线性模型正则化

一、正则线性模型

减少过度拟合的一个好办法就是对模型正则化（即约束它）：它拥有的自由度越低，就越不容易过度拟合数据。比如，将多项式模型正则化的简单方法就是降低多项式的阶数。

对线性模型来说，正则化通常通过约束模型的权重来实现。常见的对权重进行约束的方法有：岭回归（Ridge Regression）、套索回归（lasso Regression）及弹性网络（Elastic Regression）。

二、岭回归

岭回归（也叫作吉洪诺夫正则化）是线性回归的正则化版：在成本函数中添加一个等于$\alpha\sum_{i=1}^n\theta_i^2$的正则项。这使得学习中的算法不仅需要拟合数据，同时还要让模型权重保持最小。

• 正则项只能在训练的时候添加到成本函数中，一旦训练完成，我们需要使用未经正则化的性能指标来评估模型性能。

超参数$\alpha$控制的是对模型进行正则化的程度。如果$\alpha=0$，则岭回归就是线性模型。如果$\alpha$非常大，那么所有的权重都将非常接近于零，结果是一条穿过数据平均值的水平线。

岭回归的成本函数：
$J(\theta)=MSE(\theta)+\alpha\frac12\sum_{i=1}^n\theta_i^2$
注意，这里偏置项$\theta_0$没有正则化（求和从$i=1$开始，不是$i=0$）。如果我们将$w$定义为特征权重的向量（$\theta_1$到$\theta_n$），那么正则项即等于$\frac12(||w||_2)^2$其中$||w||_2$为权重向量的$l_2$范数。而对于梯度下降，只需要在MSE梯度向量上添加$\alpha w$即可。

• 在执行岭回归之前，必须对数据进行缩放，因为它对输入特征的大小非常敏感。大多数正则化模型都是如此。
  与线性回归一样，我们也可以在计算闭市方程或者执行梯度下降时，执行岭回归。利弊都一样。

闭式解的岭回归（其中$A$是一个nXn的单位矩阵，除了左上单元格为0，其他与偏置项对应）：
$\hat{\theta}=(X^T\cdot X+\alpha A)^{-1}\cdot X^T\cdot y$
下面是如何使用Scikit-Learn执行闭式解的岭回归：
首先随机生成一些含有噪声的数据：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X=3*np.random.rand(100,1)
y=3+2*X+np.random.randn(100,1)
plt.plot(X,y,'b.')
plt.show()

训练模型（使用的是闭式解公式的一种变体，利用Andre-Louis Cholesky的矩阵因式分解法）：

from sklearn.linear_model import Ridge
ridge_reg=Ridge(alpha=1,solver='cholesky')
ridge_reg.fit(X,y)

Ridge(alpha=1, copy_X=True, fit_intercept=True, max_iter=None,
   normalize=False, random_state=None, solver='cholesky', tol=0.001)

ridge_reg.intercept_,ridge_reg.coef_

(array([ 3.02790174]), array([[ 1.907145]]))

ridge_reg.predict([[1.5]])

array([[ 5.88861924]])

使用随机梯度下降：

from sklearn.linear_model import SGDRegressor
sgd_reg=SGDRegressor(penalty='l2')
sgd_reg.fit(X,y.ravel())

D:\Anaconda\lib\site-packages\sklearn\linear_model\stochastic_gradient.py:128: FutureWarning: max_iter and tol parameters have been added in <class 'sklearn.linear_model.stochastic_gradient.SGDRegressor'> in 0.19. If both are left unset, they default to max_iter=5 and tol=None. If tol is not None, max_iter defaults to max_iter=1000. From 0.21, default max_iter will be 1000, and default tol will be 1e-3.
  "and default tol will be 1e-3." % type(self), FutureWarning)





SGDRegressor(alpha=0.0001, average=False, epsilon=0.1, eta0=0.01,
       fit_intercept=True, l1_ratio=0.15, learning_rate='invscaling',
       loss='squared_loss', max_iter=None, n_iter=None, penalty='l2',
       power_t=0.25, random_state=None, shuffle=True, tol=None, verbose=0,
       warm_start=False)

超参数penalty设置的是使用正则项的类型。设为“$l2$”表示希望SGD在成本函数中添加一个正则项，等于权重向量的$l2$范数的平方的一半，即岭回归。

sgd_reg.intercept_,sgd_reg.coef_

(array([ 1.91897045]), array([ 2.51547769]))

sgd_reg.predict([[1.5]])

array([ 5.69218699])

三、套索回归

线性回归的另一种正则化，叫作最小绝对收缩和选择算子回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression，简称Lasso回归，或套索回归）。与岭回归一样，它也是向成本函数增加一个正则项，但是它增加的是权重 向量的$l1$范数，而不是$l2$范数的平方的一半。

Lasso回归成本函数：

$J(\theta)=MSE(\theta)+\alpha\sum_{i=1}^n|\theta_i|$
Lasso回归的一个重要特点是它倾向于完全消除掉最不重要特征的权重（也就是将它们设置为零）。换句话说，Lasso回归会自动执行特征选择并输出一个稀疏模型（即只有很少的特征有非零权重）。

下面是一个使用Scikit-Learn的Lasso类的例子，我们也可以用SGDRegression(penalty=’$l1$’):

from sklearn.linear_model import Lasso
lasso_reg=Lasso(alpha=0.1)
lasso_reg.fit(X,y)

Lasso(alpha=0.1, copy_X=True, fit_intercept=True, max_iter=1000,
   normalize=False, positive=False, precompute=False, random_state=None,
   selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

lasso_reg.intercept_,lasso_reg.coef_

(array([ 3.18622698]), array([ 1.79448133]))

lasso_reg.predict([[1.5]])

array([ 5.87794898])

四、弹性网络

弹性网络是岭回归与Lasso回归之间的中间地带。其正则项就是岭回归和Lasso回归的正则项的混合，混合比例通过r来控制。当r=0时，弹性网络即等同于岭回归，而当r=1时，即相当于Lasso回归。

弹性网络成本函数：
$J(\theta)=MSE(\theta)+r\alpha\sum_{i=1}^n|\theta_i|+\frac{1-r}{2}\alpha\sum_{i=1}^n\theta_i^2$
下面是一个使用Scikit-Learn的ElasticNet的例子（$l1\_ratio$对应混合比例$r$）:

from sklearn.linear_model import ElasticNet
elastic_net=ElasticNet(alpha=0.1,l1_ratio=0.5)
elastic_net.fit(X,y)

ElasticNet(alpha=0.1, copy_X=True, fit_intercept=True, l1_ratio=0.5,
      max_iter=1000, normalize=False, positive=False, precompute=False,
      random_state=None, selection='cyclic', tol=0.0001, warm_start=False)

elastic_net.intercept_,elastic_net.coef_

(array([ 3.25888406]), array([ 1.74277881]))

elastic_net.predict([[1.5]])

array([ 5.87305228])

• 那么，到底如何选用线性回归、岭回归、Lasso回归和弹性回归呢？通常来说，有正则化——哪怕是很小，总是比没有更可取一些。所以大多数情况下，我们应该避免使用纯线性回归。岭回归是个不错的默认选择，但是如果你觉得实际用到的特征只有少数几个，那就更倾向于Lasso回归或是弹性网络，因为它们会将无用特征的权重降为零。一般而言，弹性网络优于Lasso回归，因为当特征数量超过训练实例数量，又或者是几个特征强相关时，Lasso回归的表现可能非常不稳定。

五、早期停止法

对于梯度下降这一类迭代学习的算法，还有一个与众不同的正则化方法，就是在验证误差达到最小值时停止训练，该方法叫作早期停止法。通过早期停止法，一旦验证误差达到最小值就立刻停止训练。这是一个非常简单而有效的正则化技巧，所以Geoffery Hinton（神经网络之父）称其为“美丽的免费午餐”。

对随机梯度下降和小批量梯度下降来说，曲线没有那么平滑，所以很难知道是否已经达到最小值。一种解决办法是等验证误差超过最小值一段时间之后再停止，然后将模型参数回滚到验证误差最小时的位置。

下面是早期停止法的基本实现：

from sklearn.base import clone
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
sgd_reg=SGDRegressor(n_iter=1,warm_start=True,penalty=None,learning_rate='constant',eta0=0.0005)
minimum_val_error=float('inf')
best_epoch=None
best_model=None
X_train,X_val,y_train,y_val=train_test_split(X,y,test_size=0.2)
for epoch in range(1000):
    sgd_reg.fit(X_train,y_train)
    y_val_predict=sgd_reg.predict(X_val)
    val_error=mean_squared_error(y_val_predict,y_val)
    if val_error<minimum_val_error:
        minimum_val_error=val_error
        best_epoch=epoch
        best_model=clone(sgd_reg)

当warm_start=True时，调用fit()方法，会从停下的地方继续开始训练，而不会重新开始。

看下最终结果：

best_epoch

324

算法迭代到第324轮验证误差已经达到最小值。

再看下最终得到的最佳模型：

best_model

SGDRegressor(alpha=0.0001, average=False, epsilon=0.1, eta0=0.0005,
       fit_intercept=True, l1_ratio=0.15, learning_rate='constant',
       loss='squared_loss', max_iter=None, n_iter=1, penalty=None,
       power_t=0.25, random_state=None, shuffle=True, tol=None, verbose=0,
       warm_start=True)

来源：CSDN

作者：WarrenChou_

链接：https://blog.csdn.net/qq_43916464/article/details/103898706