线性代数精华——从正交向量到正交矩阵

向量内积

这个基本上是中学当中数学课本上的概念，两个向量的内积非常简单，我们直接看公式回顾一下：

\[X \cdot Y = \sum_{i=1}^n x_i*y_i\]

这里X和Y都是n维的向量，两个向量能够计算内积的前提是两个向量的维度一样。从上面公式可以看出来，两个向量的内积就等于两个向量对应各个维度的分量的乘积的和。

为了和矩阵乘法以及普通的乘法做区分，我们通常把两个向量的内积写成：\([x, y]=x^Ty\)。

这里有一个很重要的性质，对于一个向量而言，我们可以用欧几里得公式计算它的长度。进一步，我们可以用向量的长度以及向量之间的夹角来表示向量的内积，如下：

\[[x, y]=|x|\cdot |y|\cos\theta\]

其中的\(\theta\)是x和y向量之间的夹角，对于三维及以下空间内的向量，这一点非常直观。对于高维度的向量，我们很难想象它的物理意义。不过没有关系，我们一样可以认为向量之间存在一个广义超空间内的一个夹角。在机器学习领域，我们通常用这个夹角来反应向量之间的相似度。两个向量越相似，那么它们之间的夹角应该越小，对应的cos余弦值应该越大。所以我们可以用两个向量之间的余弦值来反应它们之间的相似度。余弦值的计算就源于此。

正交向量

从上面的公式可以看出来，向量的内积等于两个向量长度乘上向量之间的夹角。对于非零向量而言，它们的长度都应该是大于0的。所以两个向量的内积的大小，就完全取决于向量之间的夹角\(\theta\)。

如果\(\theta\)小于90°，那么\(\cos\theta>0\)，那么内积为正值。如果\(\theta\)大于90°，那么余弦值为负值。所以我们可以通过余弦值正负判断夹角是锐角还是钝角。既然说到夹角，自然就离不开一种特殊情况——垂直。

如果是在二维平面当中，两个向量夹角是90°，那么显然这两个向量垂直。在高维空间当中也是一样，不过我们一般不说垂直，而是会换一个词——正交。两个非零向量的内积为0，说明两个向量正交。

正交向量组

搞清楚了正交向量之后，正交向量组也就明确了。正交向量组是指一组两两正交且非零的向量组。

如果n维的向量组:\(a_1, a_2, \cdots,a_r\)两两正交，那么，它们一定线性无关。也就是说不存在一组不为零的系数\(\lambda\)，使得：

\[\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots + \lambda_ra_r=0\]

这点很容易证明，由于向量组内向量均不为0，我们只需要在等式两边随便乘上一个向量即可，假设我们乘的是\(a_1\)。由于它与其他向量两两正交，所以其他项全为0。如果要等式成立，那么必须要：

\[\lambda_1a_1^Ta_1=0\]

由于\(a_1\)不为0，那么\(a_1^Ta_1\)必然不为0，要使得等式成立，只能是\(\lambda_1\)为0。

规范正交基

我们把正交向量组的概念和基的概念融合，如果向量组\(e_1, e_2, \cdots, e_r\)是向量空间V的一个基。如果它们之间彼此正交，那么就称它们是一组规范正交基。

对于向量a，我们可以很方便地求出它在规范正交基下各个维度的坐标：

\[\lambda_i = e_i^Ta=[a, e_i]\]

也就是说向量a，在规范正交基下某一个维度的坐标，等于它和这个维度的正交基向量的内积。

如果说我们已经知道向量空间V中的一组基是\(a_1, a_2, \cdots, a_r\)，我们怎么求V的规范正交基呢？

这里要用到一个算法，叫做施密特算法。通过这个算法，我们可以通过向量空间的一组基来求出它的正交基。

这个算法很简单，我们可以直接写出它的公式：

\[ \begin{aligned} b_1 &= a_1 \\ b_2 &= a_2 - \frac{[b_1, a_2]}{[b_1, b_1]}b_1\\ \cdots\\ b_r &= a_r - \frac{[b_1, a_r]}{[b_1, b_1]}b_1-\frac{[b_2, a_r]}{[b_2, b_2]}b_2 - \cdots - \frac{[b_{r-1}, a_r]}{[b_{r-1}, b_{r-1}]}b_{r-1} \end{aligned} \]

我们随便取两个b向量乘一下就知道，b向量组之中两两正交。所以，我们只要将b向量组单位化一下，就可以求出对应的规范正交基了。

即：

\[ e_1=\frac{1}{||b_1||}b_1, \quad e_2=\frac{1}{||b_2||}b_2 \quad \cdots \quad e_r=\frac{1}{||b_r||}b_r \]

这个算法虽然不难，但蛮重要。在机器学习领域中一些降维算法，很多都与施密特正交化方法有关。