数据结构与算法——复杂度分析

1、大O复杂度表示法

1.1、从维度划分

从维度划分可分为：时间复杂度、空间复杂度

1.1.1、时间复杂度

概念

代码执行时间随数据规模增长的变化趋势

多项式量级复杂度分析规则（非多项式量级不常见暂不考虑）

顺序相加，嵌套相乘，取最高阶

阶数排序

幂阶（$n^4>n^3>n^2$）>线性对数阶（$nlogn$）>线性阶（$n$）>对数阶（$logn$）>常数阶（1）

举例

int a=0;
for(int i=0;i<n;i++){
	a=a+1;
	for(int j=0;j<n;j++){
		a=a+2;
	}
}
int b=1;
while(b <= n){
  b=b*10;
}

第一行：执行1次

第二行：循环执行n次

第三行：循环执行n次

第四行：循环执行$n^2$次

第五行：循环执行$n^2$次

第八行：循环执行$logn$次

总计：$2n^2+2n+logn+1$次，取最高阶T(n)=O($n^2$)

1.1.2、空间复杂度

概念

算法的存储空间随数据规模增长的变化趋势

举例

int[] arr = new int[n];

空间复杂度T(n)=O($n$)

1.2、从分析角度划分（以时间复杂度为例）

从分析方面可分为：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度、均摊时间复杂度

1.2.1、最好情况时间复杂度

概念

在最理想的情况下，执行算法的时间复杂度

1.2.2、最坏情况时间复杂度

概念

在最糟糕的情况下，执行算法的时间复杂度

###1.2.3、平均情况时间复杂度

概念

在所有情况下，执行算法的时间总和的平均值

1.2.4、均摊时间复杂度

概念

​ 大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上

举例

int a=0;
for(int i=0;i<n;i++){
	a=a+1;
  if(a == x){
    break;
  }
}

最好情况时间复杂度：循环第一次就能跳出循环，时间复杂度为O(1)

最坏情况时间复杂度：循环到最后一次才跳出循环，或者直到循环结束，时间复杂度为O(n)

平均情况时间复杂度：循环到中间某次就跳出循环，$(1+2+3+...+n+n)\over(n+1)$$=$$n\over2$$+1-$$1\over(n+1)$,T(n)=O(n)

均摊时间复杂度：本例用不到（不太常用就不计算了哈哈）

来源：CSDN

作者：爱猫的绅士

链接：https://blog.csdn.net/weixin_39841589/article/details/103805412