一、直线扫描转换算法——DDA画线算法
备注:DDA(Digital Differential Analyzer) ---> 数值微分法
1. 引进图形学中的一个很重要的思想——增量思想
2. 算法原理
采用直线的斜截式方程进行推理,坐标系为光栅像素坐标系,可用坐标仅为整数坐标点。
yi = kxi + b
yi+1 = kxi+1 + b = k (xi + 1) + b = kxi + k + b = kxi + b + k = yi + k
由以上两式得: yi+1 = yi + k (当前步的Y值等于前一步的Y值加上斜率)
目的:将原来的乘法和加法变成了一个加法!
3. 示例
用DDA扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,3)的直线段1° 计算斜率 k = 0.6 < 1
2° 根据公式 yi+1 = yi + k 计算趋近的像素坐标点:
【注意】此处Y加上0.5是做了四舍五入的处理,减少误差!
二、直线扫描转换算法——中点画线算法
改进:将DDA中的浮点运算变成整数加法!
1. 引入直线的一般式方程:
F(x,y)= 0 ----> Ax + By + C = 0
其中:A = -(∆y);B = (∆x);C = -B(∆x);
2. 基本数学知识:
1° 对于直线上的点: F(x,y)= 0
2° 对于直线上方的点:F(x,y)> 0
3° 对于直线下方的点:F(x,y)< 0
3. 算法原理:每次在最大位移方向上走一步,而另一个方向是走还是不走步取决于中点误差项的判断。
将M点的坐标代入直线方程中:
di = F(xm, ym)= F(xi + 1, yi + 0.5)= A(xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C
分三种情况:
当 d < 0 时:M在Q下方,应取Pu;
当 d > 0 时:M在Q上方,应取Pd;
当 d = 0 时:M在直线上,选Pd或Pu均可;
4. 引入增量思想的改进
1° 情况1:
推导d值的递推公式:
d0 = F(xm0, ym0)= F(xi + 1, yi + 0.5)= A(xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C
d1 = F(xm1, ym1)= F(xi + 2, yi + 1.5)= A(xi + 2)+ B(yi + 1.5)+ C
= A(xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C + A + B = d0 + A + B
2° 情况2:
同理推导得:
d1= F(xi + 2, yi + 0.5)= A(xi + 2)+ B(yi + 0.5)+ C
= A (xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C + A = d0 + A
3° d的初始值的计算
d0 = F(x0 + 1, y0 + 0.5)= A(x0 + 1)+ B(y0 + 0.5)+ C
= Ax0 + By0 + C + A + 0.5B = A + 0.5B
4° 综上:
三、直线扫描转换算法——Bresenham算法
1. 基本思想
该算法的思想是通过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线,按照直线起点到中点的顺序,计算直线与各垂直网格线的交点,然后根据误差项的符号确定该列像素中与此交点最近的像素;假设每次x+1,y的递增(减)量为0或1,它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离,这个距离的最大误差为0.5;
2. 原理
误差项d的初值d0 = 0, 每一步 d = d + k,一旦d ≥1,就把它减去1,保证d的相对性,且在0、1之间。
得到公式:
1° 提高效率到整数加法:令 e = d - 0.5 得:;
2° 由于算法中只用到误差项的符号,于是可以用 e*2*∆x替换e;
3. 算法步骤:
1° 输入直线的两端点P0(x0, y0)和P1(x1, y1);
2° 计算初始值∆x、∆y、e = -∆x, x = x0、y = y0;
3° 绘制点(x, y);
4° e更新为e + 2∆y,判断e的符号。若e>0,则(x,y)更新为(x+1,y+1),同时将e更新为e-2∆x;否则(x, y)更新为(x+1, y);
5° 当直线没有画完时,重复步骤3和4。否则结束。
来源:https://www.cnblogs.com/mzyan/p/9700836.html