最短路径的Dijkstra算法

核心思想：基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径。
P数组：用来记录前驱顶点，如P[8]=6表示v8的前驱顶点是v6；
D数组：D[i]表示vi和v0的最短距离；
在每次大循环内：
1.在D数组中找出当前离v0最近的顶点vk（vk是在所有还未被确定最短路径的顶点中选出。因为已经被确定最短路径的顶点和v0的距离已经是最短的了，而且是必定不会改变的），并在flag数组中把下标为k的元素置1；
2.在已经找到v0与vk的最短路径的基础上，对和vk直接相连的且未被确定的顶点进行计算，得到v0与它们的当前距离，并对D数组、和P数组进行修正。
大循环结束后，flag数组全为1，表明所有的顶点都完成了最短路径的查找工作，即v0到任何一个顶点的最短路径都已经被求出。

特点：对于每次循环确定的vk，v0与vk的距离是不断增加的。

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65536
typedef struct {
	int arc[MAXVEX][MAXVEX];//邻接矩阵
	int numVEXS;//顶点个数
}MGraph;
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph&G);
int main() {
	MGraph G;
	G.numVEXS = 9;
	for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		for (int j = 0; j < G.numVEXS; j++)
		{
			if (i < j)
				G.arc[i][j] = INFINITY;
			if (i == j)
				G.arc[i][i] = 0;
		}

	G.arc[0][1] = 1; G.arc[0][2] = 5;
	G.arc[1][2] = 3; G.arc[1][3] = 7; G.arc[1][4] = 5;
	G.arc[2][4] = 1; G.arc[2][5] = 7;
	G.arc[3][4] = 2; G.arc[3][6] = 3;
	G.arc[4][5] = 3; G.arc[4][6] = 6; G.arc[4][7] = 9;
	G.arc[5][7] = 5;
	G.arc[6][7] = 2; G.arc[6][8] = 7;
	G.arc[7][8] = 4;
	for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		for (int j = 0; j < G.numVEXS; j++)
		{
			if (i < j)
				G.arc[j][i] = G.arc[i][j];
		}

	ShortestPath_Dijkstra(G);

	system("pause");
	return 0;
}

void ShortestPath_Dijkstra(MGraph&G) {
	int k, min;
	int D[MAXVEX] = { 0 }, P[MAXVEX] = { 0 }, flag[MAXVEX] = { 0 };//D[v]表示v0到v的最短路径长度和,final[v]=1表示v0到v的最短路径已经被求出,P数组用来最终确定路径用
	for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		D[i] = G.arc[0][i];
	flag[0] = 1;//v0到v0不需要求最短路径

	//start
	for (int n = 1; n < G.numVEXS; n++) {//开始大循环（次数为G.numVEXS-1）
		min = INFINITY;
		for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		{
			if (!flag[i] && D[i] < min)
			{
				min = D[i];//找出当前离v0最近的且未被确定的顶点vk
				k = i;//记录下标
			}
		}
		flag[k] = 1;//把顶点vk置为1

		//在已经找到v0与vk的最短路径的基础上，对和vk直接相连的且未被确定的顶点进行计算，得到v0与它们的当前距离
		for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		{
			if (!flag[i] && min + G.arc[k][i] < D[i]) //如果找到了更短的路径，则修正D和P
			{
				D[i] = min + G.arc[k][i];
				P[i] = k;//表示vk是vi的前驱
			}

		}
	}
	//打印路径
	while (P[k] != k) {
		cout << P[k] << "-->" << k << endl;
		k = P[k];
	}
}

若要求v5到各个顶点的最短路径，只需要修改代码如下：

void ShortestPath_Dijkstra(MGraph&G) {
	int k, min;
	int D[MAXVEX] = { 0 }, P[MAXVEX] = { 5,5,5,5,5,5,5,5,5 }, flag[MAXVEX] = { 0 };//D[v]表示v0到v的最短路径长度和,final[v]=1表示v0到v的最短路径已经被求出,P数组用来最终确定路径用
	for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		D[i] = G.arc[5][i];
	flag[5] = 1;//v5到v5不需要求最短路径

	//start
	for (int n = 1; n < G.numVEXS; n++) {//开始大循环（次数为G.numVEXS-1）
		min = INFINITY;
		for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		{
			if (!flag[i] && D[i] < min)
			{
				min = D[i];//找出当前离v5最近的且未被确定的顶点vk
				k = i;//记录下标
			}
		}
		flag[k] = 1;//把顶点vk置为1
		
		//在已经找到v5与vk的最短路径的基础上，对和vk直接相连的且未被确定的顶点进行计算，得到v5与它们的当前距离
		for (int i = 0; i < G.numVEXS; i++)
		{
			if (!flag[i] && min + G.arc[k][i] < D[i]) //如果找到了更短的路径，则修正D和P
			{
				D[i] = min + G.arc[k][i];
				P[i] = k;//表示vk是vi的前驱
			}

		}
	}
	//打印路径
	while (P[k] != k) {
		cout << P[k] << "-->" << k << endl;
		k = P[k];
	}
}

来源：CSDN

作者：ShenHang_

链接：https://blog.csdn.net/ShenHang_/article/details/103927673