主席树--动态区间第\(k\)小
模板题在这里洛谷2617。
先对几个问题做一个总结:
阅读本文需要有主席树的基础,也就是通过区间kth的模板题。
静态整体kth:
sort一下找第k小,时间复杂度\(O(nlogn)\)。
动态整体kth:
权值线段树维护一下,时间复杂度\(O(nlogn)\)。
静态区间kth:
主席树维护,时间复杂度\(O(nlogn)\)。
动态区间kth:
就是本次的标题。
回忆一下主席树是如何维护静态区间kth的。
建立可持久化线段树后,利用前缀和的思想查询区间的kth。
所以我们想对区间kth带修改操作,前缀和是关键。
我们在维护普通前缀和,支持查询和修改操作时,用的是什么数据结构呢?
- 树状数组/线段树。
所以这时候我们大致有一个概念了,动态主席树和主席树在数据结构上已经多少有点不一样了。
- 动态主席树:树套树。
- 静态主席树:可持久化权值线段树。
怎么套是一个问题,但简单想想可以发现,我们在外层维护一颗树状数组,树状数组的每个节点(内层)维护权值线段树(的根节点),可以解决这个问题。
- 修操作:
- 如果将一个位置的数字\(a_i=x\)修改为\(y\),那么在外层树状数组上,我们需要修改\(logn\)个节点,同时对于每个节点(代表了一颗权值线段树),分别有\(logn\)个节点受影响,所以修改复杂度为\(O((logn)^2)\)。
- 查操作:
- 对于每次\([L,R]\)之间的查询,我们先提取这区间的\(logn\)个根节点,然后将问题转换为静态主席树求区间第\(k\)小。
- 时间复杂度为\(O((logn)^2)\)。
所以总的算下来时间复杂度在\(O(n(logn)^2)\)上。
接下来解决一下空间的问题。
我们知道线段树的空间复杂度是\(O(4n)\)的,也就是\(O(n)\),树状数组的复杂度为\(O(n)\),那么如此算下来空间复杂度达到了\(O(n^2)\)。
思考一下怎么优化?
我们刚刚计算的空间复杂度,基于对每个节点都把完整的权值线段树开出来。
我们查询/修改操作的规模是\((logn)^2\)级别的。
那是不是可以动态开点。
对于我们能访问到的节点创立节点,对于不能访问到的,就不管了。
附\(luogu2617\)代码。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1e5+10; int n, m, a[maxn], b[maxn<<1], len; struct Query { int op; int i, j, k; }q[maxn]; //1e5的log大概在20左右 20*20=400 int sum[maxn*400]; int ls[maxn*400]; int rs[maxn*400]; int rt[maxn*400]; int tot; void update_SgT(int &rt, int l, int r, int x, int val) { if(!rt) rt = ++tot; if(l == r) { sum[rt] += val; return; } int mid = (l+r) >> 1; if(x <= mid) update_SgT(ls[rt], l, mid, x, val); else update_SgT(rs[rt], mid+1, r, x, val); sum[rt] = sum[ls[rt]] + sum[rs[rt]]; } inline int lowbit(int x){ return x&(-x); } void update_BIT(int pos, int x, int val) { for(int i = pos; i <= n; i += lowbit(i)) update_SgT(rt[i], 1, len, x, val); } ///提取区间线段树的根节点 int rt1[maxn], rt2[maxn], cnt1, cnt2; void locate(int l, int r) { cnt1 = cnt2 = 0; for(int i = l-1; i; i -= lowbit(i)) rt1[++cnt1] = rt[i]; for(int i = r; i; i -= lowbit(i)) rt2[++cnt2] = rt[i]; } int ask(int l, int r, int k) { if(l == r) return l; int mid = (l+r) >> 1; int suml = 0; for(int i = 1; i <= cnt1; i++) suml -= sum[ls[rt1[i]]]; for(int i = 1; i <= cnt2; i++) suml += sum[ls[rt2[i]]]; if(suml >= k) { for(int i = 1; i <= cnt1; i++) rt1[i] = ls[rt1[i]]; for(int i = 1; i <= cnt2; i++) rt2[i] = ls[rt2[i]]; return ask(l, mid, k); } else { for(int i = 1; i <= cnt1; i++) rt1[i] = rs[rt1[i]]; for(int i = 1; i <= cnt2; i++) rt2[i] = rs[rt2[i]]; return ask(mid+1, r, k-suml); } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); b[++len] = a[i]; } char op[2]; for(int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%s", op); if(op[0] == 'Q') { q[i].op = 0; scanf("%d%d%d", &q[i].i, &q[i].j, &q[i].k); } else { q[i].op = 1; scanf("%d%d", &q[i].i, &q[i].k); b[++len] = q[i].k; } } //数值离散化 sort(b+1, b+1+len); len = unique(b+1, b+1+len)-b-1; for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = lower_bound(b+1, b+len+1, a[i])-b; for(int i = 1; i <= m; i++) if(q[i].op) q[i].k = lower_bound(b+1, b+len+1, q[i].k)-b; //建树(动态开点形式) for(int i = 1; i <= n; i++) update_BIT(i, a[i], 1); for(int i = 1; i <= m; i++) { if(q[i].op) { update_BIT(q[i].i, a[q[i].i], -1); a[q[i].i] = q[i].k; update_BIT(q[i].i, q[i].k, 1); } else { locate(q[i].i, q[i].j); int ans = b[ask(1, len, q[i].k)]; printf("%d\n", ans); } } return 0; }
来源:https://www.cnblogs.com/zxytxdy/p/12375599.html