讲真这个题有点难
luogu P1516
我是从哪里学会的
\(PKS\)的题解
原题
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
输入
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L
其中\(0<x ≠ y < =2000000000,0 < m、n < =2000000000,0 < L < =2100000000\)。
输出
输出碰面所需要的天数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。
样例
\(in\)
1 2 3 4 5
\(out\)
4
扩展欧几里得解不定方程
这个题用到了扩欧解不定方程。难点两个
- 怎么确定一组特解
- 怎么确定每组解之间的关系
读完题,我们可以得到这样的式子
(a是走的步数,b是未知数且 \(b \in Z\) ,正负性不知)
\[ x + am \equiv y + am (\mod L)\\ x-y + a(m-n) = bL \]
整理可得
\[ x-y = bL + a(n-m) \]
设\(S = x-y\),\(W = n-m\),这样我们就得到了不定方程
\[ S = Lb + Wa \]
其中,\(S\),\(W\),\(L\)都是大写定值。要求的是\(a\),\(b\)的值。
首先联想到\(exgcd\)有类似的形式,我们就可以直接用它来求解,最后的答案乘上\(\frac S{gcd(L,W)}\)就可以了。
第二个问题:用\(exgcd\)解出来的解只是一组特解,我们就需要通过这组特解来找到a最小的解。怎么找呢?先扔出结论:
\[ a + t \times \frac{L}{gcd(L,W)} \]
且最小的解是
\[
a \% \frac{L}{gcd(L,W)}
\]
证明:
如果有\(ax + by = c\)且\(ax_0 + by_0 = c\),那么整理可得
\[ a(x-x_0) = -b(y - y_0) \]
将两边同时除以\(gcd(a,b)\)得到
\[ \frac{a(x-x_0)}{gcd(a,b)} = \frac{-b(y - y_0)}{gcd(a,b)}\ \ ① \]
又因为
\[ (\frac{a}{gcd(a,b)},\frac{b}{gcd(a,b)}) = 1 \]
所以由①得\(\frac{b}{gcd(a,b)} \mid (x - x_0)\),所以很显然有对于\(t \in Z\)
\[ \frac{b}{gcd(a,b)} \times t = x - x_0 \]
那么这个方程的最小正数解就是
\[ x_0 = x \% \frac b{gcd(a,b)} \]
代码
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){ if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } long long r = exgcd(b,a%b,x,y); long long tmp = y; y = x - (a/b) * y; x = tmp; return r; } int main(){ long long m,n,x,y,l; long long w,s,a,b; cin >> x >> y >> m >> n >> l; s = x-y; w = n-m; if(w < 0){ w *= -1; s *= -1;//w必须是正的,但是s是啥都无所谓 } long long ans = exgcd(l,w,b,a); if(s % ans != 0){ cout << "Impossible" << endl; }else{ cout << ((a * (s/ans) + l/ans)) %(l/ans) << endl;// ((x1*(a/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans); } return 0; }
来源:https://www.cnblogs.com/Cao-Yucong/p/12240570.html