算法分析与设计

最小生成树 kruskal算法

问题描述：

一个带权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E，任选一些点∈V，边∈E，这些点，边构成的新图连通性不变并且边权最小。
下面是百度百科给出的描述：
在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得在这里插入图片描述的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

算法思路：

kruskal:
假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。
具体步骤可以参照下面的样例
在这里插入图片描述
假设有m条边，将所给出的m条边的权值从小到大排序，从小的边开始建树，如果这条边的两端定点没有处于一棵树中，那么就将这两端顶点的树合并。否则就跳过这条边，直到构成一颗最小生成树。
如图2 所示AB边为权值最小的边之一，将AB顶点构成一颗树。图3同上。权值第三小的边是AE，但是由于AE处于一棵树中，所以遍历下一条边，如图4所示。接下来的步骤同上，直到构成图6所示最小生成树。

核心伪代码：

kruskal{
	sort(E+1,E+m+1)
	for i <-1 to m 1.do 
	从小到大遍历边，将不属于一棵树的两个顶点放在一个并查集中，重复下去，直至构成MST。 
	end
}

时间复杂度：

kruskal算法中主要对m条边进行排序，sort的话时间复杂度是O(mlogm)，遍历m条边复杂度为O(m)综上分析得到算法复杂度为O(mlogm)。

源码：

github：https://github.com/SpiritDemon-max/myText/blob/master/kruskal.cpp

来源：CSDN

作者：Erwin_Cat

链接：https://blog.csdn.net/Erwin_Cat/article/details/104582369

标签

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算法分析与设计 MST kruskal