Speex回声消除原理深度解析

て烟熏妆下的殇ゞ 提交于 2020-02-02 00:09:47

  这里假设读者具有自适应滤波器的基础知识。Speex的AEC是以NLMS为基础,用MDF频域实现,最终推导出最优步长估计:残余回声与误差之比。最优步长等于残余回声方差与误差信号方差之比,这个结论可以记下,下面会用到的。

  对于长度为N的NLMS滤波器,误差信号定义为期望信号与估计信号之差,表示如下:

\[e(n) = d(n) - \hat y(n) = d(n) - \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{{\hat w}_k}(n)x(n - k)} \]

  则,滤波器的系数更新方程为:

\[{\hat w_k}(n + 1) = {\hat w_k}(n) + \mu \frac{{e(n){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }} = {\hat w_k}(n) + \mu \frac{{(d(n) - \sum\nolimits_i {{{\hat w}_i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}\]

  设滤波器的系数误差为:

\[{\delta _k}(n) = {\hat w_k}(n) - {w_k}(n)\]

  且期望信号为本地(近端)语音+残余回声

\[d(n) = v(n) + \sum\nolimits_k {{w_k}(n)x(n - k)} \]

  则滤波器的系数更新方程可以重写为

\[{\delta _k}(n + 1) = {\delta _k}(n) + \mu \frac{{(v(n) - \sum\nolimits_i {{\delta _i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}\]

  如果每个时刻的失调定义为:

\[\Lambda (n) = \sum\nolimits_k {\delta _k^*(n){\delta _k}(n)} \]

  那么,在每一步的迭代中,滤波器的失调可表示如下:

\[\Lambda (n + 1) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {|{\delta _k}(n) + \mu \frac{{(v(n) - \sum\nolimits_i {{\delta _i}(n)x(n - i)} ){x^*}(n - k)}}{{\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}{|^2}} \]

  假设远端信号与近端信号为白噪声,且不相关。

  \[\sigma _v^2 = E\{ |v(n){|^2}\} \]

  为近端语音信号的方差,则失调的更新方程为

\[E\{ \Lambda (n + 1)|\Lambda (n),x(n)\}  = \Lambda (n)\left[ {1 - \frac{{2\mu }}{N} + \frac{{{\mu ^2}}}{N} + \frac{{2{\mu ^2}\sigma _v^2}}{{\Lambda (n)\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}} \right]\]

  这里失调函数

\[E\{ \Lambda (n + 1)|\Lambda (n),x(n)\} \]

  为凸函数,对它关于步长求导,并置导数为0,可得:

\[\frac{{\partial E\{ \Lambda (n + 1)\} }}{{\partial \mu }} = \frac{{ - 2}}{N} + \frac{{2\mu }}{N} + \frac{{2\mu \sigma _v^2}}{{\Lambda (n)\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }} = 0\]

  最终推出最优步长为:

\[{\mu _{opt}}(n) = \frac{1}{{1 + \frac{{\sigma _v^2}}{{\Lambda (n)/N\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} }}}}\]

  大家别看最下面的那个分母

\[\Lambda (n)/N\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 1} {|x(n - i){|^2}} \]

  式子挺长,其实意义很明确,可以近似理解为残余回声的方差,于是输出信号的方差为:近端语音的方差+残余回声的方差,用式子表示如下

\[\sigma _e^2(n) = \sigma _v^2(n) + \sigma _r^2(n)\]

  最终,导出最优步长:

\[{\mu _{opt}}(n) = \frac{1}{{1 + \frac{{\sigma _v^2}}{{\sigma _r^2(n)}}}} = \frac{1}{{\frac{{\sigma _r^2(n) + \sigma _v^2}}{{\sigma _r^2(n)}}}} \approx \frac{{\sigma _r^2(n)}}{{\sigma _e^2(n)}}\]

\[{\mu _{opt}}(n) = \min \left( {\frac{{\hat \sigma _r^2(n)}}{{\hat \sigma _e^2(n)}},1} \right)\]

  上面的分析是在时域,基于NLMS,可以看到:最优步长等于残余回声方差与误差信号方差之比。其中误差的方差比较好求,残余回声的方差比较难求。下面我们看下上面的结论在频域中如何解决,Speex中在频域的自适应算法为:MDF(multidelay block frequency domain)自适应滤波。

  在频域中,设k为频率索引,字母(ell)为帧索引,上面的结论转换到频域,结果如下:

\[{\mu _{opt}}(k,\ell ) \approx \frac{{\sigma _r^2(k,\ell )}}{{\sigma _e^2(k,\ell )}}\]

  那么,在频域如何求残余回声的方差呢,我们可以定义一个泄露系数,表示回声相对于远端信号的泄露程度,这时残余回声表示为

\[\sigma _r^2(k,\ell ){\rm{ = }}\hat \eta (\ell )\hat \sigma _{\hat Y}^2(k,\ell )\]

  根据泄露系数求出残余回声,就可以得到最优步长

\[{\mu _{opt}}(n) = \min \left( {\hat \eta (\ell )\frac{{|\hat Y(k,\ell ){|^2}}}{{|E(k,\ell ){|^2}}},{\mu _{\max }}} \right)\]

  也就是说,根据泄露系数,可以估计出远端信号的残余回声,进而可以得到最优步长,那么,带来另一个问题,这里的泄露系数如何估计呢?确定泄露系数的过程,其实就是一元线性回归分析中确定回归系数的过程,具体可以看下回归分析的内容。

\[\hat \eta (\ell ) = \frac{{\sum\nolimits_k {{R_{EY}}(k,\ell )} }}{{\sum\nolimits_k {{R_{YY}}(k,\ell )} }}\]

\[{R_{EY}}(k,\ell ) = (1 - \beta (\ell )){R_{EY}}(k,\ell ) + \beta (\ell ){P_Y}(k){P_E}(k)\]

\[{R_{YY}}(k,\ell ) = (1 - \beta (\ell )){R_{YY}}(k,\ell ) + \beta (\ell ){P_Y}(k){({P_Y}(k))^2}\]

\[\beta (\ell ) = {\beta _0}\min (\frac{{\hat \sigma _Y^2(\ell )}}{{\hat \sigma _e^2(\ell )}},1)\]

  这里, 是通过递归平均处理方法得到每个频点的自相关、输入信号与误差信号的互相关。最终得到泄露系数,具体实现可以参考speex  的代码实现,相关参数可以参考后面给出来参考论文。
  

  Speex的回声消除原理已经分析完了,最终得出结论是:只有改与泄露系数相关部分的代码,才是对效果影响最大的地方,因为根据泄露系数,最终会估计出滤波器的最优步长。

 

参考论文:On Adjusting the Learning Rate in Frequency Domain Echo Cancellation With Double-Talk

 

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