，任意选取一个单位体积，若是单位体积不包含该电荷，那么毫无疑问，有多少电场线进入就有多少电场线出，散度为0.但若选取的单位体积内包含了一个正点电荷，则电场线只出不进，因而散度不为零。所以散度经常用来判断是否存在场源。

因此如果我们在mesh的梯度上计算散度得到的就是拉普拉斯算子。
直观地，我们其实无论使用重心法还是Local Voronoi Cell来作为一个patch去考察拉普拉斯行为，我们其实就是在mesh上划定了一个小的区域，考察这个区域中mesh上梯度的变化情况。
比如我们可以对于tri-mesh推导出在参数空间中变量u下的cotangent拉普拉斯算子：
在这里插入图片描述
他其实就是刻画了，我们根据 $x_i$ 邻域建立的这个小蓝色区域的视角下，mesh的梯度的散度。