CG-光栅图形学直线扫描转换算法-学习笔记

佐手、 提交于 2020-02-20 04:41:29

一、直线扫描转换算法——DDA画线算法

备注:DDA(Digital Differential Analyzer) ---> 数值微分法

1. 引进图形学中的一个很重要的思想——增量思想

2. 算法原理

采用直线的斜截式方程进行推理,坐标系为光栅像素坐标系,可用坐标仅为整数坐标点。

yi = kxi + b     

yi+1 = kxi+1 + b = k (xi + 1) + b = kxi + k + b = kxi + b + k = yi + k

由以上两式得:  yi+1 = yi + k (当前步的Y值等于前一步的Y值加上斜率)

目的:将原来的乘法和加法变成了一个加法

3. 示例

用DDA扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,3)的直线段1° 计算斜率 k = 0.6 < 1

2° 根据公式 yi+1 = yi + k 计算趋近的像素坐标点:     

【注意】此处Y加上0.5是做了四舍五入的处理,减少误差!

二、直线扫描转换算法——中点画线算法

改进:将DDA中的浮点运算变成整数加法

1. 引入直线的一般式方程:

F(x,y)= 0   ---->  Ax + By + C = 0

其中:A = -(∆y);B = (∆x);C = -B(∆x);

2. 基本数学知识:

1° 对于直线上的点:   F(x,y)= 0

2° 对于直线上方的点:F(x,y)> 0

3° 对于直线下方的点:F(x,y)< 0

3. 算法原理:每次在最大位移方向上走一步,而另一个方向是走还是不走步取决于中点误差项的判断。

将M点的坐标代入直线方程中:

di = F(xm, ym)= F(xi + 1, yi + 0.5)= A(xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C

分三种情况:

当 d < 0 时:M在Q下方,应取Pu

当 d > 0 时:M在Q上方,应取Pd

当 d = 0 时:M在直线上,选Pd或Pu均可;

4. 引入增量思想的改进

1° 情况1:

推导d值的递推公式:

d0 = F(xm0, ym0)= F(xi + 1, yi + 0.5)= A(xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C

d1 = F(xm1, ym1)= F(xi + 2, yi + 1.5)= A(xi + 2)+ B(yi + 1.5)+ C

    = A(xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C + A + B = d0 + A + B

2° 情况2:

同理推导得:

d1= F(xi + 2, yi + 0.5)= A(xi + 2)+ B(yi + 0.5)+ C

    = A (xi + 1)+ B(yi + 0.5)+ C + A = d0 + A

3° d的初始值的计算

d0 = F(x0 + 1, y0 + 0.5)= A(x0 + 1)+ B(y0 + 0.5)+ C

     = Ax0 + By0 + C + A + 0.5B = A + 0.5B

4° 综上:

三、直线扫描转换算法——Bresenham算法

 1. 基本思想

 该算法的思想是通过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线,按照直线起点到中点的顺序,计算直线与各垂直网格线的交点,然后根据误差项的符号确定该列像素中与此交点最近的像素;假设每次x+1,y的递增(减)量为0或1,它取决于实际直线与最近光栅网格点的距离,这个距离的最大误差为0.5;

 2. 原理

 误差项d的初值d0 = 0, 每一步 d = d + k,一旦d ≥1,就把它减去1,保证d的相对性,且在0、1之间。

得到公式:

 1° 提高效率到整数加法:令 e = d - 0.5 得:

 2° 由于算法中只用到误差项的符号,于是可以用 e*2*∆x替换e;

 3. 算法步骤:

1° 输入直线的两端点P0(x0, y0)和P1(x1, y1);

2° 计算初始值∆x、∆y、e = -∆x, x = x0、y = y0;

3° 绘制点(x, y);

4° e更新为e + 2∆y,判断e的符号。若e>0,则(x,y)更新为(x+1,y+1),同时将e更新为e-2∆x;否则(x, y)更新为(x+1, y);

5° 当直线没有画完时,重复步骤3和4。否则结束。

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