二叉排序树结点的插入与删除操作

一二叉排序树的性质

二叉排序树，又称二叉搜索树，它最重要的性质就是：根结点左子树中所有结点的值均小于根结点值，右子树中所有结点的值都大于根结点的值，所以我们在中序遍历这棵二叉树时，将会得到一个升序序列，这也是我们验证二叉排序树的一个手段。
对应的数据结构定义为：

typedef struct Node {  //一个数据域和左右两个指针域
    int data;
    struct Node *lchild, *rchild;
} Node;

二叉排序树

二二叉树结点的插入

首先将待插入结点的值与根结点的值作比较，若val == root->data，此时我们直接返回当前root指针，因为我们规定，二叉排序树中不存在值相同的结点。
若待插入结点的值小于根结点的值，此时我们应该进入根结点的左子树
若待插入结点的值大于根结点的值，此时我们应该进入根结点的右子树
若指针为空，此时我们根据传入的值创建结点，并返回创建的结点指针

Node *getNewNode(int val) {
    Node *node = (Node *)malloc(sizeof(Node));
    node->data = val;
    node->lchild = node->rchild = NULL;
    return node;
}
//参数：二叉搜索树的根结点以及插入的值
//返回值：插入后二叉树的根结点
Node *insert(Node *root, int val) {
    if (!root) return getNewNode(val);
    if (val == root->data) return root;
    else if (val < root->data) {
        root->lchild = insert(root->lchild, val);
    } else {
        root->rchild = insert(root->rchild, val);
    }
    return root;
}

三二叉树结点的删除

其实排序二叉树结点的插入很容易，但是结点的删除却并不是这样的简单了，因为当我们删除结点之后，我们需要妥善的处理这个结点左右子树中的结点，使得整个二叉排序树的升序的性质不会被破坏，那我们应该怎么做呢？似乎很难！
我们将问题进行分解，我们知道二叉树中结点可以根据出度进行划分为：度为0的结点 (也就是叶子结点)、度为1的结点、度为2的结点。

首先我们来讨论度为0和1结点
对于度为0的结点，因为没有子结点，所以我们可以直接删除（一个人在世上，走了就是走了，没有家眷需要安排）
对于度为1的结点，我们假设是它是它父亲结点的左孩子，那么不论是它的左孩子还是他的右孩子，都要比它父亲结点的值要小，所以我们可以直接将它的左孩子 (或者是右孩子，注意这是度为1的结点，所以要么是左孩子要么是右孩子) 顶替自己的位置，成为它父亲结点的子孩子；同理若它是它父结点的右孩子，那么不论是它的左孩子还是他的右孩子，都要比它父亲结点的值要大，我们同样可以子结点二选一，顶替自己的位置。
度为2的结点
讨论了删除度为0和1的结点，现在我们来想一想如何删除度为2的结点？
我们来看这样一副图：

如上图所示：我们现在要删除的是值为20的结点，也就是整个树的根结点，此时我们的目光不仅转移到值为19和28的这两个结点，因为这两个结点的值，是最靠近20的。我们可以用19或者是28结点来顶替20结点，之后再进行调整。
其实值为19和28的结点，在二叉树的中序线索化中是20结点的前驱和后继结点（一个结点的前驱结点和后继结点的找寻大家需要知道，前驱结点是这个结点左子树右分支尽头的那个结点，后继结点是右子树左分支尽头的那个结点），现在假设我们使用前驱结点也就是19结点，我们可以找到交换19和20的值，也就是交换该结点和前驱结点俄数值域，之后，我们显然需要在左子树中删除原来的19结点，我们不难知道值为19的结点一定是度为0或者是度为1的结点，为什么？很简单，因为如果他还是度为2的结点，那这个结点一定不是左子树右分支的尽头的那个结点，与前驱结点的定义不满足。
至此，我们将删除度为2的结点问题转换为删除度为0或1的结点的问题！
代码实现：

Node *get_pre_node(Node *root) {  //返回root结点的前驱结点
    Node *ret = root->lchild;
    while (ret->rchild) ret = ret->rchild;
    return ret;
}

Node *erase(Node *root, int val) {
    if (!root) return root;
    if (val < root->data) root->lchild = erase(root->lchild, val);
    else if (val > root->data) root->rchild = erase(root->rchild, val);
    else {
        if (!root->lchild || !root->rchild) {		//若待删除结点是度为0或1的结点
            Node *tmp = root->lchild ? root->lchild : root->rchild;
            free(root);
            return tmp;
        } else {  //待删除的结点是度为2的结点
            Node *tmp = get_pre_node(root);  //找到前驱结点
            root->data = tmp->data;  //交换前驱结点和待删除结点的值
            root->lchild = erase(root->lchild, tmp->data);  //递归删除前驱结点
        }
    }
    return root;
}

四总代码

程序中我们规定：输入：1 val 表示向二叉排序树中插入值为val的结点，2 val表示删除值为val的结点
为了验证二叉排序树是否正确，我们采用中序遍历的方式，若中序序列始终升序，说明没问题
本内容只包含二叉排序树的插入和删除结点的操作，若看官对二叉树的其他基本操作感兴趣的化，可以查看小编的另外一片博客二叉树的构建、遍历、转广义表等基本操作

#include <iostream>
using namespace std;

typedef struct Node {
    int data;
    struct Node *lchild, *rchild;
} Node;

Node *getNewNode(int val) {
    Node *node = (Node *)malloc(sizeof(Node));
    node->data = val;
    node->lchild = node->rchild = NULL;
    return node;
}

Node *insert(Node *root, int val) {
    if (!root) return getNewNode(val);
    if (val == root->data) return root;
    else if (val < root->data) {
        root->lchild = insert(root->lchild, val);
    } else {
        root->rchild = insert(root->rchild, val);
    }
    return root;
}

Node *get_pre_node(Node *root) {
    Node *ret = root->lchild;
    while (ret->rchild) ret = ret->rchild;
    return ret;
}

Node *erase(Node *root, int val) {
    if (!root) return root;
    if (val < root->data) root->lchild = erase(root->lchild, val);
    else if (val > root->data) root->rchild = erase(root->rchild, val);
    else {
        if (!root->lchild || !root->rchild) {
            Node *tmp = root->lchild ? root->lchild : root->rchild;
            free(root);
            return tmp;
        } else {
            Node *tmp = get_pre_node(root);
            root->data = tmp->data;
            root->lchild = erase(root->lchild, tmp->data);
        }
    }
    return root;
}

void in_order_1(Node *root) {
    if (!root) return ;
    in_order_1(root->lchild);
    printf("%d ", root->data);
    in_order_1(root->rchild);
}
void in_order(Node *root) {
    if (!root) return ;
    printf("in_order: ");
    in_order_1(root);
    printf("\n");
}


void clear(Node *root) {
    if (!root) return ;
    clear(root->lchild);
    clear(root->rchild);
    free(root);
}


int main() {
    Node *root = NULL;
    int op, data;
    while (~scanf("%d %d", &op, &data)) {
        switch (op) {
            case 1: {
                printf("insert %d into binary_sort_tree\n", data);
                root = insert(root, data);
                break;
            }
            case 2: {
                printf("erase %d from binary_search_tree\n", data);
                root = erase(root, data);
                break;
            }
            default: printf("input wrong\n");
        }
        in_order(root);
    }
    clear(root);
    return 0;
}

/*运行结果如下：
1 20
insert 20 into binary_sort_tree
in_order: 20 
1 10
insert 10 into binary_sort_tree
in_order: 10 20 
1 30
insert 30 into binary_sort_tree
in_order: 10 20 30 
1 15
insert 15 into binary_sort_tree
in_order: 10 15 20 30 
1 5
insert 5 into binary_sort_tree
in_order: 5 10 15 20 30 
1 25
insert 25 into binary_sort_tree
in_order: 5 10 15 20 25 30 
1 35
insert 35 into binary_sort_tree
in_order: 5 10 15 20 25 30 35 
2 20
erase 20 from binary_search_tree
in_order: 5 10 15 25 30 35 
2 30
erase 30 from binary_search_tree
in_order: 5 10 15 25 35
*/

五题外话

码字不易，如果看官觉得写的还不错，可以点个赞吗？您的赞许，是对小编最大的鼓励！
加油，路漫漫其修远兮，吾将天天敲代码，与君共勉。
武汉加油！中国加油！

来源：CSDN

作者：qq_1927157164

链接：https://blog.csdn.net/DRZ_2000/article/details/104540436

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