概率、统计、最大似然估计、最大后验估计、贝叶斯定理、朴素贝叶斯、贝叶斯网络

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• 概率和统计是一个东西吗？
• 概率函数与似然函数
• 最大似然估计（MLE）
• 最大后验概率估计
• 最大后验估计的例子
• 贝叶斯派观点 VS 频率派观点
• 贝叶斯定理
• 朴素贝叶斯分类器
• 朴素贝叶斯分类器实例
• 贝叶斯网络
• 贝叶斯网络的结构形式
• 因子图
• 从贝叶斯网络来观察朴素贝叶斯

概率和统计是一个东西吗？

概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

• 概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。
  举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。

• 统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。
  仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

显然，本文解释的MLE(最大似然估计)和MAP（最大后验估计）都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法(不是推测模型，模型必须预先指定或假设好)。
为什么会存在着两种不同方法呢？ 这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

概率函数与似然函数

似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。

对于这个函数：

$P(x|θ)$ ----公式（1）
输入有两个：$x$表示某一个具体的数据；$θ$表示模型的参数。

• 概率函数：对于公式1，如果$θ$是已知确定的，$x$是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。

• 似然函数：对于公式1，如果$x$是已知确定的，$θ$是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，$f(x,y)=x^y$, 即$x$的$y$次方。如果x是已知确定的(例如x=2)，这就是f(y)=2^y, 这是指数函数。
如果y是已知确定的(例如y=2)，这就是f(x)=x^2，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。

最大似然估计（MLE）

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正面出现的概率（记为θ）各是多少？
这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？ 数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（$x_0$）是：反正正正正反正正正反。

• 模型：假设是二项分布；
• 参数：我们想求的正面概率θ是模型参数。

那么，出现实验结果$x_0$（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？
$f(x_0|θ)=(1−θ)×θ×θ×θ×θ×(1−θ)×θ×θ×θ×(1−θ)=θ^7(1−θ)^3=f(θ)$

注意，这是个只关于θ的函数。
最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个似然函数。
我们可以画出f(θ)的图像：

可以看出，在θ=0.7时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对θ的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm…这非常直观合理，对吧？）

• 贝叶斯思想：
  且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！ 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ=0.7。
  这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计

• 最大似然估计是求参数θ, 使似然函数$P(x_0|θ)$最大。
• 最大后验概率估计则是想求θ使$P(x_0|θ)P(θ)$最大。求得的θ不单单让似然函数大，θ自己出现的先验概率也得大。 （这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）
• MAP其实是在最大化$P(θ|x0)=\frac{P(x_0|θ)P(θ)}{P(x_0)}$, 不过因为$x_0$是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），$P(x_0)$是一个已知值，所以去掉了分母$P(x_0)$.
  $P(x_0)$的求法：

（假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，
则P(x0)=n/1000P(x0)=n/1000。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。

• 最大化$P(θ|x_0)$的意义： $x_0$已经出现了，要求θ取什么值使$P(θ|x_0)$最大。顺带一提，$P(θ|x_0)$即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。

最大后验估计的例子

对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“）θ取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设P(θ)为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：

θ的先验概率P(θ)：高斯分布
对于投币10次的硬币实验，实验结果$x_0$（即反正正正正反正正正反）的似然函数是：
$f(x_0|θ)=(1−θ)×θ×θ×θ×θ×(1−θ)×θ×θ×θ×(1−θ)=θ^7(1−θ)^3$
则$P(x_0|θ)P(θ)$的函数图像为：

P(x0|θ)P(θ)的图像

注意，此时函数取最大值时，θ取值已向左偏移，不再是0.7。实际上，在θ=0.558时函数取得了最大值。即，用最大后验概率估计，得到θ=0.558

最后，那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信θ=0.7呢？你得多做点实验。实验做得多，似然函数P(x0|θ)的重要性就增加，而先验概率P(θ)的影响就变小了
如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:$f(x_0|θ)==θ^{700}(1−θ)^{300}$，而P(θ)还是那个高斯函数。此时，似然函数图像如下：

如果仍然假设P(θ)为均值0.5，方差0.1的高斯函数，P(x0|θ)P(θ)的函数图像为：

在θ=0.696处，P(x0|θ)P(θ)取得最大值。
这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把θ估计在0.7附近了。

贝叶斯派观点 VS 频率派观点

先简单总结下频率派与贝叶斯派各自不同的思考方式：

• 频率派把需要推断的参数θ看做是固定的未知常数，即概率虽然是未知的，但最起码是确定的一个值，同时，样本X 是随机的，所以频率派重点研究样本空间，大部分的概率计算都是针对样本X 的分布；
  最大似然估计$P(x_0|\theta)$本质上就是频率派思维，认为模型参数θ虽然未知但是固定的，通过最大似然来估计θ。
• 贝叶斯派的观点则截然相反，他们认为参数是随机变量，而样本X 是固定的，由于样本是固定的，所以他们重点研究的是参数的分布。
  最大后验估计本质上是贝叶斯派思维。贝叶斯派既然把θ看做是一个随机变量，所以要计算P(θ|x0)的分布，便得事先知道θ的无条件分布，即在有样本之前（或观察到X之前），θ有着怎样的分布。

贝叶斯定理

在引出贝叶斯定理之前，先学习几个定义：

• 条件概率（又称后验概率）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。其定义为：
  $P(A|B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

• 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为$P(A\cap B)$。

• 边缘概率（又称先验概率）是某个事件发生的概率。
  通过联合概率求边缘概率：在联合概率中，把最终结果中那些不需要的事件通过合并成它们的全概率，而消去它们（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率），这称为边缘化（marginalization），比如A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。

接着，考虑一个问题：P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

• 首先，事件B发生之前，我们对事件A的发生有一个基本的概率判断，称为A的先验概率，用P(A)表示；
• 其次，事件B发生之后，我们对事件A的发生概率重新评估，称为A的后验概率，用P(A|B)表示；
• 类似的，事件A发生之前，我们对事件B的发生有一个基本的概率判断，称为B的先验概率，用P(B)表示；
• 同样，事件A发生之后，我们对事件B的发生概率重新评估，称为B的后验概率，用P(B|A)表示。

贝叶斯定理便是基于下述贝叶斯公式：
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
贝叶斯公式可以直接根据条件概率的定义直接推出。

朴素贝叶斯分类器

带你彻彻底底搞懂朴素贝叶斯公式
一. 朴素贝叶斯
朴素贝叶斯用于分类，是一种分类器，根据观察到的特征来判别类型。
朴素贝叶斯中的朴素一词的来源就是假设各特征之间相互独立（注意：是特征之间独立，不是特征与类别之间独立，如果是后者那么通过特征来推断类别就没有意义了）。这一假设使得朴素贝叶斯算法变得简单，但有时会牺牲一定的分类准确率。

• 贝叶斯公式：
  $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

• 在分类任务中，我们的目的是要根据观察到的特征，来实现分类任务，即求出p(类别|特征)。
  将贝叶斯公式应用到分类任务：
  $P(类别|特征) =\frac{P(特征|类别)P(类别)}{P(特征)}$

• 朴素贝叶斯：通常的分类任务中，特征有许多个，如果假设各个特征之间相互独立，那么就变成了朴素贝叶斯：
  其中，$c_k$表示第k类，$x^{(j)}$表示第j个特征
  

• 朴素贝叶斯公式不求分母，只求分子，最后求各个分子之间的相对比值，就可得出各个类别的概率。
  朴素贝叶斯的优缺点：

• 朴素贝叶斯的优缺点
  优点：
  （1） 算法逻辑简单,易于实现（算法思路很简单，只要使用贝叶斯公式转化即可！）
  （2）分类过程中时空开销小（假设特征相互独立，只会涉及到二维存储）
  缺点：
  朴素贝叶斯假设属性之间相互独立，这种假设在实际过程中往往是不成立的。在属性之间相关性越大，分类误差也就越大。

朴素贝叶斯分类器实例

首先，给出数据如下:

现在给我们的问题是，如果一对男女朋友，男生想女生求婚，男生的四个特点分别是不帅，性格不好，身高矮，不上进，请你判断一下女生是嫁还是不嫁？

这是典型的二分类问题，按照朴素贝叶斯的求解，转换为求
1）P(嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)的概率
2）P(不嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)的概率。

这里我们根据贝特斯公式:

在根据朴素贝叶斯假设（特征之间独立）：

我们的目标是求解为不同的类别，贝叶斯公式的分母总是相同的。所以，只求解分子即可。

• 第一步，求各个特征的概率值和条件概率值的方法：从观察数据中统计
  对原始数据表进行统计可得：
  P(嫁)=1/2、P(不帅|嫁)=1/2、P(性格不好|嫁)=1/6、P(矮|嫁)=1/6、P(不上进|嫁)=1/6。
  P(不嫁)=1/2、P(不帅|不嫁)=1/3、P(性格不好|不嫁)=1/2、P(矮|不嫁)=1、P(不上进|不嫁)=2/3

• 第二步，求朴素贝叶斯公式的分子
  于是，对于类别“嫁”的贝叶斯分子为：P(嫁)P(不帅|嫁)P(性格不好|嫁)P(矮|嫁)P(不上进|嫁)=1/2 * 1/2 * 1/6 * 1/6 * 1/6=1/864
  对于类别“不嫁”的贝叶斯分子为:P(不嫁)P(不帅|不嫁)P(性格不好|不嫁)P(矮|不嫁)P(不上进|不嫁)=1/2 * 1/3 * 1/2 * 1* 2/3=1/18。

• 第三步，求分子之间的相对比值，得出各个类别的概率。
  朴素贝叶斯公式不求分母，只求分子，最后求各个分子之间的相对比值，就可得出各个类别的概率。

P(嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)=(1/864) / (1/864+1/18)=1/49=2.04%
P(不嫁|不帅、性格不好、矮、不上进)=(1/18) / (1/864+1/18)=48/49=97.96%

贝叶斯网络

贝叶斯网络(Bayesian network)，又称信念网络(Belief Network)，或有向无环图模型(directed acyclic graphical model)，是一种概率图模型，于1985年由Judea Pearl首先提出。它是一种模拟人类推理过程中因果关系的不确定性处理模型，其网络拓朴结构是一个有向无环图(DAG)。

贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量{X1,X2,…,Xn}

它们可以是可观察到的变量，或隐变量、未知参数等。认为有因果关系（或非条件独立）的变量或命题则用箭头来连接。若两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因(parents)”，另一个是“果(children)”，两节点就会产生一个条件概率值。

例如，假设节点E直接影响到节点H，即E→H，则用从E指向H的箭头建立结点E到结点H的有向弧(E,H)，权值(即连接强度)用条件概率P(H|E)来表示，如下图所示：

简言之，把某个研究系统中涉及的随机变量，根据是否条件独立绘制在一个有向图中，就形成了贝叶斯网络。其主要用来描述随机变量之间的条件依赖，用圈表示随机变量(random variables)，用箭头表示条件依赖(conditional dependencies)。
此外，对于任意的随机变量，其联合概率可由各自的局部条件概率分布相乘而得出：
$P(x_1,...x_k) = P(x_k|x_1...x_{k-1})...P(x_2|x_1)P(x_1)$

贝叶斯网络定义： 令G = (I,E)表示一个有向无环图(DAG)，其中I代表图形中所有的节点的集合，而E代表有向连接线段的集合，且令X = (Xi)i ∈ I为有向无环图中的某一节点i所代表的随机变量，若节点X的联合概率可以表示成：

则称X为相对于有向无环图G 的贝叶斯网络，其中，pa(i)表示节点i之“因”，或称pa(i)是i的parents（父母）。
此外，对于任意的随机变量，其联合概率可由各自的局部条件概率分布相乘而得出：

如下图所示，便是一个简单的贝叶斯网络：

有p(a,b,c)=p(c|a,b)p(b|a)p(a)

贝叶斯网络的结构形式

• 形式一： head-to-head
  
  依上图，所以有：P(a,b,c) = P(a)P(b)P(c|a,b)成立，即在c未知的条件下，a、b被阻断(blocked)，是独立的，称之为head-to-head条件独立。
• 形式二： tail-to -tail
  
  考虑c未知，跟c已知这两种情况：

在c未知的时候，有：P(a,b,c)=P©P(a|c)P(b|c)，此时，没法得出P(a,b) = P(a)P(b)，即c未知时，a、b不独立。
在c已知的时候(c已知时的条件概率)，有：P(a,b|c)=P(a,b,c)/P©，然后将P(a,b,c)=P©P(a|c)P(b|c)带入式子中，得到：P(a,b|c)=P(a,b,c) /P( c) = P( c)P(a|c)P(b|c) / P( c) = P(a|c)*P(b|c)，即c已知时，a、b独立。

• 形式三：head-to-tail
  
  还是分c未知跟c已知这两种情况：

c未知时，有：P(a,b,c)=P(a)P(c|a)P(b|c)，但无法推出P(a,b) = P(a)P(b)，即c未知时，a、b不独立。

c已知时，有：$P(a,b|c)=P(a,b,c)/P(c)$，且根据$P(a,c) = P(a)P(c|a) = P(c)P(a|c)$，可化简得到：
$P(a,b|c) = P(a,b,c)/P(c)= P(a)*P(c|a)*P(b|c)/P(c) = P(a|c)*P(b|c)$
所以，在c给定的条件下，a，b被阻断(blocked)，是独立的，称之为head-to-tail条件独立。

这个head-to-tail其实就是一个链式网络，如下图所示：

根据之前对head-to-tail的讲解，我们已经知道，在xi给定的条件下，xi+1的分布和x1,x2…xi-1条件独立。意味着啥呢？意味着：xi+1的分布状态只和xi有关，和其他变量条件独立。通俗点说，当前状态只跟上一状态有关，跟上上或上上之前的状态无关。这种顺次演变的随机过程，就叫做马尔科夫链（Markov chain）。

因子图

wikipedia上是这样定义因子图的：将一个具有多变量的全局函数因子分解，得到几个局部函数的乘积，以此为基础得到的一个双向图叫做因子图（Factor Graph）。

通俗来讲，所谓因子图就是对函数进行因子分解得到的一种概率图。一般内含两种节点：变量节点和函数节点。我们知道，一个全局函数通过因式分解能够分解为多个局部函数的乘积，这些局部函数和对应的变量关系就体现在因子图上。

举个例子，现在有一个全局函数，其因式分解方程为：

其中fA,fB,fC,fD,fE为各函数，表示变量之间的关系，可以是条件概率也可以是其他关系。其对应的因子图为：

在概率图中，求某个变量的边缘分布是常见的问题。这问题有很多求解方法，其中之一就是把贝叶斯网络或马尔科夫随机场转换成因子图，然后用sum-product算法求解。换言之，基于因子图可以用sum-product 算法高效的求各个变量的边缘分布。

从贝叶斯网络来观察朴素贝叶斯

朴素贝叶斯可以看做是贝叶斯网络的特殊情况：即该网络中无边，各个节点都是独立的。

朴素贝叶斯朴素在哪里呢？ —— 两个假设：

• 一个特征出现的概率与其他特征（条件）独立；
• 每个特征同等重要。

来源：CSDN

作者：xys430381_1

链接：https://blog.csdn.net/xys430381_1/article/details/103937412