论文笔记——Contextual Multi-armed Bandit Algorithm for Semiparametric（半参数） Reward Model

Contextual Multi-armed Bandit Algorithm for Semiparametric（半参数） Reward Model

摘要：

事实证明，上下文多臂匪徒（MAB）算法有望在顺序决策任务（例如新闻推荐系统，网页广告放置算法和移动健康）中最大化累积reward。但是，大多数提出的上下文MAB算法都假定奖励和行为上下文之间存在线性关系。本文针对支持非平稳性的松弛，半参数奖励模型提出了一种新的上下文MAB算法。与考虑相同模型的两个替代算法相比，所提出的方法具有更少的限制，更易于实现且速度更快，同时实现了严格的后悔上限。

即提出一种新型MAB算法（宽松、半参数的reward模型）——支持非平稳态

一、introduction

MAB问题会公式化顺序决策问题——选择action（arm），最后最大化积累的rewards

不断选择一个arm，同时收到对应的rewards，学习者会学习和收集信息，然后积累信息，最后根据现有的信息去选择最优的arm

之前的算法都是假设reward的期望和上下文具有是不变线性关系———会严格限制现实中reward的定义

本文中，

提出新型的上下文MAB算法——对rewards的分布会有宽松的假设

该假设可以针对不稳定性的reward包含加法截距项+原来的时不变线性项）；该截距项随时间变化，但不取决于action

#### 本文贡献：

• 为非平稳半参数奖励模型提出了一种新的MAB算法。与先前的工作相比，所提出的方法具有更少的限制，更易于实现并且计算速度更快。
• 证明了所提方法的regret的高概率上限与线性奖励模型的汤普森采样算法的阶数相同。
• 为回归参数提出了一个新的估计量，而无需额外的调整参数，并证明了它比现有估计量更快地收敛到真实参数。
• 仿真研究表明，在大多数情况下，该方法的累积奖励比假定相同非平稳奖励模型的现有方法的增长快。

二、Preliminaries

1.MAB setting

learner会在每个t重复地面临N个可选择的actions（N个arms）,第i个arm（i=1,…,N）会获得随机的reward$r_i(t)$（对应未知均值$\theta_i(t)$）

上下文MAB中：

• 每个arm i对应有限维上下文向量$b_i(t)$
• reward的均值$\theta_i(t)$依赖于$b_i(t)$：即$\theta_i(t)=\theta_t(b_i(t))$，其中$\theta_t(.)$是一个任意函数
• 选择一个arm:$a(t)$，对应reward：$r_{a(t)}(t)$
• 最优的arm:$a^{*}(t):=\underset{1<i<N}{\operatorname{argmax}}\left\{\theta_i(t)\right\}=\underset{1<i<N}{\operatorname{argmax}}\left\{\theta_{t}\left(b_{i}(t)\right)\right\}$
• regrets(t)

2.线性上下文MAB问题

假设reward的均值$\theta_t(b_i(t))$和$b_i(t)$成线性关系：

$\theta_t(b_i(t))=b_i(t)^T\mu,i=1,...,N$
其中$\mu$是未知的。

1）上置信界算法UCB

• 选择reward中具有最高UCB的arm。
• 由于UCB反映了当前对reward及其不确定性的估计，因此该算法在开发和探索之间取得平衡。
• UCB算法的成功取决于第i个arm对应的reward（=$b_i(t)^T\mu$(这个一般指reward的均值)）的有效置信上限$U_i(t)$

2）Thompson sampling

• 基于贝叶斯思想的简单启发式方法
• 最优arm:$a^*(t)=\underset{1<i<N}{\operatorname{argmax}}{b_i(t)^T\tilde\mu(t)}$;$\tilde\mu(t)$是$\mu$后验分布的采样值。

3）对抗性(adversarial)上下文MAB

• 没有对$\theta(.)$函数形式有任何假设
• $r_i(t)$的分布允许随时间变化，并且它也可以根据历史记录自适应地变化
• 但是很难获得低的regret

4）EXP4.P算法

三、Semiparametric(半参数) contextual MAB

• 简单线性上下文MAB和复杂对抗MAB之间的中间方案

1.半参数加成reward模型

• 历史信息$\mathcal{H}_{t-1}=\left\{a(\tau), r_{a(\tau)}(\tau), b_{i}(\tau), i=1, \ldots, N, \tau=1, \ldots, t-1\right\}$
• $\mathcal{F}_{t-1}$是历史信息$\mathcal{H}_{t-1}$和t时刻上下文$b_i(t)$的并集，$\mathcal{F}_{t-1}=\left\{\mathcal{H}_{t-1}, b_{i}(t), i=1, \ldots, N\right\}$
• 给定$\mathcal{F}_{t-1}$，假设reward的期望$r_i(t)$可以=不随时间变化的线性分量（$b_i(t)^T\mu$,取决于于action）+ 随时间变化的非参数分量（$v(t)$,可能取决于$\mathcal{F}_{t-1}$，但不取决于action），即：

$\mathbb{E}\left[r_{i}(t) | \mathcal{F}_{t-1}\right]=b_{i}(t)^{T} \mu+v(t)$

• $v(t)$的分布没有做任何假设，除了$|v(t)|\leq 1$:1）如果$v(t)=0$，线性上下文MAB；2）否则，$v(t)$也取决于action，对抗上下文MAB。在新闻推荐实例中，$v(t)$可以代表用户单击任务文章的基线趋势，不是所有用户都会去点击。
• 最优的action$a^*(t)$不依赖于$v(t)$
• regret也不会依赖$v(t)$：

$regret(t)=b_{a^*(t)}(t)^{T} \mu-b_{a(t)}(t)^{T} \mu$

• 注意：$v(t)$混淆了$\mu$的估计。bandit问题的性质使得$v(t)$和线性部分的区分变得特别困难，因为每个时间t只能进行一次观察。因此属于部分对抗性模型，而确定性算法（UCB算法等）对于这种模型被证明是无效的；因为$a(t)\in\mathcal{F}_{t-1}$,如果$v(t)\in\mathcal{F}_{t-1}$且$v(t)=-b_{a(t)}(t)^{T} \mu$，那么观察到的reward在所有$t=1, \ldots, T$时刻均为$r_{a(t)}(t)=\eta_{a(t)}(t)$，算法无法学习$\mu$.
• 所有还是应该利用action选择的随机性

2.相关工作

1）action-centered TS algorithm

• 假设第一个action为base action，对于这个基本action，对于所有t其上下文向量为$b_1(t)=0_d$;其reward为$v(t)$（随时间变化，以一定方式取决于过去信息）
• 遵循随机TS算法的基本框架
• 但是有两个阶段（stage）：1）第一阶段以TS算法相同的方式在non-base action中选择一个action，设为$\bar{a}(t)$;2)第二阶段，使用$\tilde\mu(t)$的分布在$\bar{a}(t)$和base action中再一次选择。
• 最后两个阶段结束后选择的action记为：$a(t)$
• 在第二阶段中，$a(t)=\bar{a}(t)$的概率可以由$\tilde\mu(t)$的高斯分布计算：

$\mathbb{P}\left(a(t)=\bar{a}(t) | \mathcal{F}_{t-1}, \bar{a}(t)\right)=1-\psi\left(\frac{-b_{\bar{a}(t)}(t)^{T} \hat{\mu}(t)}{v s_{t, \bar{a}(t)}(t)}\right)$
$\psi(.)$是标准高斯分布的概率密度函数。

3.提出的算法

提出一个新型的具有半参数reward模型的算法：

来源：CSDN

作者：Yolandalt7777777

链接：https://blog.csdn.net/Yolandalt7777777/article/details/104114627