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一、Why & What 正则化
我们总会在各种地方遇到正则化这个看起来很难理解的名词，其实它并没有那么高冷，是很好理解的
首先，从使用正则化解决了一个什么问题的角度来看：正则化是为了防止过拟合， 进而增强泛化能力。用白话文转义，泛化误差（generalization error）= 测试误差（test error），其实就是使用训练数据训练的模型在测试集上的表现（或说性能 performance）好不好
如上图，红色这条“想象力”过于丰富上下横跳的曲线就是过拟合情形。结合上图和正则化的英文 Regularizaiton-Regular-Regularize，直译应该是：规则化（加个“化”字变动词，自豪一下中文还是强）。什么是规则？你妈喊你6点前回家吃饭，这就是规则，一个限制。同理，在这里，规则化就是说给需要训练的目标函数加上一些规则（限制），让他们不要自我膨胀。正则化，看起来，挺不好理解的，追其根源，还是“正则”这两字在中文中实在没有一个直观的对应，如果能翻译成规则化，更好理解。但我们一定要明白，搞学术，概念名词的准确是十分重要，对于一个重要唯一确定的概念，为它安上一个不会产生歧义的名词是必须的，正则化的名称没毛病，只是从如何理解的角度，要灵活和类比。
1 概念
正则化的值是模型参数中非零参数的个数。- 正则化表示各个参数绝对值之和。
- 正则化标识各个参数的平方的和的开方值。
2、先讨论几个问题：
1）实现参数的稀疏有什么好处吗？
一个好处是可以简化模型，避免过拟合。因为一个模型中真正重要的参数可能并不多，如果考虑所有的参数起作用，那么可以对训练数据可以预测的很好，但是对测试数据表现性能极差。另一个好处是参数变少可以使整个模型获得更好的可解释性。
2）参数值越小代表模型越简单吗？
是的。为什么参数越小，说明模型越简单呢，这是因为越复杂的模型，越是会尝试对所有的样本进行拟合，甚至包括一些异常样本点，这就容易造成在较小的区间里预测值产生较大的波动，这种较大的波动也反映了在这个区间里的导数很大，而只有较大的参数值才能产生较大的导数。因此复杂的模型，其参数值会比较大。
3）
正则化
根据上面的讨论，稀疏的参数可以防止过拟合，因此用
范数（非零参数的个数）来做正则化项是可以防止过拟合的。
从直观上看，利用非零参数的个数，可以很好的来选择特征，实现特征稀疏的效果，具体操作时选择参数非零的特征即可。但因为
正则化很难求解，是个NP难问题，因此一般采用
正则化。正则化是正则化的最优凸近似，比容易求解，并且也可以实现稀疏的效果。
4)
正则化
L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：
C0代表原始的代价函数，后面那一项就是
正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外还有一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与1/2相乘刚好凑整。
L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：
可以发现
正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:
在不使用
正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 
，因为η、λ、n都是正的，所以 1-ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。
到目前为止，我们只是解释了
正则化项有让w“变小”的效果，但是还没解释为什么w“变小”可以防止overfitting？人们普遍认为：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀）。而在实际应用中，也验证了这一点，正则化的效果往往好于未经正则化的效果。
5) L1 regularization
在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项，即所有权重w的绝对值的和，乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，需要再乘以1/2）
同样先计算导数：
上式中sgn(w)表示w的符号。那么权重w的更新规则为：比原始的更新规则多出了η * λ * sgn(w)/n这一项。当w为正时，更新后的w变小。当w为负时，更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。
二、一般正则项
直观的详解为什么要选择二次正则项。首先，需要从一般推特例，然后分析特例情况的互相优劣条件，可洞若观火。一般正则项是以下公式的形式
M是模型的阶次（表现形式是数据的维度），比如M=2，就是一个平面（二维）内的点
若q=2就是二次正则项。高维度没有图像表征非常难以理解，那就使用二维作为特例来理解。这里令M=2，即 x={x1,x2} w={w1,w2}x={x1,x2}w={w1,w2} ，令q=0.5 q=1 q=2 q=4 有
下方的三维图像能给你一个直观的领悟（与绿线图一一对应）
q=2是一个圆非常好理解，考虑 z=w21+w22z=w12+w22 就是抛物面，俯视图是一个圆。其他几项同理（必须强调俯视图和等高线的概念，z轴表示的是正则项项的值）
蓝色的圆圈表示没有经过限制的损失函数在寻找最小值过程中，w的不断迭代（随最小二乘法，最终目的还是使损失函数最小）变化情况，表示的方法是等高线，z轴的值就是 E(w)
w∗ 最小值取到的点
可以直观的理解为（帮助理解正则化），我们的目标函数（误差函数）就是求蓝圈+红圈的和的最小值（回想等高线的概念并参照式），而这个值通在很多情况下是两个曲面相交的地方
可以看到二次正则项的优势，处处可导，方便计算，限制模型的复杂度，即 w中M的大小，M是模型的阶次，M越大意味着需要决定的权重越多，所以模型越复杂。在多项式模型多，直观理解是每一个不同幂次的 x前的系数，0（或很小的值）越多，模型越简单。这就从数学角度解释了，为什么正则化（规则化）可以限制模型的复杂度，进而避免过拟合
不知道有没有人发现一次正则项的优势，w∗ 的位置恰好是 w1=0的位置，意味着从另一种角度来说，使用一次正则项可以降低维度（降低模型复杂度，防止过拟合）二次正则项也做到了这一点，但是一次正则项做的更加彻底，更稀疏。不幸的是，一次正则项有拐点，不是处处可微，给计算带来了难度，很多厉害的论文都是巧妙的使用了一次正则项写出来的，效果十分强大
三、深入理解
为了使得模型能够充分拟合训练样本点，我们希望上述目标函数C0=L(W)的值尽可能小，即：
（1） 但是由于实际中的训练数据量往往并不大，如果让模型完美拟合训练数据的话，很可能造成模型过拟合，从而使得模型的泛化能力较差。这一点可以从得到的模型参数向量w的各个分量中看出，其中大部分分量的绝对值都非常大，这种现象直观表现在图上就是曲线（曲面）不光滑，凹凸不平，很复杂；相反，如果w的各个分量的绝对值都很小，在0附近，那么曲线（曲面）就会显得很平滑。很显然，在机器学习中，我们更希望拟合出的曲线（曲面）更为平滑，因为这样的曲线（曲面）是具有较好的泛化能力的。那么如何将w各个分量的绝对值降低呢？这就要用到正则化技术了。在用正则化技术估计参数w时，引入了我们对参数的先验认知，即我们认为参数的绝对值应该很小。
正则化技术就是使得式（1）的值尽可能小，与此同时，要保证||w||的值也尽可能小，即：
（2）
在上式中，优化函数的目标变成了两个，w的取值不仅要使得L(w)的值最小，也要使得||w||的值最小。从上式我们可以看出，一方面要使得L(w)的取值最小，必然w的绝对值会取到很大，这样模型才能完美拟合训练样本点；另一方面，当w的绝对值很大时，||w||的值又会变得很大，因此为了权衡，只有使得w取值适当，才能保证式（2）的值取到最优。这样得到的曲线（曲面）比式（1）得到的曲线（曲面）平滑很多，因此具有泛化能力。值得注意的是，式中的t是L(w)与||w||之间的一个trade-off，如果t过大，那么表明对模型参数w的惩罚越狠，这样就会导致更多的W取0（当t很大时，由于目标函数是min,逼得只有W取0，才会使目标函数不至于太大），这样得到的模型处于欠拟合状态，如果t过小，那么表明对模型参数w的惩罚越小（理解的思路相同），这样得到的模型处于过拟合状态，只有选择合适的t，才能使得到的模型具有很好地泛化能力。关于如何选择t的值，工程上一般采取交叉验证的方式来确定一个较合理的t。
我们先来看L2正则化。
（3）
式中，||w||2为w的2范式，平方是为了求解的方便。
我们来看看L2正则化的性质。
1.从式（3）中可以看出，L2正则化对于绝对值较大的权重予以很重的惩罚，对于绝对值很小的权重予以非常非常小的惩罚，当权重绝对值趋近于0时，基本不惩罚。这个性质与L2的平方项有关系，即越大的数，其平方越大，越小的数，比如小于1的数，其平方反而越小。
2.从贝叶斯推导的角度看，我们可以认为式（3）中的第二项为参数w的一个均值为0的高斯先验分布，即，w~N(0,
)。这也符合我们对于参数w的先验认知：w的绝对值不是很大。
3.从性质2可知，既然w的先验分布服从高斯分布，那么L2正则化的作用实际上就是使得参数向量w的大部分分量的值趋近于0，而不是等于0。这一点在处理具有共线性特征的特征集时非常重要，也是L2在这种情况下胜过L1的原因。
4.由于式（3）是个凸函数，并且函数可微，因此w的值具有解析解：
从解的解析表达式可以看出，w的求解不需要对X-1是否存在作任何假设，因为I为单位矩阵，因此解析式中的逆始终存在。
接下来我们看看L1正则化。
随着海量数据处理的兴起，工程上对于模型稀疏化的要求也随之出现了。这时候，L2正则化已经不能满足需求，因为它只是使得模型的参数值趋近于0，而不是等于0，这样就无法丢掉模型里的任何一个特征，因此无法做到稀疏化。这时，L1的作用随之显现。L1正则化的作用是使得大部分模型参数的值等于0，这样一来，当模型训练好后，这些权值等于0的特征可以省去，从而达到稀疏化的目的，也节省了存储的空间，因为在计算时，值为0的特征都可以不用存储了。
（4）
（4）式中||w||1为w的1范式，即
同样，我们来看看L1正则化的性质。
1. 从式（4）中可以看出，L1正则化对于所有权重予以同样的惩罚，也就是说，不管模型参数的大小，对它们都施加同等力度的惩罚，因此，较小的权重在被惩罚后，就会变成0。因此，在经过L1正则化后，大量模型参数的值变为0或趋近于0，当然也有一部分参数的值飙得很高（这一点在性质2解释）。由于大量模型参数变为0，这些参数就不会出现在最终的模型中，因此达到了稀疏化的作用，这也说明了L1正则化自带特征选择的功能，这一点十分有用。
2.从贝叶斯推导的角度看，我们可以认为式（4）中的第二项为参数w的一个均值为0的拉普拉斯先验分布。从高斯概率密度函数和拉普拉斯概率密度函数的图形中可以看出，拉普拉斯概率密度函数的截尾比高斯概率密度函数的截尾更长，也就是说L1正则化更能够接受绝对值较大的参数值。
3.从性质2可知，既然拉普拉斯分布比高斯分布有更长的截尾，那么可以推知L1正则化的鲁棒性要好于L2正则化，也就是说，L1正则化对于绝对值较大的参数没有L2正则化那么敏感，从而能够容忍一些这样的参数留下。
4.由1范式的定义可知，L1正则化在任意权值为0的时候不可导，因此式（4）不能求出w的解析解，同时，基于梯度的优化算法也无法高效地计算出w的值，因此对于L1正则化，一般可以采取坐标下降法求解。
L1正则化和L2正则化在实际应用中的比较。
L1在确实需要稀疏化模型的场景下，才能发挥很好的作用并且效果远胜于L2。在模型特征个数远大于训练样本数的情况下，如果我们事先知道模型的特征中只有少量相关特征（即参数值不为0），并且相关特征的个数少于训练样本数，那么L1的效果远好于L2。比如在文本分类中，如果我们将一篇文章的所有词语作为它的特征，那么很显然，其中绝大部分特征是无关特征，只有很少量的特征是相关特征。这时，如果我们将每篇文章作为训练样本，直接扔进L1正则化的模型，那么可以通过L1的稀疏化性质去掉无关特征，只留下相关特征。从而L1在这里起到了特征选择的作用，也就省去了特征工程这一步，因为特征工程往往还是需要人工干预的，L1的做法则直接让数据说话，避免人工干预。然而，如果模型的特征服从高斯分布，那么从贝叶斯的观点来看，即便特征数远超训练样本数，L2也要优于L1。
然而，需要注意的是，当相关特征数远大于训练样本数时，无论是L1还是L2，都无法取得很好的效果。
从上面的观点可以看出，L1似乎总是好于L2，那么L2还有什么存在的价值呢？然而在实际工程中，L1不总是像万金油一样，随处可用。对于上面文本分类的例子，结合我实际的工程经验谈谈L1的弊端。
在最开始做文本分类的时候，我也是依然毫不犹豫地选择了L1来做特征选择，以此训练出分类模型，但得到的分类模型效果却不尽如人意，训练误差和泛化误差都较高。后来经过分析得知，在进行模型训练时，没有对数据的特征作分析，而盲目地运用L1正则化，从而导致失败。在经过分析后发现，训练数据里的特征很多是共线性的，比方说，有几个特征的共线性很高，并且它们对于分类都很重要，这时L1的做法是随机选择其中一个特征，而扔掉其它的特征。试想，如果训练数据中有很多这样类似的特征，那么经过L1正则化后的模型将会失去很多有用的特征，进而导致模型误差较大。这个时候，我们不得不选择L2正则化了，但由于L2正则化在面对大量无关特征并且特征不是由高斯分布产生时，误差依然很大，因此我们需要在训练模型之前，先进行特征选择，然后再用L2正则化，L2正则化的特点是，在面对几个存在共线性的特征时，它会将权值平分给这些特征，从而使得这些有用的特征都得以留下，从而改进了文本分类的准确率。
也许读者认为，加入了特征工程的L2正则化稍显麻烦，确实是这样的。实践中也可以采取L1+L2结合的方式，即elastic net。这种方式同时兼顾特征选择（L1）和权重衰减（L2）。其公式如下
（6） 
上式中，t为正则项与L(w)之间的trade-off系数，和之前的描述一致，p是elastic net里独有的参数，它是L1和L2之间的一个trade-off，如果p为0，那么上式退化为L2正则化，如果p为1，那么上式退化为L1正则化。所以当p取值为0到1时（不包含端点），上式兼顾了L1和L2的特点。又由于L1为1范式，L2为2范式，那么elastic net就介于1范式和2范式之间。
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