线性回归部分
主要内容包括：
线性回归的基本要素
线性回归模型从零开始的实现
线性回归模型使用pytorch的简洁实现
线性回归的基本要素
模型
为了简单起见，这里我们假设价格只取决于房屋状况的两个因素，即面积（平方米）和房龄（年）。接下来我们希望探索价格与这两个因素的具体关系。线性回归假设输出与各个输入之间是线性关系:
price=warea⋅area+wage⋅age+b
数据集
我们通常收集一系列的真实数据，例如多栋房屋的真实售出价格和它们对应的面积和房龄。我们希望在这个数据上面寻找模型参数来使模型的预测价格与真实价格的误差最小。在机器学习术语里，该数据集被称为训练数据集（training data set）或训练集（training set），一栋房屋被称为一个样本（sample），其真实售出价格叫作标签（label），用来预测标签的两个因素叫作特征（feature）。特征用来表征样本的特点。
损失函数
在模型训练中，我们需要衡量价格预测值与真实值之间的误差。通常我们会选取一个非负数作为误差，且数值越小表示误差越小。一个常用的选择是平方函数。 它在评估索引为 i 的样本误差的表达式为
l(i)(w,b)=12(y^(i)−y(i))2,
L(w,b)=1n∑i=1nl(i)(w,b)=1n∑i=1n12(w⊤x(i)+b−y(i))2.
优化函数 - 随机梯度下降
当模型和损失函数形式较为简单时，上面的误差最小化问题的解可以直接用公式表达出来。这类解叫作解析解（analytical solution）。本节使用的线性回归和平方误差刚好属于这个范畴。然而，大多数深度学习模型并没有解析解，只能通过优化算法有限次迭代模型参数来尽可能降低损失函数的值。这类解叫作数值解（numerical solution）。
在求数值解的优化算法中，小批量随机梯度下降（mini-batch stochastic gradient descent）在深度学习中被广泛使用。它的算法很简单：先选取一组模型参数的初始值，如随机选取；接下来对参数进行多次迭代，使每次迭代都可能降低损失函数的值。在每次迭代中，先随机均匀采样一个由固定数目训练数据样本所组成的小批量（mini-batch） B ，然后求小批量中数据样本的平均损失有关模型参数的导数（梯度），最后用此结果与预先设定的一个正数的乘积作为模型参数在本次迭代的减小量。
(w,b)←(w,b)−η|B|∑i∈B∂(w,b)l(i)(w,b)
学习率: η 代表在每次优化中，能够学习的步长的大小
批量大小: B 是小批量计算中的批量大小batch size
总结一下，优化函数的有以下两个步骤：
(i)初始化模型参数，一般来说使用随机初始化；
(ii)我们在数据上迭代多次，通过在负梯度方向移动参数来更新每个参数。
Softmax和分类模型：
内容包含：
softmax回归的基本概念
如何获取Fashion-MNIST数据集和读取数据
softmax回归模型的从零开始实现，实现一个对Fashion-MNIST训练集中的图像数据进行分类的模型
使用pytorch重新实现softmax回归模型
softmax的基本概念
分类问题
一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。
图像中的4像素分别记为 x1,x2,x3,x4 。
假设真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为 y1,y2,y3 。
我们通常使用离散的数值来表示类别，例如 y1=1,y2=2,y3=3 。
权重矢量
o1=x1w11+x2w21+x3w31+x4w41+b1
o2=x1w12+x2w22+x3w32+x4w42+b2
o3=x1w13+x2w23+x3w33+x4w43+b3
神经网络图
下图用神经网络图描绘了上面的计算。softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出 o1,o2,o3 的计算都要依赖于所有的输入 x1,x2,x3,x4 ，softmax回归的输出层也是一个全连接层。
Image Name
softmax回归是一个单层神经网络
既然分类问题需要得到离散的预测输出，一个简单的办法是将输出值 oi 当作预测类别是 i 的置信度，并将值最大的输出所对应的类作为预测输出，即输出 argmaxioi 。例如，如果 o1,o2,o3 分别为 0.1,10,0.1 ，由于 o2 最大，那么预测类别为2，其代表猫。
输出问题
直接使用输出层的输出有两个问题：
一方面，由于输出层的输出值的范围不确定，我们难以直观上判断这些值的意义。例如，刚才举的例子中的输出值10表示“很置信”图像类别为猫，因为该输出值是其他两类的输出值的100倍。但如果 o1=o3=103 ，那么输出值10却又表示图像类别为猫的概率很低。
另一方面，由于真实标签是离散值，这些离散值与不确定范围的输出值之间的误差难以衡量。
softmax运算符（softmax operator）解决了以上两个问题。它通过下式将输出值变换成值为正且和为1的概率分布：
y1,y2,y^3=softmax(o1,o2,o3)
其中
y1=exp(o1)∑3i=1exp(oi),y2=exp(o2)∑3i=1exp(oi),y^3=exp(o3)∑3i=1exp(oi).
容易看出 y1+y2+y^3=1 且 0≤y1,y2,y^3≤1 ，因此 y1,y2,y^3 是一个合法的概率分布。这时候，如果 y^2=0.8 ，不管 y^1 和 y^3 的值是多少，我们都知道图像类别为猫的概率是80%。此外，我们注意到
argmaxioi=argmaxiy^i
因此softmax运算不改变预测类别输出。
计算效率
单样本矢量计算表达式
为了提高计算效率，我们可以将单样本分类通过矢量计算来表达。在上面的图像分类问题中，假设softmax回归的权重和偏差参数分别为
W=⎡⎣⎢⎢⎢w11w21w31w41w12w22w32w42w13w23w33w43⎤⎦⎥⎥⎥,b=[b1b2b3],
设高和宽分别为2个像素的图像样本 i 的特征为
x(i)=[x(i)1x(i)2x(i)3x(i)4],
输出层的输出为
o(i)=[o(i)1o(i)2o(i)3],
预测为狗、猫或鸡的概率分布为
y(i)=[y(i)1y(i)2y(i)3].
softmax回归对样本 i 分类的矢量计算表达式为
o(i)y^(i)=x(i)W+b,=softmax(o(i)).
小批量矢量计算表达式
为了进一步提升计算效率，我们通常对小批量数据做矢量计算。广义上讲，给定一个小批量样本，其批量大小为 n ，输入个数（特征数）为 d ，输出个数（类别数）为 q 。设批量特征为 X∈Rn×d 。假设softmax回归的权重和偏差参数分别为 W∈Rd×q 和 b∈R1×q 。softmax回归的矢量计算表达式为
OY^=XW+b,=softmax(O),
其中的加法运算使用了广播机制， O,Y^∈Rn×q 且这两个矩阵的第 i 行分别为样本 i 的输出 o(i) 和概率分布 y^(i) 。
交叉熵损失函数
对于样本 i ，我们构造向量 y(i)∈Rq ，使其第 y(i) （样本 i 类别的离散数值）个元素为1，其余为0。这样我们的训练目标可以设为使预测概率分布 y^(i) 尽可能接近真实的标签概率分布 y(i) 。
平方损失估计
Loss=|y^(i)−y(i)|2/2
然而，想要预测分类结果正确，我们其实并不需要预测概率完全等于标签概率。例如，在图像分类的例子里，如果 y(i)=3 ，那么我们只需要 y^(i)3 比其他两个预测值 y^(i)1 和 y^(i)2 大就行了。即使 y^(i)3 值为0.6，不管其他两个预测值为多少，类别预测均正确。而平方损失则过于严格，例如 y(i)1=y(i)2=0.2 比 y(i)1=0,y(i)2=0.4 的损失要小很多，虽然两者都有同样正确的分类预测结果。
改善上述问题的一个方法是使用更适合衡量两个概率分布差异的测量函数。其中，交叉熵（cross entropy）是一个常用的衡量方法：
H(y(i),y(i))=−∑j=1qy(i)jlogy(i)j,
其中带下标的 y(i)j 是向量 y(i) 中非0即1的元素，需要注意将它与样本 i 类别的离散数值，即不带下标的 y(i) 区分。在上式中，我们知道向量 y(i) 中只有第 y(i) 个元素 y(i)y(i) 为1，其余全为0，于是 H(y(i),y(i))=−logyy(i)(i) 。也就是说，交叉熵只关心对正确类别的预测概率，因为只要其值足够大，就可以确保分类结果正确。当然，遇到一个样本有多个标签时，例如图像里含有不止一个物体时，我们并不能做这一步简化。但即便对于这种情况，交叉熵同样只关心对图像中出现的物体类别的预测概率。
假设训练数据集的样本数为 n ，交叉熵损失函数定义为
ℓ(Θ)=1n∑i=1nH(y(i),y^(i)),
其中 Θ 代表模型参数。同样地，如果每个样本只有一个标签，那么交叉熵损失可以简写成 ℓ(Θ)=−(1/n)∑ni=1logy^(i)y(i) 。从另一个角度来看，我们知道最小化 ℓ(Θ) 等价于最大化 exp(−nℓ(Θ))=∏ni=1y^(i)y(i) ，即最小化交叉熵损失函数等价于最大化训练数据集所有标签类别的联合预测概率。
模型训练和预测
在训练好softmax回归模型后，给定任一样本特征，就可以预测每个输出类别的概率。通常，我们把预测概率最大的类别作为输出类别。如果它与真实类别（标签）一致，说明这次预测是正确的。在3.6节的实验中，我们将使用准确率（accuracy）来评价模型的表现。它等于正确预测数量与总预测数量之比。
获取Fashion-MNIST训练集和读取数据¶
在介绍softmax回归的实现前我们先引入一个多类图像分类数据集。它将在后面的章节中被多次使用，以方便我们观察比较算法之间在模型精度和计算效率上的区别。图像分类数据集中最常用的是手写数字识别数据集MNIST[1]。但大部分模型在MNIST上的分类精度都超过了95%。为了更直观地观察算法之间的差异，我们将使用一个图像内容更加复杂的数据集Fashion-MNIST[2]。
我这里我们会使用torchvision包，它是服务于PyTorch深度学习框架的，主要用来构建计算机视觉模型。torchvision主要由以下几部分构成：
torchvision.datasets: 一些加载数据的函数及常用的数据集接口；
torchvision.models: 包含常用的模型结构（含预训练模型），例如AlexNet、VGG、ResNet等；
torchvision.transforms: 常用的图片变换，例如裁剪、旋转等；
torchvision.utils: 其他的一些有用的方法。
softmax回归是一个简单的神经网络
理解python的广播机制的部分，只截取部分规则：
语言模型
一段自然语言文本可以看作是一个离散时间序列，给定一个长度为 T 的词的序列 w1,w2,…,wT ，语言模型的目标就是评估该序列是否合理，即计算该序列的概率：
P(w1,w2,…,wT).
本节我们介绍基于统计的语言模型，主要是 n 元语法（ n -gram）。在后续内容中，我们将会介绍基于神经网络的语言模型。
语言模型
假设序列 w1,w2,…,wT 中的每个词是依次生成的，我们有
P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣w1,…,wt−1)=P(w1)P(w2∣w1)⋯P(wT∣w1w2⋯wT−1)
例如，一段含有4个词的文本序列的概率
P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3).
语言模型的参数就是词的概率以及给定前几个词情况下的条件概率。设训练数据集为一个大型文本语料库，如维基百科的所有条目，词的概率可以通过该词在训练数据集中的相对词频来计算，例如， w1 的概率可以计算为：
P^(w1)=n(w1)n
其中 n(w1) 为语料库中以 w1 作为第一个词的文本的数量， n 为语料库中文本的总数量。
类似的，给定 w1 情况下， w2 的条件概率可以计算为：
P^(w2∣w1)=n(w1,w2)n(w1)
其中 n(w1,w2) 为语料库中以 w1 作为第一个词， w2 作为第二个词的文本的数量。
n元语法
序列长度增加，计算和存储多个词共同出现的概率的复杂度会呈指数级增加。 n 元语法通过马尔可夫假设简化模型，马尔科夫假设是指一个词的出现只与前面 n 个词相关，即 n 阶马尔可夫链（Markov chain of order n ），如果 n=1 ，那么有 P(w3∣w1,w2)=P(w3∣w2) 。基于 n−1 阶马尔可夫链，我们可以将语言模型改写为
P(w1,w2,…,wT)=∏t=1TP(wt∣wt−(n−1),…,wt−1).
以上也叫 n 元语法（ n -grams），它是基于 n−1 阶马尔可夫链的概率语言模型。例如，当 n=2 时，含有4个词的文本序列的概率就可以改写为：
P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w1,w2,w3)=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3)
当 n 分别为1、2和3时，我们将其分别称作一元语法（unigram）、二元语法（bigram）和三元语法（trigram）。例如，长度为4的序列 w1,w2,w3,w4 在一元语法、二元语法和三元语法中的概率分别为
P(w1,w2,w3,w4)P(w1,w2,w3,w4)P(w1,w2,w3,w4)=P(w1)P(w2)P(w3)P(w4),=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w2)P(w4∣w3),=P(w1)P(w2∣w1)P(w3∣w1,w2)P(w4∣w2,w3).
当 n 较小时， n 元语法往往并不准确。例如，在一元语法中，由三个词组成的句子“你走先”和“你先走”的概率是一样的。然而，当 n 较大时， n 元语法需要计算并存储大量的词频和多词相邻频率。
来源：CSDN
作者：qq_755700504
链接：https://blog.csdn.net/qq_36918480/article/details/104318302