数据结构-树状数组

数据结构-树状数组

树状数组是较堆功能更强大的 RMQ 数据结构。

数组数组的前置知识：位运算。

数组数组的功能：单点修改区间查询，区间修改单点查询（用差分）。

首先讲 $lowbit(x)$，这是个位运算知识。表示 $x$ 二进制下为 $1$ 的最高位，如 $lowbit((1110010)_2)=(10)_2$，$lowbit((110000)_2)=(10000)_2$，$\texttt{C++}$ 中的 $x\&-x$ 正好能达到求 $lowbit(x)$ 的效果。

然后树状数组中的 $c$ 数组是个有跳跃性的前缀和数组，它通过 $lowbit()$ 跳跃维护，然后通过 $lowbit()$ 跳跃取值。原理较为复杂，不必深究。但是它有如下性质：

1.每次在 $x$ 位置上 $+y$ 时，可以这样维护 $c[]$：

void fix(Tree&t,int n,int x,int y){
	for(;x<=n;x+=low(x)) t.c[x]+=y;
} 

2.如下方法即可求出 $\Sigma_1^xa[i]$：

int fsum(Tree&t,int x){
	int res=0;
	for(;x;x-=low(x)) res+=t.c[x];
	return res;
}

所以树状数组的空间复杂度为 $O(n)$，时间复杂度为 $O(n\log n)$。

主要操作大概就是这样，那么蒟蒻就放代码了：

namespace Sumtree{
	int low(int x){return x&(-x);}
	class Tree{
	public:
		int c[N];
		Tree(){memset(c,0,sizeof(c));}
	}st;
	void fix(Tree&t,int n,int x,int y){// 在x位置上+y
		for(;x<=n;x+=low(x)) t.c[x]+=y;
	} 
	int fsum(Tree&t,int x){//求出x的前缀和
		int res=0;
		for(;x;x-=low(x)) res+=t.c[x];
		return res;
	}
}using namespace Sumtree;

有了前缀数组后，就可以单点修改区间查询了。如果想区间修改单点查询，就把每个 $a[i]=a[i]-a[i-1]$ 然后每次修改修改区间两端的值，单点查询的时候求和。

比起线段树，树状数组功能较弱，但代码短个几十行。而且后面学树套树的时候，数组数组会好套很多。

祝大家学习愉快！

来源：CSDN

作者：KonnyWen

链接：https://blog.csdn.net/KonnyWen/article/details/104221509