题目描述：
有 N 个任务排成一个序列在一台机器上等待执行，它们的顺序不得改变。
机器会把这 N 个任务分成若干批，每一批包含连续的若干个任务。
从时刻0开始，任务被分批加工，执行第 i 个任务所需的时间是 Ti。
另外，在每批任务开始前，机器需要 S 的启动时间，故执行一批任务所需的时间是启动时间 S 加上每个任务所需时间之和。
一个任务执行后，将在机器中稍作等待，直至该批任务全部执行完毕。
也就是说，同一批任务将在同一时刻完成。
每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 Ci。
请为机器规划一个分组方案，使得总费用最小。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含整数 S。
接下来N行每行有一对整数，分别为 Ti 和 Ci，表示第 i 个任务单独完成所需的时间 Ti 及其费用系数 Ci。
输出格式
输出一个整数，表示最小总费用。
数据范围
1≤N≤3∗10^5,
1≤Ti,Ci≤512,
0≤S≤512
输入样例：
5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4
输出样例：
153
分析：
在AcWing 300 任务安排1中，我们使用了费用提前计算的技巧，实现了本题平方级别的算法，对于本题增加的数据范围，显然平方级别的算法不足以解决问题，我们在上一题中推导出了本题的状态转移方程f[i] = min(f[j] + (sc[i] - sc[j])*st[i] + (sc[n] - sc[j])*S)，现在需要想办法在线性的时间内解决本题。
本题需要使用斜率优化DP，又被称为凸包（凸壳）优化。虽然说最后的结果不是很复杂，但是没有接触过凸包的情况下，想要理解本题，还是比较困难的。所以，先引入几个有关凸包的概念。先看下凸包的定义：
凸包(Convex Hull)是一个计算几何(图形学)中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。
正如最后一句话所说，在一个点集中，外层的点构成的包含所有点集中的点的凸多边形就是凸包。
如上图所示，点集中外层的点构成的凸多边形就构成了能够包含所有点的凸包，其中连接相邻顶点构成的边越来越平缓，或者说斜率越来越小构成的一组点叫做上凸壳，而相邻的边，斜率越来越大的一组点叫做下凸壳。本题主要考虑的是下凸壳。
如图所示，开始只有顶点AB构成的凸包，然后加入第三点C1，显然BC1的斜率是高于AB的，因此AB，BC1构成了一个下凸壳；但是如果新加的点不是C1而是C2，BC2的斜率小于AB，那么AB和BC2就不能构成下凸壳了，因为不能作为点集的下边界，不能包含在AB下面却在AC2上面的点，因此，加入C2后，AC2将成为下凸壳新的边界了，因此，对于平面上的三点A(x1,y1),B(c2,y2),C(c3,y3)，并且x1 < x2 < x3,y1 < y2 < y3。AB与BC能够作为凸包当且仅当AB的斜率要小于BC的斜率。
上面介绍的知识现在看还是看不出与本题的关联的，但是马上就会用到了，本题的求解步骤类似于凸包的Graham扫描法。对于状态转移方程f[i] = min(f[j] + (sc[i] - sc[j])*st[i] + (sc[n] - sc[j])*S)，对能够使f[i]最小的j，有f[i] = f[j] + (sc[i] - sc[j])*st[i] + (sc[n] - sc[j])*S，由于在求f[i]时，sc[i],sc[j],S都是已知量，对式子做下简单变形，得到f[j] = (st[i] + S) * sc[j] + f[i] - sc[i] * st[i] - sc[n] * S，可以发现 - sc[i] * st[i] - sc[n] * S是常数，f[j]和sc[j]是变量，我们需要做的是，找到合适的j，使得f[i]最小，将f[j]看作y，sc[j]看作x，st[i] + S看作k，f[i] - sc[i] * st[i] - sc[n] * S看作b，式子就化作了y = kx + b这样简单的一次函数，f[i]最小时，截距也最小，所以问题就转化为了在所有(sc[j],f[j])构成的点集中，找到一条斜率为st[i] + S的直线，使得截距最小。
如图所示，我们用一条斜率为k = st[i] + S的直线不断往上移动，最先碰到点集中的点时，此时的截距最小，f[i]也最小。可以确定的是，最先碰到的一定是凸多边形边界的顶点，而不会是凸包内部包含的点，所以，凸包以外的点可以排除了。现在，需要确定的是，使得截距最小的到底是凸包上的哪一点，图中直线上移最先遇见的显然是B点，那在什么情况下最先遇见的不是AC而是B点呢，只需要AB的斜率小于k，BC的斜率大于k即可，也就说，我们需要维护一个队列，自队头到队尾斜率递增，我们从头遍历队列，最先遇见大于k的斜率的端点就是所求的j点。我们在遍历i的时候逐步的去求f[i]，求f[i]的时候用到了0到i-1，也就说所有的j，每次求出了i也需要将i作为i + 1状态中j的候选者加入到点集中，也就说，上图中的点集分别是(sc[0],f[0])，(sc[1],f[1])，...，由于sc是前缀和，而且c数组都是整数，所以随着i的增加，新加入的(sc[j],f[j])一定是横纵坐标都超过之前的点的，我们需要不停的向点集中添加横纵坐标都增加的点，并且更新加入新点后点集的凸包，还记得开始我们提过的结论：对于平面上的三点A(x1,y1),B(c2,y2),C(c3,y3)，并且x1 < x2 < x3,y1 < y2 < y3。AB与BC能够作为凸包当且仅当AB的斜率要小于BC的斜率。也就说，原本凸包上有AB构成的边，加入C后，要想BC也作为凸包的边界，只需要BC的斜率大于AB，否则，就要删除B点，因为AC肯定在B点的下方，B不能作为凸包的边界了。
整理下思路，我们遍历i的时候，相当于不断的往点集中加点，并且更新凸包，在求f[i]时，只需要找到凸包中第一个大于k的斜率即可，由于凸包的边的斜率自左向右是递增的，所以我们可以维护一个队列，队头的斜率最小，并且自队头向队尾斜率是递增的。我们还需要注意求f[i]时候的k = st[i] + S，随着i的增加k也在增加，所以队列中小于k的斜率肯定也小于后面的k，不可能成为最优解的，所以在遍历队列找第一个大于k的斜率时可以将小于k的斜率都删掉。另外，为了维护队列的单调性，插入新点(sc[i],f[i])时，如果该点与之前相邻点的斜率不是高于之前队尾的斜率的，就要将队尾的斜率出队，踢出凸包的点集，直至找到一个合适的位置再插入队列。
最后只剩下一步，就是将上面单调队列的思路实现为具体的代码。单调队列中存储的必然是点的编号i，其代表的斜率应该与其更接近队尾的相邻的点构成的斜率，所以初始情况下队头应该有个哨兵节点0，后面要考虑的就是何时出队头，何时出队尾了。
出队头一方面是为了自小到大找到第一个大于k的斜率，另一方面是为了删掉小于k的斜率，一条线至少有两个点构成，所以只有队列中有不少于两个点的情况下才能出队头，队头存储的是(sc[q[hh]],f[q[hh]])，与后一个点(sc[q[hh]+1],f[q[hh]+1])构成的斜率是(f[q[hh]+1] - f[q[hh]]) / (sc[q[hh]+1] - sc[q[hh]])，当该斜率小于st[i] + S时就要出队头考虑下一个斜率，为了避免除法实现时需要变形下改为乘法。
出完队头就找到了最优解j，开始更新f[i]，任何就是将(sc[i],f[i])加入队列，同样是需要比较斜率大小，将该点放在合适的位置使得队列斜率递增，当(f[i] - f[q[tt]]) / (sc[i] - sc[q[tt]]) > (f[q[tt]] - f[q[tt]-1]) / (sc[q[tt]] - sc[q[tt]-1])时才能加入到队尾。
另外，由于计算过程中的乘法可能会爆int，所以本题的数组定义为long long类型。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 300005;
typedef long long ll;
ll f[N],t[N],c[N];
int q[N];
int main(){
int n,s;
scanf("%d%d",&n,&s);
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%d%d",&t[i],&c[i]);
t[i] += t[i-1],c[i] += c[i-1];
}
int hh = 0,tt = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
while(hh < tt && f[q[hh+1]]-f[q[hh]]<=(t[i]+s)*(c[q[hh+1]]-c[q[hh]])) hh++;
f[i] = f[q[hh]] - (t[i] + s) * c[q[hh]] + c[i] * t[i] + s * c[n];
while(hh < tt && (f[q[tt]]-f[q[tt - 1]])*(c[i]-c[q[tt]]) >= (f[i]-f[q[tt]])*(c[q[tt]]-c[q[tt - 1]])) tt--;
q[++tt] = i;
}
printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}
来源：CSDN
作者：昂昂累世士
链接：https://blog.csdn.net/qq_30277239/article/details/104639144