数学建模之TOPSIS法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution ）可以理解为逼近理想解排序法，国内也称作优劣解距离法。该方法只要求各效用函数具有单调递增(或递减）性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法。
举个例子：一个寝室四个人的高数成绩如下：

在这种情况下，我们如何确定权重（评分）呢？归一化！
归一化：是一种无量纲处理手段，使物理系统数值的绝对值变成某种相对值关系。简化计算，缩小量值的有效办法。
那么你可能也听说过标准化这个词
标准化：当几种参数的单位不一致时，使用标准化去除量纲。
这里我们采用的构造方式为$\genfrac (){1pt}{1}{x-min}{max-min}$ ，缩小量值，然后归一化，让他们评分相加为1.

我们为什么采用这样的评分标准：

1. 首先一般评价的对象一般远超于2个。
2. 比较的指标也往往不是一个方面。
3. 有很多指标不存在理论上的最大最小值，例如GDP增速。

当我们增加一个指标时：

成绩属于极大型指标（效益性指标），属于越大越好。
争吵属于极小型指标（成本型指标），属于越小越好。
此时，我们需要把两种指标转化为相同方向。（统一指标类型）
将所有指标正向化处理，极小型指标转化极大型指标公式$max-x$

此时我们可以发现，争吵次数与成绩是两种不同单位的指标参数，所以我们利用标准化来去除量纲的影响。
假设有n个要评价的对象，m个指标参数（都已经正向化），构成的正向化矩阵为：X = $\begin{bmatrix} x_{11} & ... & x_{1m} \\ x_{21} & ... & x_{2m} \\ ... & ... & ... \\ x_{n1} & ... & x_{nm} \\ \end{bmatrix}$，那么标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：$z_{ij}= x_{ij}/\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}$，经过变换：
$\begin{bmatrix} 89 &1 \\ 60 &3\\ 74&2\\ 99&0 \\ \end{bmatrix}$ =====>$\begin{bmatrix} 0.5437 &0.2673 \\ 0.3665 &0.8018\\ 0.4520&0.5345\\ 0.6048&0 \\ \end{bmatrix}$ 相关代码：清风数学建模

1.类比只有一个指标的计算得分

假设有n个要评价的对象，m个指标指标的标准化矩阵：$Z = \begin{bmatrix} z_{11} & ... & z_{1m} \\ z_{21} & ... & z_{2m} \\ ... & ... & ... \\ z_{n1} & ... & z_{nm} \\ \end{bmatrix}$,我们定义每一指标的最大值$Z^+_i$ ，最小值$Z^-_i$，定义第i(i=1,2,3…n)个评价对象与最大值的距离 $D_i^+= \sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^m(Z_i^+-z_{ij})^2}$,第i(i=1,2,3…n)个评价对象与最小值的距离 $D_i^-= \sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^m(Z_i^--z_{ij})^2}$，那么评价对象未归一化的得分：$S_i =\tfrac{D_i^-}{D_i^-+D_i^+}$,明显可以看出$S_i$一定是在0到1之间，即$D_i^+$这个最大距离越小，$S_i$越大，即越接近最大值。这也是为什么TOPSIS也叫做优劣解距离法

2.解题步骤

第一步：将原始矩阵正向化
最常见的四种指标：

如何极小型转化极大型：

1. max - x：最大值减去当前x
2. 如果所有元素都为正数，直接变成倒数$\tfrac{1}{x}$

如何中间型转化极大型：
设中间型为$x_{best}$，那么未归一化得分公式为$M = max(|x_i-x_{best}|)$，$\widetilde{x_i}=1-\tfrac{|x_i-x_{best}|}{M}$

如何区间型转化极大型：
是指值落在某个区间内最好，设区间为[a,b]，有$M = max(a-min(x_i),max(x_i)-b)$
$\widetilde{x_i} = \begin{cases} 1- \tfrac{a-x}{M} ,x < a \\ 1 ,a <= x <= b\\ 1- \tfrac{x-b}{M} ,x > b \end{cases}$

第二步: 将正向化转换成标准化：假设有n个要评价的对象，m个指标参数（都已经正向化），构成的正向化矩阵为：$X = \begin{bmatrix} x_{11} & ... & x_{1m} \\ x_{21} & ... & x_{2m} \\ ... & ... & ... \\ x_{n1} & ... & x_{nm} \\ \end{bmatrix}$，那么标准化后的矩阵记为Z，Z中的每一个元素：
$z_{ij}= x_{ij}/\sqrt{\displaystyle\sum_{j=1}^mx_{ij}^2}$$每一个元素/\sqrt{其所在列的平方和}$

第三步： 计算得分并归一化。
这就是TOPSIS的流程~

补充：基于熵权法对TOPSIS模型的修正

由于层次分析法的主观性影响太大，所以我们利用熵权法（一种客观客观赋权的方法）。
什么是熵权法：

按照信息论基本原理的解释，信息是系统有序程度的一个度量，熵是系统无序程度的一个度量；如果指标的信息熵越大，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所起作用理当越大，权重就应该越高。因此，可利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据。

这里的信息熵我们看作是方差，方差越大，波动程度越大，意味着权重也就越大。

越可能发生的事情，信息量越小；
越不可能发生的事情，信息量就越大。

熵权法的计算步骤

1.判断输入的矩阵中是否存在负数，如果有则要重新标准化到非负区间（后面计算概率时要保证每一个元素为非负数）
$Z_(ij) = \tfrac{x_(ij)-min(x_(ij))}{max(x_(ij))-min(x_(ij))}$
2.计算第j项指标下第i个样本所占的权重，并将其看作相对熵计算所用到的概率。
$\widetilde Z = \begin{bmatrix} \widetilde z_{11} & ... &\widetilde z_{1m} \\ \widetilde z_{21} & ... &\widetilde z_{2m} \\ ... & ... & ... \\ \widetilde z_{n1} & ... &\widetilde z_{nm} \\ \end{bmatrix}$
$p_{ij} = \widetilde z_{ij}/\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^n\widetilde z_{ij}}$
保证了每一个概率之和相加为1.
3.计算每个指标的信息熵，并计算信息效用值，并归一化得到每一个指标的熵权。对于第j个指标而言，其信息熵的计算公式为：
$e_j = - \tfrac{1}{lnn}\sum_{i=1}^np_{ij}ln(p_{ij})$
$e_j$越大，所代表第j个指标的信息熵越大，信息熵越大他本身所包含的信息量就越少，就像前面例子所说，每次考试都考第一名高考一定会考上清华，毋庸置疑，大家是一定相信的，所以包含的信息相对少；而吊车尾突然考上清华，大家就会猜测，他是怎么考上的呢？这里包含的信息量就相对大。
信息效用值：$d_j = 1 - e_j$信息效用值越大，其对应所含的信息就越多。将信息效用值进行归一化，我们就能得到每一个指标的熵权：$W_j = d_j /\displaystyle\sum_{j=1}^md_j （j = 1,2,3...）$

熵权法的依据原理

指标的变异程度越小，所反映的信息量也越少，其对应的权值也相应越低。

来源：CSDN

作者：南山吖

链接：https://blog.csdn.net/weixin_40630429/article/details/104561935